5.5.2　简单的三角恒等变换(一)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“简单的三角恒等变换(一)”，核心内容为半角公式与降幂公式。课前通过问题引导学生用二倍角公式推导半角公式，搭建从两角和差、二倍角公式到新公式的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融入思维导图梳理知识结构，通过探究点的典例解析（如利用角的范围确定半角三角函数符号）和类题通法，培养数学运算与逻辑推理核心素养。定向训练强化技能，助力学生提升变换能力，教师可借此高效开展系统教学。

5.5.2　简单的三角恒等变换(一) 素养目标 思维导图 1.能运用两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(数学运算). 2.能推导出积化和差、和差化积、半角公式(逻辑推理). 课前自主学习 问题1.如何用cos 2α表示sin2α,cos2α,tan2α? 提示:根据倍角公式,sin2α=(1-cos 2α), cos2α=(1+cos 2α),tan2α=. 问题2.如何用cos α表示sin2,cos2,tan2? 提示:sin2=(1-cos α),cos2=(1+cos α),tan2=. 【核心概念】 结论:半角公式与降幂公式 降幂公式 半角公式 sin2= sin =__________ cos2= cos =__________ tan2= tan=__________ ± ± ± 课堂合作探究 探究点一　利用半角公式求值 【典例1】(1)设3π<α<4π,cos =m,那么cos 等于 (　　) A. B.- C.- D. (2)(多选题)已知sin α=-,且180°<α<270°,则下列结论正确的是 (　　) A.sin 2α=- B.sin= C.cos=- D.tan=-2 【思维导引】(1)先分析的范围,确定象限→利用公式cos2=求解. (2)根据α的范围,确定的范围,从而确定的正弦、余弦、正切的符号,然后借助半角公式求解. 【解析】(1)选B.由cos =2cos2-1,可得cos2=. 又3π<α<4π,所以<<π, 所以cos <0,所以cos =-. (2)选BCD.因为180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-)×(-)=,故A错误;因为90°<<135°,所以sin===,cos=- =-=-,则tan==-2. 【类题通法】已知θ的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤 (1)根据θ的范围,利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值. (2)注意的范围,代入半角公式计算即可. 探究点二　利用三角恒等变换化简 【典例2】(1)化简= (　　) A.sin α B.cos α C.tan α D.-sin α (2)化简(-tan )·=　　　　.  【思维导引】(1)利用二倍角公式化简. (2)先切化弦,再利用倍角公式求解. 【解析】(1)选C.===tan α. (2)原式=()·=·=·=2. 答案:2 【类题通法】三角函数式化简的思路和方法 (1)化简的思路. 对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. (2)化简的方法. 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂等. 【定向训练】 化简:(1),其中3π<θ<4π. (2). 【解析】(1)由cos 2θ=1-2sin2θ=2cos2θ-1,可得=cos2θ,=sin2θ, 所以=|cos|+|sin|, 由3π<θ<4π,可知<<2π, 得原式=cos-sin=cos( ). (2)原式=== = ==tan 2α. 探究点三　三角恒等变换的综合应用 【典例3】(一题多问) 已知函数f(x)=3sin 2x-4sin32x,回答下列问题: (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)判断函数f(x)的奇偶性; (3)求函数f(x)的单调增区间; (4)求函数f(x)的最大值和最小值; (5)证明函数f(x)的图象关于直线x=对称. 【问题解读】先将三角函数解析式化简,再回答问题. 【解析】f(x)=3sin 2x-4sin32x=sin 2x+2sin 2x-2sin32x-2sin32x =sin 2x(1-2sin22x)+2sin 2x(1-sin22x) =sin 2xcos 4x+2sin 2xcos22x =sin 2xcos 4x+cos 2xsin 4x=sin (2x+4x)=sin 6x. (1)f(x)的最小正周期T==. (2)显然x∈R,由f(x)=sin 6x,可得f(-x)=sin (-6x)=-sin 6x=-f(x),为奇函数. (3)由2kπ-≤6x≤2kπ+可得≤x≤(k∈Z),即函数f(x)=sin 6x的单调增区间为[,](k∈Z). (4)函数f(x)=sin 6x的最大值为1,最小值为-1. (5)方法一:由6x=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数f(x)=sin 6x的图象的对称轴为直线x=,k∈Z. 令k=0,所以函数图象的一条对称轴为直线x=,即函数图象关于直线x=对称. 方法二:只要证明函数f(x)的图象上任意一点P(x,y)关于直线x=的对称点P'(-x,y)仍然在函数图象上即可.设函数f(x)=sin 6x的图象上任意一点P(x,y),则点P(x,y)关于直线x=的对称点为P'(-x,y), 由于sin 6(-x)=sin (π-6x)=sin 6x, 所以点P'(-x,y)在函数图象上. 所以函数图象关于直线x=对称. 【类题通法】三角恒等式证明的常见途径 (1)从复杂的一端向简单一端化简,即化繁为简. (2)两边化简,使其都等于中间某个式子,即左右归一. (3)把式子中的切函数化为弦函数,即化切为弦. (4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子,即等价化归. 课堂练习 1.已知cos α=,且α∈(0,π),则cos 的值为 (　　) A. B.- C.± D.± 【解析】选A.因为α∈(0,π),所以∈(0,),故cos==. 2.tan的值为 (　　) A.-1 B.+1 C.+1 D.-1 【解析】选A.tan======-1. √ √ 3.已知sin=,cos=-,则角x是第　　　象限的角.  【解析】sin x=2sincos=2××(-) =-<0,cos x=cos2-sin2=(-)2-()2=-<0,所以角x是第三象限的角. 答案:三 4.已知cos 2α=,且<α<π,则tan α=　　　　.  【解析】因为<α<π,所以tan α=-=-. 答案:- 谢 谢 $