1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的包含、相等关系及子集、真子集、空集概念，课堂导入从实数大小关系类比，通过集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}的元素观察，衔接上节集合概念，搭建从元素与集合关系到集合间关系的学习支架。 该资料以严谨概念表述为基础，用Venn图直观呈现关系渗透数形结合思想，例题练习分层设计，如例1有序列举子集突破空集遗漏，练习1辨析∈与⊆强化逻辑推理，评价注重概念理解与方法掌握。助力学生构建知识网络提升直观想象与逻辑推理素养，为教师提供清晰教学流程与重难点突破策略。

高一 数学 必修第一册 1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年 人教A版 一、章节名称 章节名称 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 课标要求 从具体实例中理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集与真子集，并用Venn图直观表达集合间的基本关系。 二、课标要求 1. 从具体实例出发，理解集合之间的包含关系与相等关系的含义，能识别给定集合的子集、真子集，并掌握空集的规定。 2. 能用Venn图直观表达集合间的基本关系，体会数形结合与分类讨论的数学思想方法，提升逻辑推理与直观想象素养。 三、重点 1. 子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的双向包含判定方法。 2. 用Venn图形象表示集合间的包含关系，写出给定集合的所有子集与真子集。 四、难点 1. 符号∈与⊆的区别：前者刻画元素与集合的从属关系，后者刻画集合与集合之间的包含关系。 2. 空集是任何集合的子集这一规定，以及含参集合关系中端点值的取舍问题。 五、学习目标 1. 理解子集、真子集、集合相等与空集的概念，掌握子集与真子集的性质，能识别并正确运用相关符号表示集合间的基本关系。 2. 能用Venn图直观表达集合间的包含关系，会写出给定集合的所有子集和真子集，提升逻辑推理与直观想象素养。 六、评价设计 1. 通过课堂提问与例题演练，评价学生对子集、真子集、集合相等概念的理解程度及符号运用的准确性。 2. 通过写出给定集合所有子集的练习，评价学生分类列举方法的掌握情况，诊断空集遗漏等典型错误。 七、教学过程 教学过程 新课导入 提出问题 概念形成 巩固练习 课堂小结 设计意图： 从实数大小关系类比引入集合间的基本关系，降低认知起点，激发探究兴趣。 通过具体实例抽象概括子集概念，培养归纳概括能力。 通过例题演练与变式训练，巩固概念并突破难点。 通过梳理知识脉络，构建系统认知结构。 作业：课本习题1.2 第1—3题。 1. 新课导入。 教师活动：回顾上一节集合的概念与元素与集合的关系，指出实数有大小关系如3<5，进而提出集合与集合之间是否也有类似的关系。教师写出集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}，引导学生观察A中元素与B中元素的联系。 学生活动：观察发现集合A={1,2,3}中的每一个元素都是集合B={1,2,3,4,5}的元素，即集合A中的元素全部包含在集合B中。 设计意图：从实数大小关系类比引入集合间的基本关系，降低认知起点，激发探究兴趣，为子集概念的引出做好铺垫。 2. 概念形成。 教师活动：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。教师介绍Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师进一步引导：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。 教师活动：由集合之间的基本关系可得：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。教师强调包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A的区别：前者是集合与集合的关系，后者是元素与集合的关系。 学生活动：理解子集、真子集、集合相等、空集等概念，掌握符号A⊆B、A⫋B、A=B、∅的含义及读法，用Venn图分别画出A⊆B与A=B的情形。 设计意图：采用教材原文口径表述各概念，确保数学含义准确严谨，通过Venn图直观呈现包含关系，渗透数形结合思想。 3. 例题与巩固练习。 例1：写出集合{a,b}的所有子集与真子集。 解析：按元素个数从少到多有序写出。0个元素的子集为∅，1个元素的子集为{a}和{b}，2个元素的子集为{a,b}自身。因此集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}。真子集为除去自身{a,b}后的所有子集，即∅，{a}，{b}。 答案：所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}。 例2：已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0≤x≤4}，判断集合A与B的关系。 解析：集合A表示从1到3的所有实数，集合B表示从0到4的所有实数。由于区间[1,3]内的任意一个实数x都满足0≤x≤4，即A中任意一个元素都是B中的元素，因此A⊆B。又因为0∈B且0∉A，4∈B且4∉A，存在B中元素不属于A，所以A⫋B。 答案：A⫋B（A是B的真子集）。 练习1：判断下列关系是否正确。①0∈{0}；②0⊆{0}；③∅⊆{0}；④{0}⊆{0}。 解析：①0是集合{0}的元素，用∈符号，正确。②0是元素不是集合，不能用⊆符号表示集合间关系，错误。③空集是任何集合的子集，正确。④任何集合是它本身的子集，正确。 答案：①正确；②错误；③正确；④正确。 练习2：已知集合A={x|x²−1=0}，B={x|x²−2x−3=0}，判断A与B的关系。 解析：解方程x²−1=0得x=1或x=−1，所以A={1,−1}。解方程x²−2x−3=0，即(x−3)(x+1)=0，得x=3或x=−1，所以B={3,−1}。由于1∈A但1∉B，−1∈A且−1∈B，3∈B但3∉A，A中存在不属于B的元素，B中也存在不属于A的元素，因此A与B之间既无包含关系也无相等关系。 答案：A与B之间无包含与相等关系。 设计意图：通过例题与练习，巩固子集与真子集概念，突破∈与⊆的区别这一难点，提升逻辑推理与运算求解能力。 4. 课堂小结。 教师活动：引导学生回顾本节课所学的子集、真子集、集合相等、空集等概念，梳理符号体系及Venn图表示方法，强调易错点。 学生活动：总结本节知识点，形成知识网络：子集A⊆B，真子集A⫋B，集合相等A=B⇔A⊆B且B⊆A，空集∅⊆A。 设计意图：通过梳理知识脉络，帮助学生构建系统的认知结构，强化对核心概念的记忆与理解。 八、板书设计 1. 子集：A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 2. 集合相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B。真子集：A⫋B（或B⫌A）。空集：∅，规定∅⊆A。 3. 性质：A⊆A；若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。Venn图：用封闭曲线内部表示集合。 学科网（北京）股份有限公司 $