函数的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦函数应用，通过基础巩固、能力提升、综合建模三层设计，梯度覆盖分段函数、图像分析、实际问题解决，强化模型意识与运算能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分段函数、一次函数应用|如选择1水费计算，直接考查概念理解| |提升层|函数图像、最值问题|如选择3水瓶注水图像分析，培养几何直观| |综合层|多条件实际建模|如解答10销售利润函数，强化应用意识与推理能力|

函数的应用 一、选择题 1. 某企业为了鼓励职工节约用水，作出规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费。职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（ ） A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨 2. 某地电信部门规定：从甲地到乙地通话m分钟的电话费（单位：元）由f(m)=1.06×(0.5[m]+1)给出，其中[m]是不小于m的最小整数（如[3.1]=4，[5.8]=6），则从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的电话费为（ ） A．4.71元 B．4.24元 C．4.50元 D．4.77元 3.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　) A　 　　　B　 　C　 　D 4. 弓箭手以40m/s的速度从地面垂直向上射箭，ts后箭距离地面的高度为h=40t-5t²（m）。已知射出后2s箭距离地面的高度为60m，则箭能达到的最大高度为（ ） A．80m B．85m C．90m D．95m 5.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．3 100元 B．3 000元 C．3 900元 D．2 800元 6．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，则下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲同学从家到公园的时间是30 min C．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y＝x 二、填空题 7.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与销售额y（万元）之间的关系近似满足y=k·+b。已知当广告投入为4万元时，销售额为20万元；当广告投入为9万元时，销售额为30万元。则广告投入为16万元时，销售额为______万元。 8.某工厂生产某产品的总成本y（万元）与产量x（台）的函数关系为y=0.5x²+10x+200，若每台产品售价为25万元，要使利润不低于0，最低产量为____台。 9.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出。工厂设计两个方案进行污水处理：方案一：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费。若工厂每月生产3000件产品，应选择______方案（填方案一或方案二）。 三、解答题 10.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件。试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件。（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大。 11.医院通过撒放某种药物对病房进行消毒，已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度，f(x)＝ (1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？ (2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的应用 一、选择题 1. 某企业为了鼓励职工节约用水，作出规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费。职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（ ） A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨 【答案】B 【解析】设小王10月份实际用水量为x吨。若x≤15，则水费最多为15×3=45元<70元，不满足条件。故x>15，水费为15×3+(x-15)×5=45+5x-75=5x-30=70，解得x=20吨。故选B。 2. 某地电信部门规定：从甲地到乙地通话m分钟的电话费（单位：元）由f(m)=1.06×(0.5[m]+1)给出，其中[m]是不小于m的最小整数（如[3.1]=4，[5.8]=6），则从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的电话费为（ ） A．4.71元 B．4.24元 C．4.50元 D．4.77元 【答案】D 【解析】通话6.5分钟，[6.5]=7（不小于6.5的最小整数），代入公式得f(6.5)=1.06×(0.5×7+1)=1.06×(3.5+1)=1.06×4.5=4.77元。故选D。 3.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　) A　 　　　B　 　C　 　D 【答案】B 【解析】图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小． 4. 弓箭手以40m/s的速度从地面垂直向上射箭，ts后箭距离地面的高度为h=40t-5t²（m）。已知射出后2s箭距离地面的高度为60m，则箭能达到的最大高度为（ ） A．80m B．85m C．90m D．95m 【答案】A 【解析】h=40t-5t²=-5(t²-8t)=-5(t²-8t+16-16)=-5(t-4)²+80。当t=4s时，h取最大值80m。验证：h(2)=40×2-5×4=80-20=60m，正确。所以最大高度为80m。故选A。 5.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．3 100元 B．3 000元 C．3 900元 D．2 800元 【答案】B 【解析】由图象可设y＝kx＋b(k≠0)，该一次函数的图象过点(1，8 000)，(2，13 000)，可求得解析式为y＝5 000x＋3 000(x≥0)，当x＝0时，y＝3 000. 6．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，则下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲同学从家到公园的时间是30 min C．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y＝x 【答案】BD 【解析】甲同学在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，即y＝x，D正确． 二、填空题 7.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与销售额y（万元）之间的关系近似满足y=k·+b。已知当广告投入为4万元时，销售额为20万元；当广告投入为9万元时，销售额为30万元。则广告投入为16万元时，销售额为______万元。 【答案】40 【解析】设y=k·+b。当x=4时，2k+b=20；当x=9时，3k+b=30。解得k=10，b=0。所以y=10·。当x=16时，y=10×4=40万元。 8.某工厂生产某产品的总成本y（万元）与产量x（台）的函数关系为y=0.5x²+10x+200，若每台产品售价为25万元，要使利润不低于0，最低产量为____台。 【答案】10 【解析】利润=总收入-总成本=25x - (0.5x²+10x+200) = -0.5x²+15x-200，令利润≥0，即-0.5x²+15x-200≥0，因式分解为(x-10)(x-20)≤0，解得10≤x≤20，因此最低产量为10台。 9.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出。工厂设计两个方案进行污水处理：方案一：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费。若工厂每月生产3000件产品，应选择______方案（填方案一或方案二）。 【答案】方案二 【解析】设工厂生产x件产品。方案一利润：y₁=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000。方案二利润：y₂=(50-25)x-14×0.5x=18x。当x=3000时，y₁=24×3000-30000=42000，y₂=18×3000=54000。由于y₁<y₂，故应选择方案二处理污水。 三、解答题 10.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件。试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件。（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大。 【答案】（1）w=-10x²+700x-10000 （2）35元 【解析】（1）设销售单价为x元，则销售量为250-10(x-25)=520-10x件。利润w=(x-20)(520-10x)=520x-10x²-10400+200x=-10x²+700x-10000，其中20<x<52。（2）w=-10(x²-70x)-10000=-10(x²-70x+1225-1225)-10000=-10(x-35)²+2250。当x=35时，w取最大值2250元。故销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为2250元。 11.医院通过撒放某种药物对病房进行消毒，已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度，f(x)＝ (1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？ (2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由． 【答案】（1）撒放药物1小时后，药物的浓度最高，为43，能维持1小时． （2）能达到 【解析】(1)当0<x≤1时，f(x)＝－x2＋4x＋40＝－(x－2)2＋44，所以f(x)在0<x≤1上单调递增，其最大值为f(1)＝43； f(x)在2<x≤3上单调递减，所以此时f(x)<－3×2＋48＝42<43， 因此撒放药物1小时后，药物的浓度最高，为43，能维持1小时． (2)当0<x≤1时，令f(x)＝－x2＋4x＋40＝－(x－2)2＋44＝41.75，解得x＝3.5(舍去)或x＝0.5；当2<x≤3时，令f(x)＝－3x＋48＝41.75，解得x≈2.08，因此药物浓度在41.75以上的时间约为2.08－0.5＝1.58(小时)，又1.58>1.5，所以在撒放药物后，能达到消毒要求． 学科网（北京）股份有限公司 $