5.7 三角函数的应用 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角函数的应用这一核心知识点，通过展示潮汐涨落、摩天轮旋转、弹簧振子振动三组动图导入，引导学生观察周期性变化现象，联系已学三角函数周期性，搭建从生活现象到数学模型的学习支架。 此资料以弹簧振子和交变电流为实例，完整呈现“读数据—画散点图—估参数—验模型”的建模过程，通过表格明确振幅、周期等物理量与A、ω、φ的对应关系，培养数学建模与数据分析素养，帮助学生用数学语言表达现实世界，为教师提供清晰教学步骤，助力学生提升解决实际问题的能力。

数学 高一 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 人教A版 5.7 三角函数的应用 课标要求 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 1. 结合现实情境中的周期性变化现象，体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型，发展数学抽象素养。 2. 经历从实测数据或图象中提取特征信息、确定参数A、ω、φ并建立函数y=A sin(ωx+φ)模型的过程，提升数学建模与数据分析素养。 3. 理解振幅、周期、频率、相位、初相等物理量与解析式中常数的对应关系，能用所得模型解决简单的实际问题，增强数学运算与直观想象素养。 教材分析 1. 本节课位于人教A版必修第一册第五章5.7，是三角函数图象与性质知识的综合应用环节。教材以弹簧振子和交变电流两个物理问题为载体，展示从数据到模型、从图象到解析式的完整建模链条。 2. 教材首先指出现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。这一口径为整节课的建模方向定下基调。 3. 在弹簧振子问题中，教材由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=A sin(ωt+φ)来刻画，随后引导学生从数据表和散点图中读取最大位移、周期和初始状态，依次确定A、ω、φ三个参数，最终得到解析式y=20sin(t−)，t∈[0，+∞)。 4. 在此基础上，教材给出简谐运动的定义：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为"简谐运动"，并指出在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0。随后逐一建立振幅、周期、频率、相位、初相与常数A、ω、φ的对应关系。 5. 第二个问题交变电流侧重由图象定参，要求学生根据实验测得的交变电流i随时间t变化的图象求函数解析式，并求指定时刻的电流值，巩固识图建模技能。 学情分析 1. 学生已系统学习了y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，掌握A、ω、φ对图象的影响，具备从解析式到图象的正向分析能力，但从散点图逆向估计参数的经验不足。 2. 学生在物理课中接触过简谐运动和交变电流等概念，对振幅、周期、频率等名词有初步感知，但将这些物理量与三角函数解析式中的常数精确对应仍存在困难，尤其是初相φ的确定容易出错。 3. 学生在建模过程中容易忽略定义域的实际背景，也容易在求解ω时忘记将与实测周期建立方程，需要教师在关键节点追问引导。 单元教学重点 1. 重点：用三角函数模型刻画具有周期性的实际现象，由数据或图象确定y=A sin(ωx+φ)中的参数A、ω、φ。 2. 难点：把实际问题抽象为三角函数模型的建模过程；振幅、周期、频率、相位、初相等概念与解析式中常数的对应关系；初相φ的确定。 3. 突破策略：以弹簧振子为完整示范，让学生经历"读数据—画散点图—估参数—验模型"的全过程；以交变电流为变式巩固识图定参；通过追问链聚焦初相的判定依据，帮助学生理解φ由初始状态唯一约束。 课时学习评价 1. 能否准确说出振幅、周期、频率、相位、初相与A、ω、φ的对应关系——课堂提问与练习检测。 2. 能否从给定数据表或图象中正确提取最大值、最小值和周期，并据此求出A、ω、φ——例题演算与巩固练习批阅。 3. 能否用所得解析式计算指定时刻的函数值并解释实际意义——课堂练习反馈。 4. 能否完整表述三角函数建模的一般步骤——课堂小结口述评价。 教学过程 1. 导入环节——从生活现象到数学模型 教师活动：教师展示潮汐涨落、摩天轮旋转、弹簧振子振动三组动图，提问："这些现象有什么共同的变化特征？我们可以用哪类数学工具来描述？"引导学生回忆三角函数的周期性。 学生活动：学生观察后讨论，预设回答："它们都在重复循环，有周期性" 教师总结：现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。本节课我们就以弹簧振子和交变电流为例，学习三角函数的应用。 2. 新授环节一——弹簧振子问题与参数确定 教师活动：教师给出弹簧振子位移y（单位：mm）随时间t（单位：s）的实测数据表：t=0时y=−20；t=0.15时y=0；t=0.30时y=20；t=0.45时y=0；t=0.60时y=−20。提问："振子的位移y随时间t的变化规律可以用什么函数来刻画？"} 学生活动：学生根据数据发现位移在−20到20之间往复变化，预设回答："可以用y=A sin(ωt+φ)来刻画。"} 教师追问："由数据表和散点图，你能否确定A、ω、φ的值？请逐一说明依据。"} 学生活动：学生分组讨论并演算。预设回答："振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A=20" 教师板书完整过程：A=20；由=0.6得ω=；由sin φ=−1取φ=−。所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin(t−)，t∈[0，+∞)。 教师追问： 学生活动：预设回答： 3. 新授环节二——简谐运动的概念与物理量对应 教师活动：教师给出定义：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为"简谐运动"。可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0。提问："解析式中的A、ω、φ分别对应哪些物理量？"} 学生活动：学生阅读教材后填表回答。预设回答："A是振幅，是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离" 教师追问："在弹簧振子问题中，振幅、周期、频率各是多少？"} 学生活动：预设回答： 4. 新授环节三——交变电流问题与识图定参 教师活动：教师给出交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象描述：电流最大值为5 A，最小值为−5 A，相邻两次达到最大值的时间间隔为0.02 s，t=0时电流为0且呈上升趋势。提问："如何由图象确定A、ω、φ？请写出解析式。"} 学生活动：学生独立演算。预设回答："A=5" 教师追问："t=0.005 s时的电流是多少？"} 学生活动：代入计算，i=5sin(100π×0.005)=5sin()=5。预设回答："t=0.005 s时电流为5 A，恰好达到最大值。" 5. 新授环节四——三角函数建模的一般步骤 教师活动：教师引导学生回顾两个问题的解决过程，提问："用三角函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？"} 学生活动：学生讨论后归纳，预设回答："观察实际问题的周期性→收集数据、作散点图→选择y=A sin(ωx+φ)类模型→由数据或图象确定参数A、ω、φ→用解析式解决问题"。 6. 巩固练习环节 教师活动：教师布置课堂练习。练习1：某简谐运动的位移y随时间x变化的图象如图所示，最大位移为3 cm，周期为4 s，x=0时位移为0且呈下降趋势。求解析式，并求x=1 s时的位移。 学生活动：学生独立完成。预设回答： 教师活动：教师巡视指导，关注学生初相判定是否正确，提示"下降趋势"对应cos φ<0。 练习2：已知某简谐运动频率为50 Hz，振幅为2 cm，初相为，写出解析式并求周期。 学生活动：预设回答： 7. 小结环节 教师活动：教师提问："本节课你学到了什么？三角函数建模的关键步骤有哪些？确定A、ω、φ各需要什么信息？"} 学生活动：预设回答："学到了用三角函数描述周期性现象" 8. 作业环节 教师活动：教师布置课后作业。作业1：教材课后练习题——某弹簧振子做简谐运动，振幅为1.5 cm，周期为0.5 s，t=0时位移为1.5 cm，求解析式并求t= s时的位移。参考答案：A=1.5，ω=4π，φ=，y=1.5sin(4πt+)；t=时y=1.5sin(+)=1.5sin()=−0.75 cm。作业2：查阅潮汐表数据，尝试用三角函数模型描述某港口一天的水位变化。 课堂小结 1. 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。 2. 简谐运动可用y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)（A>0，ω>0）表示。其中A是振幅，周期T=，频率f==，ωx+φ为相位，φ为初相。 3. 建模一般步骤：观察周期性→收集数据作散点图→选择y=A sin(ωx+φ)模型→确定参数A、ω、φ→用解析式解决问题。A由最大位移确定，ω由周期确定，φ由初始状态确定。 板书设计 1. 三角函数的应用 2. 弹簧振子：y=20sin(t−)，t∈[0，+∞) A=20 ← 最大位移 ω= ← 周期0.6 s φ=− ← 初始状态 3. 简谐运动：y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)，A>0，ω>0 物理量 对应关系 振幅 A（离开平衡位置的最大距离） 周期 T= 频率 f== 相位 ωx+φ 初相 φ（x=0时的相位） 4. 建模步骤：观察周期性→作散点图→选模型→定参数→解问题 教学反思 1. 本节课以弹簧振子和交变电流两个真实问题驱动，学生参与度较高，从数据到模型的建模过程体验较为完整。多数学生能正确确定A和ω，但在初相φ的判定上仍有迟疑，需要结合初始状态和变化趋势反复练习。 2. 在物理量对应关系的教学中，表格填空形式效果良好，但部分学生将频率公式f=误写为f=，后续应增加频率与周期的辨析练习。 3. 巩固练习中"下降趋势"对应cos φ<0这一细节，部分学生未能自主联想到图象变换知识，提示后续教学中应加强图象切线方向与导数符号的直观关联。 4. 作业2的开放性潮汐建模任务留给学生课后探究，下节课可选取代表性成果展示交流，进一步深化建模意识。 学科网（北京）股份有限公司 $