3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数模型解决实际问题，以阶梯电价、出租车计费等生活场景导入，衔接学生已学的一次函数等知识，搭建从函数概念到实际应用的学习支架。 特色在于通过个税计算实例引导建立分段函数，培养数学思维，结合汽车速率-时间图象读取信息提升数学眼光与数学语言表达，帮助学生掌握问题解决完整流程，为教师提供可操作的实例与方法。

教学设计-2026-2027学年 3.4 函数的应用（一） 高一 数学 人教A版 必修第一册 一、课型 新授课。 二、学习目标 1. 能够结合具体实例，经历分析变量关系、建立函数解析式、利用函数性质求解并还原实际答案的完整过程，体会利用函数模型解决实际问题的方法。 2. 能够根据个人收入区间建立分段函数解析式，正确确定分段点与定义域，解决多段计费类实际问题。 3. 能够从速率—时间图象中读取信息并解释其实际含义，选择恰当的方法表示问题中的函数关系，提升直观想象与数学建模素养。 三、学情分析 学生在前期已经学习了一次函数、二次函数、幂函数等基本初等函数的概念与性质，具备了一定的函数意识。但面对实际问题时，学生往往难以准确提炼变量间的依赖关系，容易忽略函数定义域的实际限制，在多段计费类问题中确定分段点和建立分段函数解析式时容易产生混淆。此外，从图象中提取信息并将其转化为函数解析式的能力尚显不足，需要通过具体实例加以引导和强化。 四、教学内容及教师活动设计 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 课时 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 课题 3.4 函数的应用（一） 课型 新授课 1 1. 情境导入。 教师呈现生活中常见的计费场景，如阶梯电价、出租车计费、个人所得税缴纳等，引导学生思考这些场景中费用与用量之间的对应关系。教师提问：这些场景中的费用是否随用量均匀变化？学生回答：不是，不同区间的计费标准不同。教师追问：那么如何用数学语言精确描述这种关系？预设学生回答：需要用分段函数来表示。教师指出，我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，本节课将通过实例体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 2. 探究新知。 教师呈现个人所得税计算的实际背景。根据教材口径，个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数；应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除。教师提问：如果已知某纳税人的综合所得收入额以及各项扣除信息，如何计算其应缴纳的个税？教师引导学生分析：首先需要根据综合所得收入额减去各项扣除得到应纳税所得额，然后根据应纳税所得额所处的区间确定适用税率与速算扣除数，最后代入公式计算。 教师出示例题：某企业员工年度综合所得收入额为120000元，基本减除费用为60000元，专项扣除为18000元，专项附加扣除为24000元，依法确定的其他扣除为0元。设应纳税所得额为x元，应缴纳个税为y元，按税率表分段计算。 教师引导学生计算应纳税所得额：x=120000−60000−18000−24000−0=18000元。教师追问：x=18000落在哪个区间？预设学生回答：落在不超过36000元的区间。教师继续引导：根据公式y=x×3%−0，即y=0.03x。教师提问：当x=18000时，y的值是多少？学生计算：y=0.03×18000=540元。教师总结：根据个人收入情况，利用获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税。 教师进一步追问：如果该员工年度综合所得收入额提高到150000元，其他扣除不变，应纳税所得额变为多少？学生计算：x=150000−60000−18000−24000−0=48000元。教师提问：此时x落在哪个区间？预设学生回答：超过36000元至144000元的区间。教师追问：该区间税率为10%，速算扣除数为2520，如何计算y？学生回答：y=48000×10%−2520=4800−2520=2280元。教师强调：多段计费类问题中分段点的确定是关键，当应纳税所得额跨越分段点时，必须按所在区间选取对应的税率与速算扣除数。 3. 图象信息读取。 教师呈现一辆汽车在平直公路上行驶的速率—时间图象：0至2小时内速率从0匀加速到60 km/h，2至4小时保持60 km/h匀速行驶，4至5小时从60 km/h匀减速到0。教师提问：图象中每一时段的行驶路程如何表示？预设学生回答：路程等于速率乘以时间，在速率—时间图象中对应时段的面积。教师追问：0至2小时这一时段的面积是多少？学生计算：×2×60=60 km。教师追问：2至4小时这一时段的面积是多少？学生计算：2×60=120 km。教师追问：4至5小时这一时段的面积是多少？学生计算：×1×60=30 km。教师总结：速率—时间图象中阴影面积的实际含义是行驶路程，全程总路程为60+120+30=210 km。 教师继续引导：能否分段建立里程表读数s与时间t的函数解析式？教师与学生共同分析：第一段s=×30t×t=15t²（0≤t≤2）；第二段s=60+60(t−2)=60t−60（2<t≤4）；第三段s=180+60(t−4)−30(t−4)²=−30t²+300t−420（4<t≤5）。教师追问：当t=2时，第一段和第二段的函数值是否相等？学生验证：15×2²=60，60×2−60=60，两段在分段点处衔接一致。当t=4时，第二段和第三段的函数值是否相等？学生验证：60×4−60=180，−30×4²+300×4−420=180，同样衔接一致。教师指出：对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。 4. 巩固练习。 教师出示练习：某市出租车收费标准为起步价10元（含3 km），超过3 km的部分每公里2元，超过10 km的部分每公里3元。设行驶里程为x km（x>0），车费为y元。教师提问：请写出y与x的函数解析式。预设学生回答：当0<x≤3时y=10；当3<x≤10时y=10+2(x−3)=2x+4；当x>10时y=10+2×7+3(x−10)=24+3(x−10)=3x−6。教师追问：定义域是什么？学生回答：x∈(0，+∞)。教师追问：若乘客乘车12 km，应付费多少元？学生计算：x=12>10，代入y=3×12−6=30元。 5. 课堂小结。 教师引导学生回顾本节课的核心内容：利用函数模型解决实际问题的过程为分析实际问题中的变量关系→建立函数解析式（注意定义域）→利用函数性质求解→还原为实际问题的答案。教师提问：建立函数模型时最易出错的是哪一步？预设学生回答：确定定义域和分段点。教师强调：分段函数模型在多段计费类问题中应用广泛，必须逐段分析量值关系，确保分段点处衔接一致。 五、板书设计 第一行：3.4 函数的应用（一）——分析变量关系→建立解析式（注意定义域）→利用性质求解→还原实际答案。 第二行：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数；应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除。 六、作业设计 1. 某市居民用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12 m³的部分按3元/m³收费，超过12 m³但不超过20 m³的部分按5元/m³收费，超过20 m³的部分按8元/m³收费。设某户每月用水量为x m³，应交水费为y元。写出y与x的函数解析式，并求当x=15和x=25时的水费。 答案：当0≤x≤12时y=3x；当12<x≤20时y=36+5(x−12)=5x−24；当x>20时y=36+40+8(x−20)=8x−84。当x=15时y=5×15−24=51元；当x=25时y=8×25−84=116元。 2. 一辆汽车在某段路程中行驶，0至1小时匀速行驶40 km/h，1至3小时匀速行驶60 km/h，3至4小时匀速行驶50 km/h。写出里程表读数s与时间t的函数解析式，并求全程总路程。 答案：当0≤t≤1时s=40t；当1<t≤3时s=40+60(t−1)=60t−20；当3<t≤4时s=160+50(t−3)=50t+10。全程总路程=40+120+50=210 km。 七、教学反思 本节课以个人所得税和汽车行驶速率两个实例为载体，引导学生经历了建立函数模型解决实际问题的完整过程。从课堂反馈来看，学生对分段函数的建立思路有了基本认识，但在确定分段点时仍存在边界值归属混淆的情况，例如将x=36000误归入超过36000元的区间。后续教学中应加强对分段点归属的专项辨析训练，并在图象信息读取环节增加由图象到解析式的独立练习，帮助学生更好地掌握选择恰当方法表示函数关系的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $