2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 限时训练01-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 二次函数与一元二次方程、不等式同步练，分层梯度清晰，从基础解不等式到综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解不等式、解集判断|单选题为主，夯实概念理解与基本运算| |中档|图像分析、命题否定、根与系数|多选题+填空题，强化综合辨析与知识关联| |提升|含参不等式、存在性问题|解答题，深化逻辑推理与模型应用|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式限时训练01 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求解即可. 【详解】由，得，即. 等价为，解得. 故解集为. 2．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 3．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 5．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得到命题的否定后分离参数，利用换元法求解最值即可. 【详解】命题的否定为“，使成立”， 即，恒成立， 令，，， 当时，函数取最小值，最小值为， 所以实数. 故选：D 7．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 8．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． 9．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 10．（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 11．（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 【答案】 【详解】不等式等价于， 化简可得，即， 所以不等式的解集为. 12．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 【答案】 【详解】由方程的两根分别为，，得， 所以；. 13．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 14．（25-26高二下·上海·期末）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据条件得到，再由及得，化简得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解． 【详解】（1）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上递增，在区间上递减， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或. 15．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集是，求实数的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)， (2) (3)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）由为方程的两根，结合韦达定理即可求解； （2）问题转换成恒成立即可求解； （3）通过，，，，讨论即可. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， （2）， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 （3）由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，①当，即时的解集为； ②当即时，由，故解集为； ③当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式限时训练01 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 10．（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 11．（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 12．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 13．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 14．（25-26高二下·上海·期末）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 15．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集是，求实数的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $