3.4函数的应用(一)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦函数应用，通过基础应用、综合理解、拓展提升三层设计，实现从单一函数模型到复杂实际问题的进阶，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|一次函数、二次函数基本模型|选择题1-4以匀速行驶、购买量等简单情境，培养数学眼光观察现实世界| |综合理解|分段函数、函数图像分析|多选题9-11结合图像与实际问题，提升数学思维的逻辑推理能力| |拓展提升|函数最值、实际问题建模|解答题16通过利润函数构建与最值求解，强化数学语言表达现实问题的应用意识|

3.4函数的应用(一)【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.一辆匀速行驶的汽车行驶的路程为，则这辆汽车行驶的路程km)与时间之间的函数关系式是(  ) A. B. C. D. 2.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x (元/支)在x∈[5,15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　) A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 4.某游泳池池深约3.5 m，容积约为4 375 m3，若水深要求不低于1.8 m，则池内蓄水至少为(　　) A.2 250 m3 B.2 500 m3 C.2 750 m3 D.2 000 m3 5.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A.   B. C.   D.－1 6.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表 根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价________元时，利润最大(　　) A.16.5 B.19.5 C.21.5 D.22 7.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N.其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A.15    B.25      C.40    D.50 8.（2025-2026·黑龙江高二下期末）已知，且，则下列情况不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.如图所示的是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销量y(单位：件)与时间t(单位：天)之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)之间的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，则下列结论正确的是(　　) A.第24天的销售量为200件 B.第10天销售一件产品的利润是15元 C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D.第30天的日销售利润是750元 10.（2024-2025·四川眉山高一下期末）已知幂函数的图象经过点，则（） A.的最小值为0 B.为偶函数 C.若，则 D.是在上的减函数 11.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 三、填空题（共3小题） 12.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等，它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是                  辆． 13.（2025-2026·湖南衡阳高二下期中）若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是                   . 14.（2024-2025·湖南常德高一下期末）若，则实数的取值范围为                  . 四、解答题（共2小题） 15.（2024-2025·陕西渭南高二下期中）已知函数f（x）＝. （1）求a的值； （2）求f（f（2））的值； （3）若f（m）＝3，求m的值. 16.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4函数的应用(一)【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.一辆匀速行驶的汽车行驶的路程为，则这辆汽车行驶的路程km)与时间之间的函数关系式是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以汽车的速度为，则路程km)与时间之间的函数关系式是． 2.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x (元/支)在x∈[5,15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　) A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 【答案】D 【解析】设每天的利润为y元，则y＝(x－5)×＝500×，5≤x≤15，显然此函数在[5,15]上单调递增，故当x＝15时，y取得最大值． 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 【答案】C 【解析】设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000. 当y＝400时,则400＝－10x＋9 000，解得x＝860． 4.某游泳池池深约3.5 m，容积约为4 375 m3，若水深要求不低于1.8 m，则池内蓄水至少为(　　) A.2 250 m3 B.2 500 m3 C.2 750 m3 D.2 000 m3 【答案】A 【解析】因为泳池池深约3.5 m，容积约为4 375 m3， 所以泳池的底面面积S＝＝1 250(m2). 又因为水深要求不低于1.8 m， 所以池内蓄水至少为1.8S＝1.8×1 250＝2 250(m3). 5.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A.   B. C.   D.－1 【答案】D 【解析】设年平均增长率为x， 则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2， 解得x＝－1. 6.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表 根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价________元时，利润最大(　　) A.16.5 B.19.5 C.21.5 D.22 【答案】C 【解析】由题目给的表中数量可以知道:定价每增加1元，日销售量减少40盒，所以设定价x(元)与日销售量m(盒)的函数关系式为m＝kx＋b， 任取表中两组数据，不妨取前二组，代入解析式中得⇒⇒m＝－40x＋1 120(－40x＋1 120)∈N*， 设利润为y(元)，由题意可知y＝(x－15)m－200＝(x－15)(－40x＋1 120)－200＝－40x2＋1 720x－16 800(15≤x<28)． 根据二次函数的性质可知当x＝－＝时，函数有最大值，即当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润最大．故选C. 7.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N.其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A.15    B.25      C.40    D.50 【答案】B 【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不符合题意； 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不符合题意. 故该公司拟录用25人. 故选B. 8.（2025-2026·黑龙江高二下期末）已知，且，则下列情况不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，二次项系数为，函数开口向上，对称轴为，故时，单调递增. 由得，若，则，即，与题设条件矛盾. 故选：B. 二、多选题（共3小题） 9.如图所示的是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销量y(单位：件)与时间t(单位：天)之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)之间的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，则下列结论正确的是(　　) A.第24天的销售量为200件 B.第10天销售一件产品的利润是15元 C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D.第30天的日销售利润是750元 【答案】ABD 【解析】对于A选项，在图①中，当t＝24时，y＝200，故A选项结论正确；对于B选项，根据图②，点(0,25)，(20,5)连线的中点坐标为(10,15)，故B选项结论正确；对于D选项，由图①知第30天销售150件，由图②知第30天一件产品的销售利润为5元，所以日销售利润为150×5＝750(元)，故D选项结论正确；对于C选项，由图①知点(0,100)，(24,200)连线的中点为(12,150)，即第12天和第30天的销售量相同，根据图②，第12天一件产品的销售利润高于第30天一件产品的销售利润，所以第12天与第30天这两天的日销售利润不相等，故C选项结论错误． 10.（2024-2025·四川眉山高一下期末）已知幂函数的图象经过点，则（） A.的最小值为0 B.为偶函数 C.若，则 D.是在上的减函数 【答案】ACD 【解析】设幂函数，由图象过点， 得，即，故，，即. A选项：，当且仅当时取等号，故最小值为0，A正确. B选项：的定义域为，不关于原点对称，故非偶函数，B错误. C选项：（因）， 故，C正确. D选项：，当时，单调递增， 故单调递减，D正确. 故答案为：ACD. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 【答案】BCD 【解析】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C正确； 当0≤x≤30时，图象过原点，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确． 三、填空题（共3小题） 12.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等，它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是                  辆． 【答案】30 000或50 000 【解析】设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则根据题意得： 解得 故y＝－×10－5·x2＋x，令y＝5 625，解得x＝30 000或x＝50 000. 13.（2025-2026·湖南衡阳高二下期中）若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是                   . 【答案】（2，5） 【解析】为开口向上的二次函数，对称轴为，函数在区间上不是单调函数等价于对称轴落在区间内. 由，整理得. 故答案为：. 14.（2024-2025·湖南常德高一下期末）若，则实数的取值范围为                  . 【答案】 【解析】因为在和上分别单调递减， 故不等式 即. 当且时，为负、为正，负数小于正数恒成立， 此时且， 即; 当且时，因函数在递减，等价于， 解得，结合与，得; 当且时，函数在递减，等价于， 解得，与无交集. 综上，的取值范围为. 四、解答题（共2小题） 15.（2024-2025·陕西渭南高二下期中）已知函数f（x）＝. （1）求a的值； （2）求f（f（2））的值； （3）若f（m）＝3，求m的值. 【答案】解：（1）由分段函数在处表达式相等，得, 即, 故. ⑵由得 因为, 所以; 因为, 所以. ⑶当时,,由得,与矛盾，舍去; 当时,,由得或, 因为, 所以. 16.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)根据题意，得y=90-3(x-50)，化简得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大. 又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元. 学科网（北京）股份有限公司 $