第六单元 格点多边形面积（同步练习）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

**基本信息** 格点多边形面积同步练聚焦五年级上新增知识点，以皮克定理为核心，通过基础应用、灵活迁移、综合拓展三层设计，培养几何直观与模型意识，实现从概念理解到问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|格点计数、公式直接应用|1-7题通过图形数格点，强化“边界点÷2+内部点-1”基本运算，纠正漏数、误计等误区| |进阶层|公式灵活迁移、钉子板问题|8-13题结合表格分析（如第8题）、钉子板边界与内部点数计算（如第9题），发展推理意识| |拓展层|综合应用、模型表达|14-22题含图形分割（如第15题）、字母公式推导（如第19题），提升空间观念与应用意识|

第六单元 格点多边形面积（新增知识点）--2026-2027学年人教版数学五年级上 知识点梳理 · 格点‌：平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点（单位正方形网格的顶点）。 · ‌格点多边形‌：所有顶点均落在格点上的‌简单多边形‌（边不自交），默认网格中小正方形边长为 1，面积为 1。 · 核心公式：皮克定理（Pick's Theorem） 格点多边形面积=‌边界格点数÷2+‌内部格点数-1 · ✅ 关键前提：顶点必须在格点上；仅适用于‌简单多边形‌。 · 常见误区提醒 ❌ 边界点漏数（尤其斜边上非顶点的格点）； ❌ 将边界点误计入内部； ❌ 对非简单多边形（如“8”字形）直接套用公式； ❌ 忽略单位网格边长是否为 1（若边长为 kk，面积需乘以 k^2k2）。 常见2大类题型 一、格点多边形面积 1．如图，多边形的面积是( )平方厘米。 2．如图，每个小方格的边长是1cm，涂色部分图形的面积是( )cm2。 3．如图，每个小方格的边长为1cm。图形A的面积是( )；图形B的面积是( )。 4．图中每个小方格表示1平方厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 5．图中小正方形的面积是甲的面积是( )cm2，乙的面积是 ( )cm2。 6．下面分别写出下列每个图形的面积。 ( )平方厘米  ( )平方厘米  ( )平方厘米 7．写出下面各个图形的面积．（每个小格代表1平方厘米） 图①的面积是　 　平方厘米； 图②的面积是　 　平方厘米； 图③的面积是　 　平方厘米． 8．多边形的所有顶点都落在点子图的圆点上，叫做格点多边形。1899年，奥地利数学家乔治·皮克发现了一个计算格点多边形面积的巧妙公式，人们称它为皮克定理。 皮克定理：如果一个格点多边形的内部格点数为a（红色点），边界格点数为b（蓝色点），那么它的面积。 图形 ① ② ③ ④ 内部格点数a/个 1 6 边界格点数b/个 6 8 面积 3 (1) 如图形①所示，内部格点数为1，边界格点数为6，因此（平方厘米）。请仿照例子，计算图形②和图形③的面积，并将相关的数据填在表格里。 (2)在点子图上画一个你喜欢的格点多边形④，数出内部格点数和边界格点数，并利用“皮克定理”计算它的面积，填在表格里。 二、钉子板上的多边形 9．张晓同学在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间为1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有5枚钉子，这个多边形的面积________平方厘米。 10．在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米，围出的多边形边上有13枚钉子，多边形内有2枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 11．如图，钉子板上围出的多边形的面积是( )平方厘米。 12．下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有7枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 13．下图中每两枚钉子之间的距离表示1厘米。 (1)以上四个图形内部都有( )枚钉子。 (2)图①的面积是( )平方厘米，图①边上的钉子数是( )枚。 (3)图②的面积是( )平方厘米，图②边上的钉子数是( )枚。 (4)当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么( )。 三、课后作业 14．如图，每个小方格的边长是1cm，图中阴影部分的面积是( )。 15．下图中每个小方格的面积是1cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 16．下面图形的面积是( )平方厘米。（每个小方格表示1平方厘米）    17．如图，图中每个小正方形的面积为2cm2，则图中多边形的面积是( )。 18．写出下面每个多边形的面积（相邻两点之间的距离都是1cm）。 ( )cm2              ( )cm2          ( )cm2 19． 在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米。如果围出的多边形边上有枚钉子，内有2枚钉子，这个多边形的面积用含有字母的式子表示是( )平方厘米。 20．在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，S＝( )。 20． 小明在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间距离是1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有6枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 22．根据钉子板上的图形完成下表（每小格表示1平方厘米）。 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝（     ）。 《第六单元 格点多边形面积（新增知识点）--2026-2027学年人教版数学五年级上》参考答案 1．114 【分析】根据对图的观察，该多边形可以分成上面的三角形和下面的梯形（见下图）； 上面的三角形底是6格，高是3格，下面梯形上底为6格，下底为7格，高为3格，同时1格等于2厘米，用格数乘2，可得各边的长度的厘米数，根据三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数值代入求值即可。 【详解】由分析可得： 6×2＝12（厘米） 7×2＝14（厘米） 3×2＝6（厘米） 12×6÷2＋（12＋14）×6÷2 ＝72÷2＋26×6÷2 ＝36＋156÷2 ＝36＋78 ＝114（平方厘米） 综上所述：多边形的面积是114平方厘米。 2．24 【分析】观察图形可知，把左边半个面积平移到右边半格处，正好组成长是6cm，宽是4cm的长方形，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】6×4＝24（cm2） 【点睛】利用平移，把不规则图形的面积，关键是通过“转化”，把不规则图形转化为规则图形进行解答。 3． 5 9 【分析】此题考查的是组合图形的面积。由图可知，图形A可以拆成一个底是2cm、高是2cm的三角形和一个底是3cm、高是1cm的平行四边形。图形B可以拆成一个底是4cm、高是1cm的三角形，一个上底是4cm、下底是5cm、高是1cm的梯形和一个底是5cm、高是1cm的三角形。三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】图形A：2×2÷2＋3×1 ＝4÷2＋3 ＝2＋3 ＝5（） 图形B：4×1÷2＋（4＋5）×1÷2＋5×1÷2 ＝4÷2＋9×1÷2＋5÷2 ＝2＋9÷2＋2.5 ＝2＋4.5＋2.5 ＝6.5＋2.5 ＝9（） 4．3 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝正方形面积－2个三角形面积，且这两个三角形底是3厘米，高是2厘米的三角形，从而解答问题。 【详解】3×3－3×2÷2－3×2÷2 ＝9－6÷2－6÷2 ＝9－3－3 ＝6－3 ＝3（平方厘米） 【点睛】本题考查正方形面积和三角形面积公式的运用，关键是阴影部分面积是正方形面积与2个三角形面积的差。 5． 8 7 【分析】根据图形观察，找出图形与格子之间的关系，并数出相对应的格子数即可。 【详解】甲图形占了6个全格，另外的部分占两个格子的一半，即一个格子，也就是甲图形占了8个格子，其面积也就是8cm2。乙图形占了4个全格，一部分占两个格子的一半，即一个格子，一部分两个格子可以互相补充，即2个格子，也就是乙图形占了7个格子，其面积也就是7cm2。 6． 13 10 17 【分析】根据数格子求面积的方法，先数出整格的，然后数出半格的，2个半格按照一个整格计算，数出每个图形的面积有多少格；又已知每个小方格表示1平方厘米，再乘1，就可求出每个图形的面积；据此解答。 【详解】经过数数发现： 第一个图形，整格的有11个，半格的有4个；则有： 11＋4÷2 ＝11＋2 ＝13（格） 13×1＝13（平方厘米） 即第一个图形的面积是13平方厘米。 第二个图形，整格的有6个，半格的有个8；则有： 6＋8÷2 ＝6＋4 ＝10（格） 10×1＝10（平方厘米） 即第二个图形的面积是10平方厘米。 第三个图形，整格的有12个，半格的有个10；则有： 12＋10÷2 ＝12＋5 ＝17（格） 17×1＝17（平方厘米） 即第三个图形的面积是17平方厘米。 13平方厘米         10平方厘米           17平方厘米 7．8；8；8． 【详解】试题分析：观察图形可知，图形①的面积是长4厘米，宽2厘米的长方形的面积； 图形②可以分成4部分计算：中间是边长2厘米的正方形；左边是边长2厘米的等腰直角三角形；下面和右面是边长底2厘米、高1厘米的等腰三角形，据此利用正方形和三角形的面积公式计算即可； 图形③是一个上底2厘米、下底3厘米高4厘米的梯形与长2厘米、宽1厘米的长方形的面积之差，据此即可解答． 解：图形①的面积是：4×2=8（平方厘米）， 图形②的面积是：2×2+2×2÷2+2×1÷2×2， =4+2+2， =8（平方厘米）； 图形③的面积是：（2+3）×4÷2﹣2×1， =10﹣2， =8（平方厘米）； 故答案为8；8；8． 点评：此题主要考查长方形、正方形、梯形、三角形的面积公式的计算应用以及利用割补法求不规则图形的面积的方法． 8．(1) (2)； 【分析】（1）图形②的内部格点数为6，边界格点数为8，利用公式计算出面积，并填表。图形③的内部格点数为8，边界格点数为12，利用公式计算出面积，并填表。 （2）画一个长为6厘米，宽为4厘米的格点长方形，数出内部格点数和边界格点数，利用公式计算出面积，并填表。 【详解】（1）图形②：6＋×8－1 ＝6＋4－1 ＝9（平方厘米） 图形③：8＋×12－1 ＝8＋6－1 ＝13（平方厘米） （2）图形④的内部格点数为15，边界格点数为20。 ＝15＋×20－1 ＝15＋10－1 ＝24（平方厘米） 9．4.5 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此多边形边上钉子数是5，内部钉子数是3，把数据代入计算即可。 【详解】5÷2＋（3－1） ＝2.5＋2 ＝4.5（平方厘米） 张晓同学在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间为1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有5枚钉子，这个多边形的面积 4.5平方厘米。 10．7.5 【分析】根据在钉子板上，，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数，把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以这个多边形的面积是7.5平方厘米。 【点睛】，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数。 11．5.5 【分析】钉子板上的多边形的面积＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此多边形边上钉子数是5，内部钉子数是4，把数据代入计算即可。 【详解】5÷2＋（4－1） ＝2.5＋3 ＝5.5（平方厘米） 钉子板上围出的多边形的面积是5.5平方厘米。 12． 3.5 4.5 【分析】钉子板上的多边形的面积＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】7÷2＋（1－1） ＝3.5＋0 ＝3.5（平方厘米） 7÷2＋（2－1） ＝3.5＋1 ＝4.5（平方厘米） 钉子板中多边形的面积是3.5平方厘米；在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有7枚钉子的多边形，这个多边形的面积是4.5平方厘米。 13．(1)2 (2) 4 6 (3) 5 8 (4) 【分析】（1）观察4个图形，通过数一数即可确定四个图形内部都有2枚钉子。 （2）每两枚钉子之间的距离表示1厘米，图①是一个上底为1厘米，下底为3厘米，高为2厘米的梯形，利用梯形的面积公式即可求出图①的面积；通过数一数即可确定图①边上的钉子数量。 （3）图②是一个上底为2厘米，下底为3厘米，高为2厘米的梯形，利用梯形的面积公式即可求出图②的面积；通过数一数即可确定图②边上的钉子数量。 （4）根据公式：钉子板上多边形的面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1，如果n表示钉子数，内部有2枚钉子，把数和n带入公式，由此即可解答。 【详解】（1）以上四个图形内部都有2枚钉子。 （2）（1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米） 图①的面积是4平方厘米，图①边上的钉子数是6枚。 （3）（2＋3）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝5（平方厘米） 图②的面积是5平方厘米，图②边上的钉子数是8枚。 （4）S＝（n÷2）＋（2－1） ＝ n÷2＋1 当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么S＝ n÷2＋1。 【点睛】本题主要考查钉子板上多边形面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 14． 【分析】观察图形可知：图中阴影部分中满格的小正方形有6个；半格的有8个，可拼成4个满格；剩下四个不规则的图形可拼成2个满格；根据“每个小方格的边长是1cm”可知一格是1平方厘你，即可解答。 【详解】满格有6个； 半格有8个，8÷2＝4（个）； 不规则有4个，4÷2＝2（个） 6＋4＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 一个小方格面积：1×1＝1（平方厘米） 12×1＝12（平方厘米） 【点睛】数出这个图形的所占的格子数，是解决本题的关键。 15．15 【分析】 小方格的面积是1cm2，则小方格的边长是1cm；把图形分成一个三角形和梯形，如图：，三角形的底是4厘米，高是4厘米；梯形的上底是4cm，下底是3cm，高是2cm；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】4×4÷2＋（4＋3）×2÷2 ＝16÷2＋7×2÷2 ＝8＋14÷2 ＝8＋7 ＝15（cm2） 下图中每个小方格的面积是1cm2，阴影部分的面积是15cm2。 16．22 【分析】针对多边形的图形的面积计算，一般采用分割法的方法进行，将这个图形分成熟悉的图形进行面积计算。也可以数格子，不满一个格子的按半个格子算。 【详解】先用分割法对图形进行分割，如下图所示：    将图形分割成两个三角形和一个长方形，第一个三角形面积为：5×2÷2＝5，第二个长方形面积为：3×5＝15，第三个三角形面积为：2×2÷2＝2，所以这个图形面积为：5＋15＋2＝22。 也可以用数格子的方法，每个小方格表示1平方厘米，先数满一个格子的数量，发现有18个格子是满一格的，再数不满一格的，有8个，按照不满一格按半个格子算，则这个图形面积为：18×1＋8÷2＝22。 【点睛】本题考查学生对不规则的多边形的面积的计算方法。 17．38 【分析】观察图形，结合多边形的边框，数出整格的个数以及不是整格的数量； 每个整格的面积是2cm2，不满整格的按半格计算，据此分析解答。 【详解】观察图形可知，整格一共有12个，半格一共有14个。 12×2＋（14÷2×2） ＝12×2＋（7×2） ＝24＋14 ＝38（cm2） 图中多边形的面积是38 cm2。 18． 7.5 6 14 【分析】 图形1： ，多边形的面积＝底是（1×2）厘米，高是（1×2）厘米的三角形面积－底是1厘米，高是1厘米的三角形面积＋边长是（1×3）厘米的正方形面积－3个边长1厘米的正方形面积；根据三角形面积＝底×高÷2，正方形面积＝边长×边长，代入数据，即可解答； 图形2：，多边形面积等于底是（（1×3）厘米，高是1厘米的三角形面积＋上底是1厘米，下底是（1×2）厘米，高是（1×3）厘米的梯形面积，根据三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出多边形面积； 图形3：，多边形面积＝边长是（1×4）厘米的正方形面积－4个底是1厘米，高是1厘米的三角形面积，根据正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】图形1： 2×2÷2－1×1÷2＋3×3－1×1×3 ＝4÷2－1÷2+9－3 ＝2－0.5＋9－3 ＝1.5＋9－3 ＝10.5－3 ＝7.5（平方厘米） 图形2： 3×1÷2＋（1＋2）×3÷2 ＝3÷2＋3×3÷2 ＝1.5＋9÷2 ＝1.5＋4.5 ＝6（平方厘米） 图形3： 4×4－1×1÷2×4 ＝16－1÷2×4 ＝16－0.5×4 ＝16－2 ＝14（平方厘米） 多边形面积分别是：7.5平方厘米，6平方厘米，14平方厘米。 19．n÷2＋1 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】n÷2＋（2－1）＝ n÷2＋1 在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米。如果围出的多边形边上有枚钉子，内有2枚钉子，这个多边形的面积用含有字母的式子表示是n÷2＋1平方厘米。 20． n÷2 n÷2＋1 【分析】钉子板上的多边形的面积公式是：S＝（n÷2）＋（b－1），其中n为多边形边上钉子数，b为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】（n÷2）＋（1－1）＝n÷2 （n÷2）＋（2－1）＝n÷2＋1 在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝n÷2；当多边形内有2枚钉子时，S＝n÷2＋1。 21．5 【分析】根据钉子板上多边形面积计算方法：多边形面积＝边上钉子数÷2＋（内部钉子数－1），把数据代入公式，即可求得这个多边形的面积。 【详解】6÷2＋（3－1） ＝3＋2 ＝5（平方厘米） 这个多边形的面积是5平方厘米。 【点睛】掌握钉子板上多边形面积计算方法是解答此题的关键。 22．表格见详解；n÷2＋1 【分析】先分别通过长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2求出三个图形的面积，再数边上的钉子数，填写多边形边上的钉子数，进行推导出当多边形内有2枚钉子时，它的面积的表达式。 【详解】长方形的长为3厘米，宽为2厘米，面积为3×2＝6（平方厘米），边上钉子数为10枚； 平行四边形的底为2厘米，高为2厘米，面积为2×2＝4（平方厘米），边上钉子数为6枚； 三角形的底为5厘米，高为2厘米，面积为5×2÷2＝5（平方厘米），边上钉子数为8枚。 据此填表如下： 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 6 4 5 多边形边上的钉子数/枚 10 6 8 长方形的面积为6平方厘米，边上钉子数为10枚，内部钉子数有2枚，而6＝10÷2＋1； 平行四边形的面积为4平方厘米，边上钉子数为6枚，内部钉子数有2枚，而4＝6÷2＋1； 三角形的面积为5平方厘米，边上钉子数为8枚，内部钉子数有2枚，而5＝8÷2＋1。 因此，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝多边形边上的钉子数÷2＋1。 所以，用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝n÷2＋1。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $