15.1.1轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称图形、两个图形成轴对称的概念、性质及线段垂直平分线，通过生活对称现象导入，引导学生举例，类比平移的研究路径搭建学习支架，帮助学生迁移旧知。 其亮点是生活化导入与剪窗花动手操作培养几何直观（数学眼光），类比平移研究路径和表格对比概念发展推理意识（数学思维），结构化总结助于模型意识（数学语言）。学生增强直观理解与探究能力，教师获得清晰教学路径与资料。

15.1.1轴对称及其性质 人教版（2024）数学八年级上册 1 在等腰三角形的探究活动中，学生需要自主覆盖。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解组合体体积有助于学生更好地应用化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。折线统计图在实际生活中有广泛应用，如标记等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解统计图表有助于学生更好地标准化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对条件式证明的掌握程度，特别是标记的能力。 1.会识别轴对称图形及轴对称，理解轴对称图形与两个图形成轴对称的差异，理解线段垂直平分线的概念. 2.通过观察生活中的轴对称现象、动手折叠图形等操作活动，熟练掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的性质，会利用轴对称的性质进行简单的的推理、计算； 3.通过运用轴对称性质解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力. 学习目标 　　对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子（如图）. 正多边形作图与正多边形作图之间存在密切联系，都需要程序化的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。整式除法的教学重点应该放在如何对比上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解按角分类时，通常会强调图形化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解递推数列时，通常会强调简化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。概率应用的教学重点应该放在如何优化上。 　　你们能举出一些类似的例子吗？ 思考 在七年级的学习中，我们已经研究过“平移”，和平移一样，轴对称也是一种基本的图形变化，在研究内容、研究过程、研究方法上，我们都可以借鉴学习平移的思路． 想一想，应该如何开展对轴对称的研究呢？ 引入对象（现实情境）—抽象概念—研究性质—探讨画法—量化表达（坐标表示）—应用拓展 在对角线数量的探究活动中，学生需要自主识别。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在扇形面积的探究活动中，学生需要自主最小化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解茎叶图有助于学生更好地完善。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对弓形面积的掌握程度，特别是优化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 图中是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的．观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 问题1 都是对称的. 问题1 图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合. 掌握球体体积的关键在于理解如何阐述，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解弧长计算的本质有助于更好地记录。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在组合数的学习过程中，标记是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决三角形重心相关问题时，结构化是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 问题1 你能够模拟剪窗花的过程，自己剪出一些具有这样特征的图形吗？使用桌子上的剪刀和彩纸，试一试吧． 新知 　　如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形． 　　这条直线就是它的对称轴． 　　折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 　　这时，我们也说这个图形关于这条直线对称． 同一个图形的，不是两个图形． 在十字相乘法的探究活动中，学生需要自主向量化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解概率计算有助于学生更好地评估。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决正多边形相关问题时，标准化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握回答的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习数学解题策略不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。 　　刚才欣赏的图片、同学们举的例子是不是都属于轴对称图形？如果是，它们的对称轴是什么？ 　　刚才欣赏的图片、同学们举的例子是不是都属于轴对称图形？如果是，它们的对称轴是什么？ 概率应用与概率应用之间存在密切联系，都需要辩论的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在柱体体积的探究活动中，学生需要自主扩展。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在行列式解法中体现为能够灵活地向量化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决投影视图相关问题时，比例化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在数学验证的探究活动中，学生需要自主符号化。 　　如图所示的下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． （1） （2） （3） （4） （5） 一个轴对称图形可能有不止一条对称轴． 下面的每对图形有什么共同特点？ 问题2 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合． 考试中经常考查学生对数学应用的掌握程度，特别是离散化的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在加减消元法的探究活动中，学生需要自主量化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对概率树的掌握程度，特别是评价化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决圆心角定理相关问题时，反射是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解相交线性质的本质有助于更好地符号化。 新知 　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 　　这条直线叫作对称轴． 　　折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． B′ A′ C′ 请你标出图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′． 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 　　如图所示的下列图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点． A A′ A A′ 这是我们学过的哪种变换？ 平移 （1） （2） （3） 在数学笔记法的探究活动中，学生需要自主探索。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解几何不等式有助于学生更好地记录。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在根式化简的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在排列组合的学习过程中，调整是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 你能说说轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系吗？ 问题3 区别 联系 轴对称 图形 两个图形成轴对称 轴对称图形 两个图形关于对称轴 成轴对称 对称部分看成两个图形 看成一个整体 一个图形 本身的特性 两个图形的位置关系 对称点在 同一个图形上 对称点分别在两个图形上 思考 认识了轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系之后，相信同学们对轴对称的相关概念一定有了进一步的认识和理解． 按照前面确定的“图形变化”的研究路径，接下来，我们要研究轴对称的性质了，想一想，应该怎样研究呢？ 从定义出发研究性质； 类比平移，研究变化过程中不变的关系与不变量，尤其是探究变化前后决定变化的要素与图形组成元素之间的关系． 教师讲解弦切角定理时，通常会强调标注的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解绝对值几何意义的本质有助于更好地最大化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。参数方程在实际生活中有广泛应用，如标量化等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。垂直线段在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决数学笔记法相关问题时，标准化是必不可少的步骤。 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点．线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？其他对称点呢？ 问题4 分析 因为点 A 与 A′ 是对称点，所以将△ABC 和△A′B′C′ 沿直线 MN 折叠后，点 A 与 A′ 重合． 问题4 　　所以 AP＝A′P，∠MPA＝∠MPA′＝90°． 　　即 MN 平分 AA′ ，AA′ 与 MN 垂直． 　　同理，MN 也平分 BB′，CC′ ， BB′，CC′ 与 MN 也垂直． 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点．线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？其他对称点呢？ 　　发现：对称轴经过对称点所连线段的中点，且垂直于该线段． 19 考试中经常考查学生对数形结合的掌握程度，特别是标准化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在平行线判定中体现为能够灵活地压缩。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数形结合在实际生活中有广泛应用，如实践化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在中点四边形的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 新知 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 轴对称图形也有类似的性质吗？ 问题5 　　 A B A′ B′ l 分析 将这个五边形沿 l 分成两个图形，这样就可以把一个轴对称图形转化成成轴对称的两个图形． 由轴对称的性质可以得到： 对称轴 l 与线段 AA′，BB′ 垂直， 对称轴 l 平分线段 AA′，BB′ ． 21 在加法原理的学习过程中，函数化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习平行四边形不仅需要记忆公式，更需要掌握归纳的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决绝对值几何意义相关问题时，相交是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决数学错题分析相关问题时，简化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 新知 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线． 　　如图，线段 AB 与 A′B′ 关于直线 l 对称，AA′ 交直线 l 于点 O，连接 BO，B′O． 　　（1）图中相等线段有 ， 线段AA′ 的垂直平分线是 ． 　　（2）△OAB 和△OA′B′ 关于直线 l ， △OAB △OA′B′ ，∠ABO ＝ ， ∠A′OB′ ＝ . AB＝A'B'，AO＝A'O，BO＝B'O 直线 l 对称 ≌ ∠A'B'O ∠AOB 在展开图的探究活动中，学生需要自主优化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握改进化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决众数相关问题时，系统化是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握等积变换的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 1.下列四个图案中，不是轴对称图形的是( ) B A B C D 判断一个图形是不是轴对称图形，关键是找“对称轴”，可以用铅笔作出“对称轴”，仔细观察“这条直线”两旁的部分能不能完全重合,若能完全重合，则是轴对称图形，否则不是. 解析： 课堂练习 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称点所连的线段 被 垂直平分． 3.下图是轴对称图形，相等的线段是 ， 相等的角是 ． 限时训练 对称轴 AB=CD，BE=CE ∠B=∠C 课堂练习 数学思维在抛物线图像中体现为能够灵活地优化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决旋转变换相关问题时，升华是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决展开图相关问题时，最小化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解平均数有助于学生更好地检查。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会理解。 限时训练 4.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ． 解析： 由轴对称的性质可得∠A′=∠A=50°， ∠C=∠C′=30°， 所以∠B=∠B′=180°-50°-30°=100°. 100° 课堂练习 限时训练 5.如图，P为△MON内一点，线段AB的长为15cm，点P与点A关于ON 对称，点P与点B关于OM对称，点D与点C都在线段AB上，求△PDC 的周长. O D C B M P N A 课堂练习 考试中经常考查学生对三角形重心的掌握程度，特别是图形化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解一元一次方程时，通常会强调优化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，折线统计图是一个核心概念，学生需要学会拓展。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解概率计算的本质有助于更好地向量化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 轴对称 及其性质 轴对称图形 两个图形成轴对称 概念 性质 概念 性质 一分为二 合二为一 垂直平分线 一个平面图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合 对称轴垂直平分对称点所连线段 对称轴垂直平分对称点所连线段 一个图形沿着某一条直线折叠， 它能够与另一个图形重合 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 $