3. 2 探索三角形相似的条件(3) 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习通过三级分层设计，实现从三角形相似判定基础到综合应用的递进巩固，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|相似三角形性质与判定（SSS、SAS、AA）|选择、填空及简单证明题，强化基础公式应用与推理意识| |B级能力提升|网格图形、旋转变换中的相似判定|多结论判断题、性质应用证明题，发展几何直观与空间观念| |C级综合拓展|折叠与相似结合的复杂问题|需综合勾股定理、方程思想，提升模型意识与创新意识|

第三章 图形的相似 第二节 探索三角形相似的条件(3) 今日复习 1.相似三角形的性质： 、 . 2.判定两个三角形相似的方法： (1)定义法(不常用)； (2) ; (3) ; (4) . 名师点拨 1.重视推理，重视表达，重视每一步的依据. 2.要证明线段的比例式，一般以相似三角形为工具来达到证明的目的.其方法是“三点定形法”，它通过对比例式“横看”或“竖看”所得出的两组“三个不同点”确定两个三角形，然后再证明它们相似. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(2026·编写)已知一个三角形的三边长分别为6cm,9 cm,7.5cm,另一个三角形的三边长分别为12cm,15cm,18cm,则这两个三角形 (填“相似”或“不相似”). 2.(2026·编写)△ABC的三边长为 , 2,△A'B'C'的两边长为 1, ，要使△ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'的第三条边长是 . 3.(2026·编写)已知两个三角形的三边分别为1, , 和 , ，2，则两个三角形 (填“相似”或“不相似”). 4.(2026·编写)如图,在△ABC中，P为AB 上的一点，现有下列四个条件:①∠ACP = ∠B; ②∠APC=∠ACB;③AC²=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.添加其中一个条件能满足△APC 和△ACB 相似的有 个. 5.若△ABC 的三边长分别为1, , ,△DEF 的三边长分别为 2,2 ,2 ,则△ABC与△DEF ( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判定是否相似 6.如图，在正方形网格上有两个相似三角形 △ABC 和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为 ( ) A.135° B.90° C.60° D.45° 7.如图,点 P 在△ABC 的边AC 上,要判断△ABP∽△ACB,添加下列一个条件，不正确的是 ( ) A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC 8.(2026·编写)在△ABC和△A'B'C'中,有下列条件： ③∠A =∠A';④∠B =∠B';⑤∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有 ( ) A.4组 B.5 组 C.6组 D.7组 9.(1)(2026·编写)如图,∠B=90°,∠ACB=30°,AC=2,AD=4, 求证：△ABC∽△ACD. (2)(2026·编写)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE.求证： ①AB·AE=AC·AD; ②△ADE∽△ABC. 10.(2026·编写)如图,已知 AB∥A'B', 求证:△ABC∽△A'B'C'. B级 能力提升 11.(2026·编写)如图，在正方形网格中有5个三角形(三角形的顶点均在格点上)：①△ABC,②△ADE,③△AEF,④△AFH,⑤△AHG,在②至⑤中,与①相似的三角形是 .(填序号) 12. (2026 · 编写) 如图,在△ABC 中,∠BAC=45°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△AB₁C₁,当 C,B₁，C₁三点共线时，旋转角为α，连接BB₁ 交 AC 于点 D,有以下结论:①△AC₁C为等腰三角形;②CA=CB₁;③α=135°;④△AB₁D∽△ACB₁; 其中正确结论的序号为 . 13.(2026·编写)如图,在边长为4 的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE与AF 交于点G,AF 的中点为 H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE; ③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有 .(请填上所有正确结论的序号) 14.(2026·编写)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,AB上,且AE=AF,又AG⊥BE于点G.求证: (2)GF⊥GC. C级综合拓展 15.(2026·金牛)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4, E为BC 边的中点,连接AE,将△ACE 沿AE 折叠得到△ADE,DE 交 AB 于点 O,连接BD.求 的值. 【今日复习】 1.三角对应相等 三边对应成比例 2.(2)两角对应相等，两三角形相似 (3)三边对应成比例，两三角形相似 (4)两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.相似 2. 3.相似 4.3 5. A 6. D 7. D 8. C9.(1)【证明】∵∠B = 90°,∠ACB =30°,AC=2, ∵AD=4,DC= ∴△ABC∽△ACD. (2)【证明】①∵∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE, ∴△ABD∽△ACE, ∴AB·AE=AC·AD. ②∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.由①得 ,△ADE∽△ABC. 10.【证明】∵AB∥A'B', ∴△OA'B'∽△OAB, ∴△ABC∽△A'B'C'. B级(能力提升) 11.②④ 12.①②④⑤ 13.①④ 14.【证明】(1)∵AG是 Rt△ABE 的斜边BE 上的高, ∴Rt△AGE∽Rt△BGA, ∵AE=AF,AB=BC, (2)由 Rt△AGE∽Rt△BGA,得∠GAF=∠GEA. ∵AD∥BC,∴∠GEA=∠CBG,∴∠GAF=∠CBG. ∴△AGF∽△BGC,∴∠AGF=∠BGC. ∵∠AGF+∠FGB=90°,∴∠BGC+∠FGB =90°, ∴GF⊥GC. C级(综合拓展) 15.【解】如图,过点E作EH⊥BD 于点 H. ∵∠C=90°,AC=4,. ∵E为BC 边的中点, ∴CE=BE=2, ∵△ACE沿AE 折叠得到△ADE, ∴DE=CE,∠AEC=∠AED, ∴DE=EB, ∴∠EDB=∠EBD. ∵∠CED=∠AEC+∠AED=∠EDB+∠EBD, ∴2∠AEC=2∠EBD, ∴∠AEC=∠EBD, ∴AE∥BD. ∵∠EHB=∠C=90°,∠EBH=∠AEC, ∴△EBH∽△AEC, ∴BH:EC=BE: EA, ∵BD∥AE, ∴△BOD∽△AOE, 学科网（北京）股份有限公司 $