第3章 3.2 相似三角形判定定理的证明 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形判定定理证明，通过分层设计实现从定理理解到综合应用的递进，强化逻辑推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|AA、SAS、SSS、HL判定定理的证明与简单应用|基础证明题+尺规作图，如定理推导及直接应用| |推理应用层|多定理综合及相似与全等的联系|中档证明题+辨析题，如相似与全等判定逻辑比较| |综合拓展层|复杂情境推理与动态问题|综合解答题+动态探究题，如含旋转、网格的相似判定|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 3 相似三角形判定定理的证明 第2课时 相似三角形判定定理的证明 ▌课时目标 1. 理解相似三角形三个判定定理（AA、SAS、SSS）及直角三角形HL判定定理的演绎推理过程，明确证明的逻辑链条，体会从“基本事实”到“定理”的公理化思想。 2. 能运用判定定理进行规范的几何推理论证，清晰书写“已知、求证、证明”过程，区分判定定理与全等三角形判定的逻辑联系。 3. 初步体会反例法在否定错误命题中的作用，形成严谨的推理习惯，避免将“SSA”等非判定条件误用作相似依据。 ▌课时目录 知识点01：判定定理1（AA）的演绎推理证明 知识点02：判定定理2（SAS）的演绎推理证明 知识点03：判定定理3（SSS）的演绎推理证明 知识点04：直角三角形HL判定定理的证明 知识点05：相似三角形判定与全等三角形判定的逻辑联系 知识点06：利用判定定理进行几何推理论证 ▌知识点01：判定定理1（AA）的演绎推理证明 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 证明思路： 1. 在A'B'上截取AD＝AB，过D作DE∥B'C'交A'C'于E，可证△ADE≌△ABC（ASA）； 2. 由DE∥B'C'得∠ADE＝∠B'，又∠B＝∠B'，故∠ADE＝∠B＝∠B'，结合∠A＝∠A'，得△ADE∽△A'B'C'（AA）； 3. 由相似传递性，△ABC∽△A'B'C'。 核心依据：平行线分线段成比例定理及三角形内角和定理，将“角相等”转化为“边成比例”。 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【答案】见解析 【分析】由作法得，则，由三角形外角的性质和等边对等角可得，进一步可证明，再由，即可证明． 【详解】证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所作： 【分析】过点作交于点，则可得． 【详解】理由：由作图得：，即， ∵， ∴， 又， ∴． 4．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点D在边上，连接，，请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【分析】由于，只需要作，即可得到． 【详解】解：如图所示，点E即为所求． ▌知识点02：判定定理2（SAS）的演绎推理证明 已知：在△ABC和△A'B'C'中，，∠A＝∠A'。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 证明思路： 1. 在AB、AC上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连接DE； 2. 由SAS得△ADE≌△A'B'C'； 3. 由得DE∥BC（平行线分线段成比例逆定理），故△ADE∽△ABC（AA）； 4. 由相似传递性，△ABC∽△A'B'C'。 关键点：通过截取构造全等三角形，利用平行线证明相似，体现“边成比例＋夹角相等”的充分性。 5．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 6．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 7．（24-25九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】略 8．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】略 ▌知识点03：判定定理3（SSS）的演绎推理证明 已知：在△ABC和△A'B'C'中，。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 证明思路： 1. 在AB上截取AD＝A'B'，在AC上截取AE＝A'C'，连接DE； 2. 由，得DE∥BC，故，即DE＝B'C'； 3. 由SSS得△ADE≌△A'B'C'，结合△ADE∽△ABC，得△ABC∽△A'B'C'。 逻辑核心：通过构造全等三角形，将“三边成比例”转化为“三角相等”，完成判定。 9．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】 证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】略 10．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，求出，进而求出，根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，D，F三点共线，且， 为等腰直角三角形 由勾股定理得： （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】证明：由图可知，，，，，，， ， ． 12．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) 为所作，如图： (2) 证明：∵垂直平分， ， F是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可证，， ∴四边形为平行四边形． 【分析】本题考查尺规作图、三角形中位线以及平行四边形的判定，解题的关键是平行四边形的判定定理． （1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线即为的垂直平分线，交于点； （2）先由垂直平分线的性质F分别是的中点系，再根据三角形中位线得出，，进而证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点04：直角三角形HL判定定理的证明 已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，。 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。 证明思路： 1. 由勾股定理，，； 2. 结合，得； 3. 故，由SSS判定得Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。 本质：直角三角形HL判定是SSS判定的特例，利用直角条件简化证明。 13．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在等腰直角，，，点在上． (1)尺规作图：作出将绕点顺时针方向旋转后得到的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）分别以点和点为圆心,和的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，易证，得到，即得到，故即为所求； （）利用旋转的性质可得，，，即得，再根据相似三角形的判定定理即可证明； 本题考查了旋转作图，相似三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：由旋转得，，，， ∵，， ∴． 14．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，勾股定理解三角形，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 根据勾股定理得出，再由相似三角形的判定证明即可． 【详解】解：相似，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的判定． 以点为圆心，作的垂线交于点即可． 【详解】解：证明：∵， ∴， ∵， ∴． 16．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． (1)当点P在边上运动时，连接，当时，的长为_； (2)当点P在边上运动时，若，则的值为_； (3)当点P在边上运动时，连接．求证：； (4)当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) ∵， ∴，， ∵以为边作等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (4)，或 【分析】（1）三线合一，得到，即可得出结果； （2）根据，求出的长，平行线分线段成比例，求出的值，进而求出的值即可； （3）等腰直角三角形的性质，推出，，进而得到，得到，即可得证； （4）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当点在边上运动，且时，； 故答案为：． （2）由（1）可知：， 当点在边上运动时，且时，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 （4）①当点在上时，此时点在线段上， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴； ②当点在上时，由（3）可知：， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：或． ▌知识点05：相似三角形判定与全等三角形判定的逻辑联系 1. 包含关系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，故全等判定（ASA、AAS、SAS、SSS、HL）均可视为相似判定的特例； 2. 区别：相似判定允许边成比例（非必须相等），角只需相等（无需边相等），条件更宽松； 3. 逻辑延伸：从“边等＋角等→全等”推广到“边成比例＋角相等→相似”，体现数学从特殊到一般的抽象过程。 17．（2025·浙江绍兴·二模）如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理， 设，，，，由矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形， 设，，，， 四边形是矩形， ，，， 由勾股定理可得，，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 19．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1) 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； (2) 证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）略． （2）略． 20．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．          (1)将绕C点按顺时针方向旋转，得到，请在图中作出； (2)在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段上分别找一点P，Q，使与相似但不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用旋转的定义分别作出点A、B旋转后所得对应点，再与C点首尾顺次连接即可； （2）根据题意作出平行四边形，然后利用相似三角形的判定，结合网格求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）如图所示，作平行四边形，连接，交于点P，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不全等， ∴点P和点Q为所要求作的点． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换、相似三角形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定． ▌知识点06：利用判定定理进行几何推理论证 规范步骤： 1. 明确待证的两个三角形； 2. 选择判定定理（AA/SAS/SSS/HL），列出所需条件； 3. 逐步推导条件（如通过平行线得角相等、通过线段计算得边成比例）； 4. 书写证明：“在△ABC和△DEF中，∵……（条件），∴△ABC∽△DEF（判定定理）”。 示例：已知DE∥BC，求证△ADE∽△ABC。 证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC（AA）。 21．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤； 【详解】证明：②， ④， ①又， ③， ． 故选：B． 22．（25-26九年级上·福建三明·期中）学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【答案】 解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 根据题意写出已知，求证，然后通过设元，将问题转化为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】略 23．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1) 证明：， ， 又， ， ， ， ， ； (2) 解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）略 （2）略 24．（24-25九年级上·山东聊城·阶段检测）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·上海·三模）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 3．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 4．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 二、填空题 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】解：， 当或或时，． 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，，，分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，过点M、N作直线交于点，交于点，再连接．则__________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是关键．根据等腰三角形的判定与性质，求得，即可证明，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 由作图可知，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， （舍去）， ． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 三、解答题 9．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 10．（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】(1) 解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， , ， ， 四边形为菱形； (2)①；② 【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明； （2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到； ②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）①当时，， 同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，， ， 又，则，即， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形， 延长交于， 由①知时，， ， ， ， ，则， 又， ， 又， 与重合， 由折叠可知， 又， ，又， 则四边形是矩形． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 3相似三角形判定定理的证明 第2课时相似三角形判定定理的证明 课时目标 理解相似三角形三个判定定理(AA、SAS、SSS)及直角三角形HL判定定理的演绎 推理过程，明确证明的逻辑链条，体会从“基本事实”到“定理”的公理化思想。 2. 能运用判定定理进行规范的几何推理论证，清晰书写“已知、求证、证明”过程，区 分判定定理与全等三角形判定的逻辑联系。 3. 初步体会反例法在否定错误命题中的作用，形成严谨的推理习惯，避免将“SSA”等 非判定条件误用作相似依据。 课时目录 知识点01：判定定理1(AA)的演绎推理证明 知识点02：判定定理2(SAS)的演绎推理证明 知识点O3:判定定理3(SSS)的演绎推理证明 知识点04：直角三角形HL判定定理的证明 1/15 知识点05：相似三角形判定与全等三角形判定的逻辑联系 知识点06：利用判定定理进行几何推理论证 【知识点01：判定定理1(AA)的演绎推理证明 已知：在△ABC和△ABC中，∠A=∠A',∠B=∠B'。 求证：△ABC一△AB'C。 证明思路： 在AB'上截取AD=AB,过D作DEIB'C'交A'C'于E,可证△ADE△ABC（ASA): 由DEB'C得∠ADE=∠B',又∠B=∠B,故∠ADE=∠B=∠B,结合∠A=∠A',得 △ADE△AB'C(AA); 由相似传递性，△ABC一△AB'C'。 核心依据：平行线分线段成比例定理及三角形内角和定理，将“角相等”转化为“边成比 例”。 1.(26-27九年级·上海·暑假作业)如图，已知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC.求 证：△ABC∽△ADE 2.(2026湖南长沙模拟预测)如图，在△ABC中，BC<AB,∠A=36°，以点C为圆心，线段CB的长为 半径画弧，交线段AB于点D:以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A.求证： △ABC∽△CBD 2/15 D B 3.(2026陕西宝鸡一模)如图，在△ABC中，∠B=90°，请用尺规作图法，在边AC上求作一点M,使 得△AMB∽△ABC.(保留作图痕迹，不写作法) B 4.(25-26九年级上陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,∠BAC=∠ADC, 请你用尺规作图法在AC边上找一点E,连接BE,使得△ABE一△DCA(不写作法，保留作图痕迹) 知识点02：判定定理2(SAS)的演绎推理证明 ABAC 己知：在△ABC和△AB'C中，ABAC,∠A=∠A。 求证：△ABC一△ABC。 证明思路： 在AB、AC上分别截取AD=AB',AE=A'C',连接DE: 3/15 由SAS得△ADE≌△ABC': ABAC 由ADAE得DEBC(平行线分线段成比例逆定理)，故△ADE一△ABC(AA); 由相似传递性，△ABC一△AB'C。 关键点：通过截取构造全等三角形，利用平行线证明相似，体现“边成比例十夹角相等” 的充分性。 5.(26-27九年级上海暑假作业)如图，已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OA=1, OB=1.5,OC=3,OD=2.求证：aOAD与△OBC是相似三角形. 6.(25-26九年级上湖南岳阳·期末)如图，AE与BD相交于点C,已知AC=5,BC=3,EC=10, DC=6.求证：△ACB∽△ECD」 E 7.(24-25九年级上福建宁德阶段检测)如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD=6, AB=15,AE=4,AC=10,证明：△ADE一△ABC, D AB AC 8.(25-26九年级上陕西延安期末)如图，∠BAD=∠CAE,ADAE,求证：△ABC∽△ADE· B 4/15 知识点03：判定定理3(SSS)的演绎推理证明 AB AC BC 已知：在△ABC和△ABC中，AB AC-BC=k 求证：△ABC△AB'C。 证明思路： 在AB上截取AD=AB',在AC上截取AE=A'C',连接DE; AD AE 1 DE 1 由AB AC k,得DElBC,故BCk,即DE=B'C: 由SSS得△ADE≌△AB'C',结合△ADE一△ABC,得△ABC一△A'B'C'。 逻辑核心：通过构造全等三角形，将“三边成比例”转化为“三角相等”，完成判定。 9.(25-26九年级上·吉林期末)如图，在△ABC中，已知AB=45,AC=54,BC=15.在△DEF中，已 知DE=30,EF=10,DF=36,求证：△ABC△DEF. E1OF 30 C 36 15 D 54 B 45 A 10.(25-26九年级上：浙江嘉兴阶段检测)如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长 为1的小正方形的顶点上. 】 (I)填空：∠EDF= EF= (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. 5/15 11.(25-26九年级上·安徽阜阳期中)如图，在8×8的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为 1,△ABC与△DEF的顶点均在格点上，求证：△ABCn△DEF. 12.(25-26九年级上：广西南宁·开学考试)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE. B (I)尺规作图：作BC的垂直平分线GF,交BC于点F.(不写作法，保留作图痕迹) 2②)在第(I)问的条件下，连接DF,EF,AF.求证：四边形ADFE为平行四边形. 知识点04：直角三角形HL判定定理的证明 AB AC 己知：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C-=∠C-90°，ABAC。 求证：Rt△ABC一Rt△AB'C。 证明思路： 由勾股定理，BC=VAB2-AC,B'C'=VA'B2-AC: AB AC BC Vk2A'B2-k24'C2 结合ABAC= ,得BC =k AB2-AC2 AB AC BC 故AB AC-BC=k ,由SSS判定得Rt△ABC-Rt△AB'C'。 本质：直角三角形HL判定是SSS判定的特例，利用直角条件简化证明。 6/15 13.(25-26九年级上福建福州阶段检测)如图，在等腰直角△ABC,BA=BC,∠ABC=90°，点D在 AC上. D (I)尺规作图：作出将△ABD绕点B顺时针方向旋转90°后得到的△CBE；(不写作法，保留作图痕 迹) (2)连接DE,求证：△ABC∽aDBE 14.(25-26九年级上福建福州阶段检测)如图，C为线段AB上一点，∠DAC=∠EBC=90°， AD=3,CD=5,BE=6,BC=8,判断△ACD与aBCE是否相似，并说明理由. E D A B 15.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，连接BD, ∠ABD=∠C,请你用尺规作图法在BC边上找一点E,连接DE,使得△ABD∽△ECD.(不与作法， 保留作图痕迹) B 16.(2026吉林长春·一模)如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=90°.动点P从点C出发，沿折线 向终点4运动.当点P不与△1BC CB-BA PC △PCO 的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点 A在直线PC的同侧，且∠PQC=90°. 7/15 0 (I)当点P在边BC上运动时，连接AP,当AP⊥BC时，PC的长为-： BP (②)当点P在边BC上运动时，若PC=2BP,则Ag的值为-： ③)当点P在边AB上运动时，连接10.求证：BP=V50 4)当QC=2QA时，直接写出PC的长. 知识点05：相似以三鱼形判定与全等三角形判定的逻辑联系 包含关系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，故全等判定(ASA、AAS、 SAS、SSS、L)均可视为相似判定的特例： 区别：相似判定允许边成比例（非必须相等），角只需相等（无需边相等），条件更宽 松： 逻辑延伸：从“边等十角等→全等”推广到“边成比例十角相等→相似”，体现数学从特 殊到一般的抽象过程。 17.(2025·浙江绍兴二模)如图，'用4个全等的Rt△ADE,Rt△CBG,RtAGEH,Rt△EGF和2个全等 EH 的RteABH'RtADCF拼成如图所示的矩形ABCD:则AH的值为() B 5-1 3 A 2 B. C.2 D.2 18.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG摆成 如图所示的样子，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选 8/15 取其中一对进行证明. D E 19.(2024河北秦皇岛·模拟预测)如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∠BAC=∠EDF=9O°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转 过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q. D 图① 图② I)如图O,当点2在线段AC上，且AP=AO时，求证：△BPE≌△CQE； (②)如图②，当点O在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽aCEO. 20.(23-24九年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)如图是8×6的正方形网格，已知△ABC,请按下列要求完 成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）· B B (I)将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△4BC,请在图中作出△4C: (②)在图中，以∠B为公共角，仅用无刻度直尺在线段AB,BC上分别找一点P,O,使△BPO与△BAC 相似但不全等. 9/15 知识点06：利里判定定理进行几何推理论证 规范步骤： 明确待证的两个三角形： 选择判定定理(AA/SAS/SSS/HL),列出所需条件： 逐步推导条件（如通过平行线得角相等、通过线段计算得边成比例）； 书写证明：“在△ABC和△DEF中，，·（条件)，.△ABC一△DEF(判定定 理)”。 示例：已知DEl‖BC,求证△ADE△ABC。 证明：，DEBC, ∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .∴.△ADE-△ABC(AA)。 21.(2024山西吕梁模拟预测)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序， 你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是() 已知：如图，在△ABC D,E,F AB,AC,BC,DE∥BC,DF∥AC 中，点 分别在边 上，且 ,求证： △ADE∽△DBF 证明：①又：DF∥AC,②，DE∥BC,③∴∠A=∠BDF,④.∴∠ADE=∠B,.△ADE∽△DBF」 A.③②④①B.②④①③ C.③①④② D.②③④① 22.(25-26九年级上·福建三明期中)学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判 定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“HL”的方法判定两 10/15 个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”.于是他开始画 图证明.请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明. 己知：如图， 求证： 证明： B C1 B 23.(2024北京模拟预测)如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF,FG⊥AB D C E B (I)证明：△DAE∽△EGF (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF 24.(24-25九年级上山东聊城阶段检测)在等边三角形ABC和等边三角形DMN中，点D为AB边的中 点，DM、DN分别交ACBC于点EF,连接EF, E D B 图1 图2 1)如图1所示，若∠ADM=70°，则∠DFB的度数为 (直接写出结果)， (2②)如图1所示，若∠ADE为任意锐角，证明：△ADE∽aBFD 3)若将△DMN绕D点顺时针旋转，如图2所示DM与AC的延长线交于点E,其他条件不变，则 (2)中的结论是否仍成立？并写出证明过程. 11/15 课时训练 一、选择题 1.(2026上海三模)如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=90°，∠A=45°，∠D=60°，现在用 条直线将△1BC分剧成两个小三角形，分别记作△，△？，用另一条直线将△DEF也分割成两个小三 角形，分别记作，△. ,那么以下说法不正确的是() D B F A.当两条分割线分别经过点4，D时，存在与产相似且 与4相似 B.当两条分制线分别经过点A、时，存在与相似且△与△相似 △△ C.当两条分割线分别经过点4、D时，存在△与相似且与△相似 D.当两条分制线分别经过点五、区时，存在△与△，相似且与△相似 2.(2026四川凉山中考真题)如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△ABC'的位置，AC与 A'C交于点E,AC与BC'交于点F,则下列结论不一定正确的是() A A.AE=EF B.∠ABA'=∠CBC' C.△ABC≌AABC D.△BCF∽△EC'F 3.(2026河北张家口·二模)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点 12/15 重合)，EF∥BC.添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是() E B D A.DEl AC B.∠1+∠2=180° AE AF C.∠3=∠C D.BE DE 4.(25-26九年级下广东湛江期中)在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径 作弧，分别交AB、BC于点M,N,②分别以MN为圆心，大于2MW的长为半径作弧，两弧相交于 点O;③作射线BO,交AD于点E,CD的延长线于点F.已知AB=3,DE=2,下列结论错误的是 () A E D M B BE 5 A,∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF D.EF=3 二、填空题 5.(25-26九年级上广西来宾·期末)如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC, 则这个条件可以是： (不添加辅助线，写出一种情况即可) 6.(25-26九年级上湖南湘潭期末)如图，在△ABC中，AB=AC=10Cm,∠BAC=36°，分别以A,C 13/15 为圆心，以大于2AC长为半径画弧，两弧交于点MN,过点M、N作直线交AB于点D,交AC于点 E,再连接CD.则CD= cm(结果保留根号). 7.(24-25九年级下·江西赣州阶段检测)在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子： AB OA ①AB‖CD:②∠A=∠C:③CDOC,当从这三个式子中，任意选择一个作为己知条件时，能得到 △AOB与△COD相似的概率为 A 8.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，△ADE、△ABC和3张都标注一个条件的卡片.从这3张卡片 中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断△ADE一△ABC的概率为 D ① ② ③ AD_AE ∠1=∠2 ∠B=∠D AB AC 三、解答题 9.(2026广东清远·三模)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. G E 图1 图2 图3 【问题发现】 14/15 DE I)如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G,则CF 【拓展研究】 E ②)如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G,AB=3,AD=5'则C 【解决问题】 DE AD 3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证： CE CD 10.(2026河南二模)有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角吗？ B B 图1 图2 图3 (I)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边AB,BC,找到它们的中点M,N,沿MN折叠，得 到折痕MN后展开.沿过点M的直线折叠△ABC使点A落在点A'处，且A在直线MN上，折痕与AC 交于点E.请判断小明所做的四边形AMAE是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在AB上取一点D,沿过D的直线折叠∠A,使A落在点 A处，且AD∥AC,折痕与AC交于点E:沿过D的直线折叠∠B,使点B的对应点B'落在射线DA 上，连接EB,折痕与BC交于点F.请研究图形并回答以下问题： AD ①当BD 时，DF∥EB: ②在①的情况下，△ABC的边满足条件」 时，四边形DEB'F是矩形 15/15