1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等与空集等核心概念。通过对比集合A={1,2}与B={1,2,3}的元素关联引出子集定义，再结合C={1,2,3}与B的关系导出集合相等，进而区分真子集，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料特色在于强化数学语言转化，借助Venn图动态演示实现符号、文字与图形语言融合，通过按元素个数有序列举子集培养有序思维，含参集合问题中数轴分析端点取舍训练逻辑推理。符合数学思维与数学语言核心素养，助力学生提升抽象能力与推理意识，教师使用可高效突破∈与⊆区别等重难点。

1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年 数学 必修第一册 人教A版 高一 一、教学目标 教学目标 内容描述 语言维度（1） 能用准确的数学符号语言表述子集、真子集、集合相等与空集等概念，正确书写A⊆B、A⫋B、A=B及∅等符号，区分属于关系a∈A与包含关系{a}⊆A。 语言维度（2） 能借助Venn图直观描述两个集合间的包含与相等关系，将文字语言、符号语言与图形语言进行相互转化。 能力维度（1）（2） 能够按元素个数从少到多有序地写出一个有限集的所有子集与真子集，不遗漏空集与自身；能运用双向包含关系判定集合相等，并在含参集合关系问题中对端点进行合理取舍。 二、教学重难点 教学重难点 具体内容 教学重点 子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的双向包含判定方法，Venn图的绘制与使用。 教学难点 属于关系a∈A与包含关系{a}⊆A的本质区别，空集是任何集合的子集这一规定的理解，含参集合关系中端点值的取舍与分类讨论。 突破策略 通过对比实例强化∈与⊆的差异，借助Venn图将抽象关系可视化，设置含参端点对比练习引导学生辨析等号取舍。 三、教学准备 教师准备多媒体课件，包含Venn图动态演示素材及子集关系对比表；学生复习集合的表示方法，准备好课本与练习本。 四、教学流程设计 （1）创设情境，探究发现。教师活动：教师在黑板上写出集合A={1，2}与B={1，2，3}，引导学生观察两个集合元素之间的关联，提问"集合A中的元素与集合B中的元素有何关系？"随后引出子集的定义——一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。教师进一步介绍Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，并当场画出集合B的Venn图，将集合A对应的封闭区域画在其内部。学生活动：学生观察实例，尝试用自己的语言描述A中元素全部出现在B中的现象，在练习本上模仿绘制Venn图。预设学生回答："A里面的1和2也都在B里面，A相当于B的一部分。" 教师追问：若集合C={1，2，3}，C与B的关系如何？引导学生发现集合相等的定义——一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B，也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A=B。教师继续追问：A⊆B与A=B有何不同？引出真子集概念——如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作"A真包含于B"（或"B真包含A"）。预设学生回答："C和B的元素完全一样，所以C=B；A虽然包含于B，但B中多了3，A是B的真子集。" 教师引出空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。随后教师补充两条重要结论：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。教师强调{a}⊆A与a∈A的区别：前者是集合与集合之间的包含关系，后者是元素与集合之间的属于关系。预设学生回答："空集里面什么都没有，但它也算任何集合的子集。" （2）例题精讲，理解概念。教师活动：教师出示例题——写出集合M={a，b，c}的所有子集，并指出其中的真子集。教师引导学生按元素个数从少到多有序列举：不含任何元素的子集为∅；含一个元素的子集为{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集为{a，b，c}。因此M的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个。真子集需去掉M本身，即∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共7个。学生活动：学生跟随教师思路逐步列举，体会"按元素个数分层、先少后多"的有序列举方法，确保不遗漏空集与集合自身。预设学生回答："3个元素的集合有8个子集，真子集比子集少1个，是7个。" （3）变式思考，解决问题。教师活动：教师出示变式题——已知集合A={x|−1<x<3}，B={x|m−1≤x≤m+1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。教师引导学生分析：B⊆A意味着B中每一个元素都满足−1<x<3，需要让区间[m−1，m+1]整体落在开区间(−1，3)内部。由于B是闭区间而A是开区间，端点不能取等号，因此必须同时满足m−1>−1且m+1<3。由m−1>−1解得m>0；由m+1<3解得m<2。所以实数m的取值范围是{m|0<m<2}。学生活动：学生独立画数轴分析区间位置关系，教师巡视指导，关注学生是否误将端点等号写错。预设学生回答："因为A是开区间，B的端点不能碰到−1和3，所以m−1要比−1大，m+1要比3小，最后m的范围是0<m<2。" （4）巩固练习与课堂小结。教师活动：教师布置课堂练习：（i）判断下列命题的真假：①∅⊆{0}；②0∈∅；③{1}⊆{1，2}；④{1}∈{1，2}。教师给出参考答案：①真，空集是任何集合的子集；②假，空集不含任何元素，0不属于∅；③真，{1}的元素1是{1，2}的元素；④假，{1}是集合而非{1，2}的元素，应为{1}⊆{1，2}。（ii）设集合P={1，2}，写出P的所有子集与真子集。参考答案：P的所有子集为∅，{1}，{2}，{1，2}；真子集为∅，{1}，{2}。学生活动：学生独立完成练习，同桌互评对错，教师集中讲评易错点。课堂小结环节，教师引导学生回顾：子集记作A⊆B，真子集记作A⫋B，集合相等的条件是A⊆B且B⊆A，空集∅是任何集合的子集，列举子集时按元素个数从少到多有序书写。预设学生回答："∈是元素属于集合，⊆是集合包含于集合，两者不能混用。" （5）延伸拓展与课后作业。教师活动：教师出示延伸例题——已知集合A={x|x²−3x+2=0}，B={x|0≤x≤3}，判断A与B的关系。教师引导学生求解：由x²−3x+2=0，因式分解得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，故A={1，2}。由于1∈B且2∈B，所以A⊆B；又因0∈B但0∉A，故A⫋B。参考答案：A⫋B。随后布置课后作业：课本练习第1—3题，要求写出解题过程并注意符号规范。学生活动：学生记录作业要求，课后独立完成。预设学生回答："A的元素1和2都在B里面，但B里还有0和3不在A中，所以A是B的真子集。" 学科网（北京）股份有限公司 $