2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 限时训练02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程、不等式，通过基础-中档-提升三层设计，实现从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合运算、不等式解集等单一知识点|5道单选，强化概念理解与基本运算，如方程根的存在性判断| |中档|情境应用、图像辨析等综合知识点|含3道多选，突出多知识点交叉辨析，如不等式与函数图像关联| |提升|参数讨论、实际问题解决等复杂应用|含解答题，深化参数范围探究与数学建模，如租赁收入优化问题|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式限时训练02 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 9．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 10．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·湖北·阶段检测）命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是__________． 12．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 13．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 14．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 15．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知关于的不等式. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式限时训练02 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 3．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为x=0时，， 所以y与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为x=0时，， 所以若方程至少有一个正根， 则y的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 4．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 5．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得存在使不等式成立，令，只需 ，利用二次函数的性质求出最大值，再解不等式即可求解. 【详解】由可得， 由题意可得，且， 令对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 所以时，， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 6．（2026高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 7．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 9．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解法，一元一次不等式的性质，求出不等式的解集，根据题目条件判断解集之间的关系，求出参数范围即可. 【详解】由题意可知，使不等式成立的任意一个x都满足不等式， 即不等式的解集是不等式解集的子集， 由，解得， 由，因式分解得， 当，即时，解得， 可知，即时符合条件； 当，即时，解得， 当时，，即，即当时符合条件； 综上，常数a可以是. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·湖北·阶段检测）命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用存在量词命题，结合二次函数图象与一元二次方程解的关系，计算得结论． 【详解】因为命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题， 所以函数的图象在上与轴有两个不同的交点， 因此，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 12．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有x=-1代入，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 13．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 14．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 即，解得， 故不等式的解集为. （2）由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. （3）不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 15．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知关于的不等式. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)或. (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为，解得或， 所以当时，不等式的解集是或. （2）当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为， 令，解得或1（舍去）； ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，，原不等式的解为； 当时，原式可化为， 令，解得（舍去）或1； ①当时，，原不等式的解为或； ②当时，不等式为，解得； ③当时，，原不等式的解为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $