精品解析：云南昭通市市直中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

昭通市市直中学2026年秋季学期高二年级开学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题，，虚部为2. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥轴截面为等边三角形的特征求出底面半径和母线长，再代入侧面积公式计算即可. 【详解】由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形：圆锥底面圆的直径与轴截面的底边等长， 因此底面半径，底面圆周长； 圆锥的母线长与轴截面的边长等长，即. 圆锥的侧面展开图为扇形，扇形面积公式为， 代入数值计算得侧面积. 4. 已知事件A和B互斥，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】已知，， 所以，整理得，解得. 因此. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由向量两两所成的角相等，故向量两两所成的角都等于0或， 当两两所成的角为时，，， ，则 ， ， 当两两所成的角为0时， ． 6. 如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，平移异面直线，构造三角形求解即可. 【详解】如图所示： 设，由，得. 在长方体中，由、，可得， 因此直线与所成的角为（或其补角）. 在中，，则， 因为为中点，故， 在中，则， 由，，可得， 所以为等边三角形，故，. 因此直线与所成角的余弦值为. 7. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理先求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由题意得：，又，所以，所以， 所以， 由余弦定理得：. 8. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据球的体积公式求出外接球半径，再利用三角形中的勾股定理列出方程即可求解. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 五位同学每人各掷一次骰子，记录骰子出现的点数，下列选项中可能出现点数6的是（ ） A. 中位数为3，众数为3 B. 平均数为3，众数为4 C. 平均数为3，中位数为3 D. 平均数为2，方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项BD，利用反证法说明一定不含6，选项AC中依次举例说明可以含有6即可. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时， 满足中位数为3，众数为3，所以A正确； 对于B，若平均数为3，且出现点数为6，则其余4个数的和为9， 而众数为4，故除6外其余4个数的和至少为10， 所以B不可能出现点数6，故B错误； 对于C，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时， 满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以C正确； 对于D，若平均数为2，且出现点数6， 则方差， 所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故D错误. 故选：AC. 10. 已知的内角、、的对边分别为，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等边三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A：由正弦定理可知：，因为， 所以， 因为， 所以，所以一定是等边三角形，因此本选项命题正确； B：由正弦定理可知对于任意三角形都成立，因此本选项命题不正确； C：由正弦定理可知：，因为， 所以， 因为， 所以，所以一定是等边三角形，因此本选项命题正确； D：， 因为，所以， 所以只能确定为锐角，不能确定都是锐角，所以不能确定是锐角三角形，所以本选项命题不正确. 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量点积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 则. 动点在线段上，设，则. 选项 A：将四棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长，， 故， 外接球表面积.故 A 正确. 选项 B：，，. 令 ， 得，故存在点使.故 B 正确. 选项 C：，， 故，. 二次函数在时取最小值， 故.故 C 错误. 选项 D：直线即轴，点到的距离为. 二次函数在时取最小值， 故.故 D 正确. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，与垂直，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数乘的坐标表示及数量积的坐标运算即可解决. 【详解】，， 因为与垂直，所以，解得． 13. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 【答案】##0.52 【解析】 【分析】先确定总事件数，再列举“心有灵犀”的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种， “心有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种， 故他们“心有灵犀”概率为， 14. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 【答案】 ①. . ②. . 【解析】 【分析】折叠后、，两两垂直，将三棱锥放入长方体中，再利用等体积法求体积；设内切球的半径为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为，球心把三棱锥的体积分为4个小三棱锥，且它们的体积之和为三棱锥的体积，即可求出，计算出内切球体积为. 【详解】由题意可得，折叠前，在中，， 在中，， 在中，， 折叠后，，， 在中，， 则、，两两互相垂直，将三棱锥放入长方体中，如图所示，. 设三棱锥内切球的半径为，球心为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为， ，， ， 在中，由余弦定理得，， 所以，， 由得，，，解得， 则内切球的体积为. 【点睛】方法归纳： （1）题：翻折保留垂直关系，用等体积法计算棱锥体积. （2）题：结合内切球的球心到各切面距离相等，求出球心坐标. 易错归纳： （1）题：选用斜面作底面，计算繁琐易出错. （2）题：误将球心置于原点；点面距离选取错误. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）20， （2）32.25，37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解的值即可； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为． 由图可得，解得． 【小问2详解】 由题意得平均数为， 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为． 【小问3详解】 由题意得第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人． 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，， ，，，，，，，共有10种． 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有，， ，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 16. 已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 又在三棱柱中，，是线段的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面， 平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出对应平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点， 所以， 又平面，，平面， 所以，， 又， 所以，， 在中，， 所以是以为底边的等腰直角三角形， 又是线段的中点，所以． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则； 设平面的法向量为，由得， 令，则， 设二面角为，则， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是． 17. 在中，已知，三角形外接圆半径为. （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和三角形内角关系把已知方程转换成，解出，再利用三角形内角范围即可求. （2）利用正弦定理求得，再利用余弦定理得到，结合基本不等式，可得到，从而可用三角形面积公式得到面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以. 在中，，所以. 所以或. 因为，所以，则. 【小问2详解】 由正弦定理得. 由余弦定理得即 又因为，所以，则，当且仅当时等号成立. 所以. 即面积的最大值为. 18. 近年来，共享电动车在许多城市迅速流行起来，成为人们日常出行的重要选择．已知某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t（分钟）分段计算，时，收费3元，时，收费4元，时，收费5元．现甲，乙两人各租了一辆该品牌电动车，甲，乙两人的租车时间的概率分别为，，的概率分别为，两人的租车时间都不超过60分钟，甲乙租车相互独立． （1）求甲乙两人所付租车费用相等的概率； （2）求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）甲、乙两人所付费用相同即同为3，4，5元，分别求得都付3元的概率，都付4元的概率，都付5元的概率，利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率． （2）设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件、、，分别求得事件、、的概率，设两人费用之和不大于8的事件为，根据，利用互斥事件概率加法公式可求得甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率． 【小问1详解】 甲、乙两人所付费用相同即同为3，4，5元. 都付3元的概率为； 都付4元的概率为； 都付5元的概率为； 故所付费用相同的概率为. 【小问2详解】 设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件、、； 则，， . 设两人费用之和不大于8的事件为，则, 所以两人费用之和不大于8的概率. 19. 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面. （2） （3） 存在，或 【解析】 【分析】（1）先证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的大小； （3）设，根据空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 翻折前，在中，，则，则， 则，则，， 翻折后，因为平面，平面，则， 所以，，，则， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 不妨令，则，，则． 设直线与平面所成角的大小为， 则有，则， 直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为． 在空间直角坐标系中，，，， 设， 则， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为． 则满足， 化简得，解得或，即或， 则或. 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为． 此时的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市市直中学2026年秋季学期高二年级开学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件A和B互斥，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 6. 如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 五位同学每人各掷一次骰子，记录骰子出现的点数，下列选项中可能出现点数6的是（ ） A. 中位数为3，众数为3 B. 平均数为3，众数为4 C. 平均数为3，中位数为3 D. 平均数为2，方差为 10. 已知的内角、、的对边分别为，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等边三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，与垂直，则实数______． 13. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 14. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 16. 已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 在中，已知，三角形外接圆半径为. （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 18. 近年来，共享电动车在许多城市迅速流行起来，成为人们日常出行的重要选择．已知某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t（分钟）分段计算，时，收费3元，时，收费4元，时，收费5元．现甲，乙两人各租了一辆该品牌电动车，甲，乙两人的租车时间的概率分别为，，的概率分别为，两人的租车时间都不超过60分钟，甲乙租车相互独立． （1）求甲乙两人所付租车费用相等的概率； （2）求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率． 19. 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $