4.4 对数函数限时训练01-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 对数函数同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖从单一概念到实际情境的知识路径，渗透数学眼光、思维与语言素养，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|奇偶性、函数值计算等单一概念|单选1-4题直接考查定义与基本运算，夯实基础| |能力提升|定义域、值域、单调性等综合应用|单选5-7题结合参数讨论，填空11-13题深化性质理解| |综合应用|实际情境与跨知识点整合|多选8-10题辨析性质，解答14-15题融入半衰期模型，培养建模与推理能力|

4.4 对数函数限时训练01 1．（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若函数的定义域为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）设函数，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽·模拟预测）“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 10．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 12．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 13．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 14．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 15．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数． (1)设， （i）求的值； （ii）解不等式； (2)若，，求的取值范围． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数限时训练01 1．（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 2．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 3．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若函数的定义域为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数，对任意恒成立的条件，分情况讨论即可. 【详解】由题意得对任意恒成立． 当时，恒成立，满足题意． 当时，由得． 综上的取值范围为． 故选：D 4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）设函数，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 令，即，易知恒成立. 故选：B. 5．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上的值域包含，可知函数在上单调递增，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，，即函数在上的值域为， 由题意可知，函数在上的值域包含， 即函数在上单调递增，所以，， 且，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为在上的图象位于的图象的下方，画出和的图象，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设，其中， 要使得当时，不等式恒成立， 只需在上的图象位于的图象的下方， 如图所示，画出函数和的图象， 当时，函数在上的图象位于的图象的上方，不符合题意，舍去； 当时，只需，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 7．（2026·安徽·模拟预测）“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则，解得， 由可得，但是由得不到， 所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件. 8．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 10．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，转化为与函数和的图象，作出函数及和的图象，结合图象得到点关于原点对称，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的零点为，函数的零点为， 所以函数与函数的图象交点的横坐标为， 函数与函数的图象交点的横坐标为， 作出函数，以及和的图象，如图所示， 点的横坐标为，点的横坐标为， 因为函数和的图象关于直线对称，且点关于对称， 又因为点关于上，所以点关于原点对称， 对于A，由图象可得，所以，所以A正确； 对于B，，且，所以，所以B正确； 对于C，由函数，可得， 且，当时，， 根据零点的存在性定理，可得，所以， 又由，所以，所以C不正确； 对于D，由，则， 所以，即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【分析】由题意可得函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】因为函数的反函数的图象经过点， 所以函数的图象过点， 则，解得. 故答案为：3 12．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 13．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先求出函数在上的最小值，再分和两种情况讨论，求出在时的最小值即可. 【详解】因为在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 当时，， 若，则时，， 要使在上有最小值，则； 若，则时，，而 此时在上有最小值，符合题意， 综上所述的取值范围是. 14．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 【答案】 【分析】根据恒成立得出，再根据复合函数的单调性得出的单调性即可求解. 【详解】若，则， 因为在区间上恒成立，所以， 因为均在上单调递增， 所以， 因为均在上单调递增， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由 可得， 则，即， 得（舍）或，得， 故不等式的解集为. 15．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数． (1)设， （i）求的值； （ii）解不等式； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)（i）0；（ii）或； (2) 【分析】（1）（i）由解析式即可求解，（ii）结合对数函数单调性即可求解； （2）由对数的运算性质，结合分离参数法得到，再令，结合基本不等式求得范围即可求解. 【详解】（1）当时， （i），所以； （ii）由题知． 由对数函数的单调性可得： 化简得：，解得或； （2）由， 设，使得且， 即， 所以， 设，所以， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故的取值范围是． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $