精品解析： 云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高二开学考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求出集合，根据交集计算法则，求出集合的交集. 【详解】由题意知，解得，所以， 所以. 故选：A. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质得为p真命题，所以为假；找出实例证明q为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】，，显然成立，所以p是真命题，是假命题． 当，时，，所以q是真命题，是假命题． 故选：A 3. 如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A中函数定义域不符合图象排除；B中函数为增函数不符合图象排除；C中函数的正负不符合图象排除. 【详解】对于A，函数的定义域为，不符合图象，排除A； 对于B，，，在上为增函数，不符合图象，排除B； 对于C，当时，，当时，，不符合图象，排除C. 故选：D 4. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】因为，关于的不等式恒成立， 所以恒成立，故恒成立， 令，故即可， 而，当且仅当时取等，此时解得， 故，即，故A正确. 故选：A 5. 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 6. 已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而， 故. 故选：B. 7. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解. 【详解】A选项：由题知，设的最小正周期为， 则，∴，∴. ∵，∴，则， 得，又，∴， ∴，故A正确； B选项：因为，所以其图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确； C选项：由得，则在区间上不单调，故C错误； D选项：∵，∴，∴， ∴，∴在区间上的值域为，故D正确. 故选：ABD. 10. 从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（ ） A. 成绩的众数为75 B. 成绩的上四分位数为84 C. 成绩的极差为60 D. 已知落在的平均成绩是54，方差是2：落在的平均成绩为66，方差是5，则两组成绩的总标准差为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】可根据频率分布直方图的性质，结合众数、上四分位数、极差、方差与标准差的计算公式，逐一分析选项. 【详解】由频率分布直方图可知，， 解得. 由图可以看出众数在区间内，所以众数为，所以A正确； 上四分位数指的是第75百分位数， 因为，而. 所以第75百分位数位于区间内. 设上四分位数为，则.所以B正确； 成绩的极差通过频率分布直方图只能估计，估计极差值为，所以C错误； 由频率分布直方图可求得的样本数为， 的样本数为. 所以总的平均数为. 总的方差为， 所以总的标准差为6.所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数以下说法正确的是（ ） A. 对，都有 B. 若且，则 C. 若有4个不相等的实根，则的范围是 D. 函数有4个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据解析式画出函数图象，利用定义域得出值域即可判断A正确，再利用作差法可得B错误，由方程根的个数限定出各根的取值范围，再由对称性得出的表达式求出其范围取值，可判断C正确，令，可得与的图象仅有3个交点，可知D错误. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 对于A，由可得， 且可得， 因此对，都有，即A正确； 对于B，若且， 可知 ， 所以，即B错误； 对于C，若有4个不相等的实根，由图可知， 不妨设，可得关于对称，即； 且，且，即； 则， 因此可得的范围是，即C正确； 对于D，令，可得或或 显然与的图象仅有3个交点，和与的图象各有1个交点； 即函数有5个零点，即D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象再由方程根的个数和零点与图象交点个数的关系，计算出各零点的取值范围可得所有零点之和的取值范围，得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数f(x)＝＋的定义域为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解. 【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为. 故答案为：. 13. 已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用为基底，表达出，利用数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得：， ，， . 故答案为：. 14. 将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为__________，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】正四面体补形成一个正方体，利用正方体的对角线，求外接球的半径和表面积如；利用正四面体中心到底面的距离与棱长的关系，列方程求容器棱长的最小值. 【详解】由球心A，B，C，D构成的四面体是正四面体，其棱长为4， 将正四面体补形成一个正方体，正方体的棱长为，正四面体的棱是正方体各面的对角线，如图所示， 则正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即外接球的半径，外接球的表面积为. 对于正四面体中， 若边长为a， 为正四面体外接球球心，H是正四面体底面三角形的中心，如图所示， 由于M为CD的中点，所以， 则，， 设外接球的半径为R，则， 中，，解得， 所以，即正四面体的中心到正四面体底面的距离为， 半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内， 则该容器棱长的最小值时，此时每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切， 设这个正四面体容器棱长为，则有， 解得，则该容器棱长的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：正四面体的外接球问题，经常把正四面体补形成正方体，利用正方体的对角线为外接球的直径，可减少运算量；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，找到等量关系列出算式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 16. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由菱形可得， 平面平面，平面平面， 又正方形中， 平面，又平面，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，则平面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 17. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人500人．年龄在内的老年人300人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）． （1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在内的老年人年收入的方差为3，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在内的老年人年收入的方差． 【答案】（1）5.35，第95百分位数为8.3． （2）3． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数及百分位数公式计算求解； （2）应用分层抽样平均数及方差公式计算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数约为， 由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为， 年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为， 因此，第95百分位数一定位于内， 由， 可以估计该地年龄在内的老年人年收入的第95百分位数为8.3． 【小问2详解】 设年龄在内的老年人样本的平均数为，方差记为； 年龄在内的老年人样本的平均数记为，方差记为； 年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为． 由（1）得，，由题意得，，，， 则， 由， 可得， 即估计该地年龄在内的老年人的年收入方差为3． 18. 已知函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质计算可得，满足题意即可得解析式； （2）将问题转化为方程有且只有一个大于0的解，再由基本不等式可得结果. 【小问1详解】 由为偶函数，有， 即， ，解得； 经检验，时，满足，符合题意； 因此函数的解析式为. 【小问2详解】 由题意知有且只有一个实数解, 有且只有一个实数解； 令，则关于的方程有且只有一个大于0的解， 即关于的方程有且只有一个大于0的解 则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点 由函数的图象得，此公共点为， 可得. 19. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高二开学考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（） A. B. C. D. 7. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 10. 从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（ ） A. 成绩的众数为75 B. 成绩的上四分位数为84 C. 成绩的极差为60 D. 已知落在的平均成绩是54，方差是2：落在的平均成绩为66，方差是5，则两组成绩的总标准差为6 11. 已知函数以下说法正确的是（ ） A. 对，都有 B. 若且，则 C. 若有4个不相等的实根，则的范围是 D. 函数有4个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数f(x)＝＋的定义域为____________ 13. 已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则_____. 14. 将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为__________，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 16. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人500人．年龄在内的老年人300人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）． （1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在内的老年人年收入的方差为3，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在内的老年人年收入的方差． 18. 已知函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 19. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $