精品解析：云南省玉溪第一中学（北校区）2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

玉溪一中2028届高二上学期开学考 数学学科试卷 满分：150分  考试时间：120分钟 命题人：飞超  审题人：吴志华 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线是垂直于轴的直线， 此时斜率不存在，倾斜角为. 3. 直线经过点和点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 4. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量 ，则. 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 6. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 7. 点到直线的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点到直线的距离为. 8. 是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（     ）. A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的四则运算结合垂直关系可知，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 又因为，可知， 所以点为的垂心. 故选：C. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 10. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 11. 棱长为2的正方体的展开图如图所示．已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有（　　） A. 与是异面直线 B. 与所成角为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为6 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线的定义判断即可；对于B，根据异面直线所成角的几何求法求解即可；对于C，根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可；对于D，根据面面平行的判定定理判断点的轨迹，结合几何关系求解即可. 【详解】由展开图还原正方体如下图所示， 对于A，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，故与是共面直线，A错误． 对于B，因为，所以即为与所成的角． 因为，所以为等边三角形，所以，故与所成角为，B正确． 对于 C，因为平面，平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面，C正确． 对于D，由正方体性质可知平面． 取，，，，中点，，，，，连接，，，，，， 则平面平面，点的轨迹为正六边形的边， 所以点的轨迹长度为，D错误． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 13. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，得到答案. 【详解】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 14. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，判断其奇偶性，由题意知，然后根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为，由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： （1）直线和的方向向量的坐标； （2）平面的一个法向量的坐标． 【答案】（1）， （2）（答案不唯一） 【解析】 【小问1详解】 由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. 【小问2详解】 设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程可求解； （2）与轴垂直可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （3）由直线的斜截式方程求解. 【小问1详解】 由点斜式，得， 化成一般式，． 【小问2详解】 直线方程为， 即． 【小问3详解】 由斜截式，得， 化成一般式为. 17. 在直三棱柱中，分别为线段的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：由已知，两两垂直， 以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由（1）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 19. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2028届高二上学期开学考 数学学科试卷 满分：150分  考试时间：120分钟 命题人：飞超  审题人：吴志华 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 2. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A. 0 B. C. D. 3. 直线经过点和点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 7. 点到直线的距离是（　　） A. B. C. D. 8. 是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（     ）. A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 10. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 11. 棱长为2的正方体的展开图如图所示．已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有（　　） A. 与是异面直线 B. 与所成角为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为6 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 三条直线，，相交于一点，则__________． 13. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 14. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： （1）直线和的方向向量的坐标； （2）平面的一个法向量的坐标． 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 17. 在直三棱柱中，分别为线段的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 19. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $