26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第3课时 y=a（x-h）²+k的图象和性质）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过复习y=ax²+k的顶点、对称轴及纵向平移规律，设问引入y=a(x-h)²+k，以旧知为支架衔接参数h对图象的影响。 导学案以“作图—观察—对比—归纳—应用”为主线，结合信息技术工具辅助探究，培养学生几何直观和推理意识。典型例题与亚运会排球、喷水池等实际问题结合，渗透模型意识，通过自主学习与合作探究提升数形转化和知识迁移能力，习题分层设计兼顾基础与拓展。

26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 （第三课时——函数y=a(x-h)²+k的图象) （导学案） （1）掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；熟练掌握抛物线横纵综合平移规律，能实现y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象互推；能利用函数性质解决参数求解、图象平移、函数值比较等基础题型. （2）延续“作图—观察—对比—归纳—应用”的探究流程，通过类比旧知探究新知，掌握二次函数图象变换的通用探究方法，提升数形转化、规律归纳、知识迁移的能力. （3）在图象动态变换探究中感受函数图象的规律性、对称性与统一性，培养严谨的数学思维和自主探究、合作交流的学习习惯，建立二次函数知识体系的整体认知. 重点:二次函数y=a(x-h)²+k的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；抛物线左加右减、上加下减的完整平移规律. 难点：准确理解参数h的几何意义，区分横向平移方向（极易混淆）；灵活结合a、h、k三个参数综合分析函数图象特征；利用对称轴和增减性比较函数值大小. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数y=2x²-3的顶点坐标、对称轴、最值分别是什么？ （2）抛物线y=2x²-3由y=2x²经过怎样的平移得到？ 学生作答，教师总结纵向平移规律：上加下减，k控制图象上下平移. 设问导入：若将函数变形为y=2(x-1)²-3，图象除上下平移外，还会发生什么变化？参数h会对抛物线产生什么影响？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第40-41页的内容 【学法指导】自研课本P40-41页内容 （一）画二次函数图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 活动1.在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … … 描点画图：. 观察图象：. 活动2.观察抛物线与抛物线有什么关系? （二） 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系 活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的图象(改变h、k的值)，观察两图象变化. 操作观察： 抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点: 活动4.梳理总结y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律 图象共性： 核心要素： 自研课本P40-41页内容 典型例题 例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4 （1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值； （2）说明该抛物线是由y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）若有三点A(-2,)、B(-1,)、C(0,)，比较、、的大小. 例2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少? 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数的图象. 2. 讨论二次函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与y=ax²两图象的关系. 3.讨论二次函数的y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律. 拓展提升： 1.如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 课本课堂练习（P38第1题(2，4),第2题(1). 1.（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 2.（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 3.（2026哈尔滨校考）小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． 4．（2026·台州校考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 知识技能：（1）掌握顶点式y=a(x-h)²+k的核心要素：a定 ，直线 为对称轴， 为顶点；（2）熟记完整平移规律： 、 ，可实现任意 与 的平移转化；（3）熟练判断 、 ，掌握 的方法. 思想方法：（1）数形结合思想：以 解读函数解析式参数含义，以 化图象性质；（2）类比迁移思想：类比 规律，探究 规律，实现知识的迁移拓展；（3）从 到 思想：由 特征，归纳出 性质. 易错提醒：（1）符号误区：识别h时必须对照 ，x+h实际对应 数，极易判断 错误；（2）平移误区：混淆 平移对应的参数，h 、k ，不可混淆；（3）性质误区：忽略a的 直接判断增减性、最值；（4）顶点误区：顶点坐标是(h,k)，切勿直接带入 写错坐标. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 （第三课时——函数y=a(x-h)²+k的图象) （导学案） （1）掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；熟练掌握抛物线横纵综合平移规律，能实现y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象互推；能利用函数性质解决参数求解、图象平移、函数值比较等基础题型. （2）延续“作图—观察—对比—归纳—应用”的探究流程，通过类比旧知探究新知，掌握二次函数图象变换的通用探究方法，提升数形转化、规律归纳、知识迁移的能力. （3）在图象动态变换探究中感受函数图象的规律性、对称性与统一性，培养严谨的数学思维和自主探究、合作交流的学习习惯，建立二次函数知识体系的整体认知. 重点:二次函数y=a(x-h)²+k的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；抛物线左加右减、上加下减的完整平移规律. 难点：准确理解参数h的几何意义，区分横向平移方向（极易混淆）；灵活结合a、h、k三个参数综合分析函数图象特征；利用对称轴和增减性比较函数值大小. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数y=2x²-3的顶点坐标、对称轴、最值分别是什么？ （2）抛物线y=2x²-3由y=2x²经过怎样的平移得到？ 学生作答，教师总结纵向平移规律：上加下减，k控制图象上下平移. 设问导入：若将函数变形为y=2(x-1)²-3，图象除上下平移外，还会发生什么变化？参数h会对抛物线产生什么影响？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第40-41页的内容 【学法指导】自研课本P40-41页内容 （一）画二次函数图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 活动1.在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 列表： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 描点画图，就得到的图象，如上左图. 观察图象：可以看出，抛物线的开口向下，对称轴经过（-1，0）且垂直于x轴的直线（记作x=-1），顶点是(-1，-1). 活动2.观察抛物线与抛物线有什么关系? 在同一直角坐标系中，画出抛物线与、，如上右图. 观察三个抛物线与、的相同点和不同点是什么？ 可以发现，把抛物线向下平移1个单位得抛物线，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线. （二） 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系 活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的图象(改变h、k的值)，观察两图象变化. 操作观察：抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax²形状相同，位置不同.把抛物线y=ax²向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)²+k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定. 抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点: (1）当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下. (2）对称轴是x=h. (3）顶点是(h, k). 活动4.梳理总结y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律 图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax²完全一致. 核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax²左右平移得到y=a(x-h)²，左加右减h>0：向右平移h个单位，h<0，向左平移|h|个单位. 函数增减性与最值:当a>0时，开口向上，顶点为最低点；x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大；当x=h时，.当a<0时，开口向下，顶点为最高点；x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小；当x=h时，. 自研课本P40-41页内容 典型例题 例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4 （1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值； （2）说明该抛物线是由y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）若有三点A(-2,)、B(-1,)、C(0,)，比较、、的大小. 【分析】本题综合考查本节课所有核心知识点，覆盖参数辨析、图象平移、函数性质、函数值比较四大高频考点。解题关键：先将解析式化为标准形式y=a(x-h)²+k，准确识别a、h、k的数值（重点注意符号变化）；再结合平移规律、增减性、对称轴性质逐一解题，利用抛物线上点到对称轴的距离快速比较函数值大小. 【详解】解：（1）函数为标准形式：y=-2[x-(-1)]²-4 可得：a=-2，h=-1，k=-4. ∵ a=-2<0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，-4)； 当x=-1时，函数有最大值，最大值为y=-4，无最小值. （2）根据平移规律“左加右减、上加下减”：抛物线y=-2(x+1)²-4是由抛物线y=-2x²向左平移1个单位，再向下平移4个单位得到. （3）∵ a=-2<0。抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1 开口向下的抛物线，点到对称轴距离越近，函数值越大分别计算三点到对称轴x=-1的距离：A(-2,)：距离|-2-(-1)|=1；B(-1,)：距离|-1-(-1)|=0（顶点，函数值最大）；C(0,)：距离|0-(-1)|=1，因此：>=. 例2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少? 【分析】将喷水池问题建立平面直角坐标系，构建二次函数问题加以解决. 【详解】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y=a(x-1.6)²+3(0≤x≤3.6). 由这段抛物线经过点（3.6，0)，可得0=a(3.6-1.6)²+3. 解得 因此 当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08m. 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数的图象. 2. 讨论二次函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与y=ax²两图象的关系. 3.讨论二次函数的y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律. 拓展提升： 1.如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 【详解】（1）由题意可知：该抛物线顶点为， ∴， 把的坐标代入解析式，得， 解得， ∴函数关系式为； （2）没有出界，理由如下： 设第一次落地点为B，令，则， 解之得：（舍），， ∵， ∴排球第一次落地没出界． 课本课堂练习（P38第1题(2，4),第2题(1). 1.（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣（x+7）2+12， ∴令x＝0，则y＝﹣37，即此时图象与y轴的交点P为（0，﹣37）． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图形向右平移m单位（0＜m≤10）， ∴新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12． ∴图象与y轴交点P'为（0，﹣m2+14m﹣37）． 又∵﹣m2+14m﹣37＝﹣（m﹣7）2+12， ∴当m＝7时，P'的纵坐标取最大值12． 又∵0＜m≤10， ∴P点位置的变化先向上再向下． 故选：D． 2.（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 3.（2026哈尔滨校考）小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：根据题意， 点的坐标为，点坐标为， 设此抛物线对应的解析式为：，， 抛物线经过， ， ， 抛物线的解析式为：． （2）篮圈中心的坐标为， 将坐标代入解析式中，得， 当时，， 故此球能投中． 4．（2026·台州校考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴这个函数的表达式为：； （2）∵， ∴其对称轴为：， ∵， ∴图象开口向上，则当时，随的增大而减小， ∴的取值范围为． 知识技能：（1）掌握顶点式y=a(x-h)²+k的核心要素：a定开口，直线x=h为对称轴，(h,k)为顶点；（2）熟记完整平移规律：左加右减、上加下减，可实现任意顶点式抛物线与基础抛物线的平移转化；（3）熟练判断函数最值、增减性，掌握利用对称轴距离比较函数值大小的方法. 思想方法：（1）数形结合思想：以图象直观特征解读函数解析式参数含义，以解析式精准量化图象性质；（2）类比迁移思想：类比纵向平移规律，探究横向平移规律，实现知识的迁移拓展；（3）从特殊到一般思想：由具体函数图象特征，归纳出所有顶点式二次函数的通用性质. 易错提醒：（1）符号误区：识别h时必须对照标准式y=a(x-h)²+k，x+h实际对应h为负数，极易判断平移方向错误；（2）平移误区：混淆横、纵向平移对应的参数，h管左右、k管上下，不可混淆；（3）性质误区：忽略a的正负直接判断增减性、最值；（4）顶点误区：顶点坐标是(h,k)，切勿直接带入解析式中的符号写错坐标. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $