3.2函数的基本性质专项训练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数单调性、奇偶性等核心性质为统领，构建“定义-性质-应用”三层方法体系，通过12类题型系统训练逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心性质（单调性/奇偶性/对称性/周期性）|定义法/等价转化/图象分析/性质判定|从概念生成（定义）到性质推导（等价形式/判定定理），再到应用拓展（综合性质）| |题型|12类题型（含50+例题）|单调性证明四步法/奇偶性判断五法/图象识别三技巧|按“基础理解-技能训练-综合应用”递进，题型覆盖性质判断、参数求解、不等式证明等核心考法|

函数的基本性质 知识点1 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 4、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 5、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且 ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 6、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点2 函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 2、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 知识点3．函数的对称性 （1）若函数为偶函数，则函数关于对称． （2）若函数为奇函数，则函数关于点对称． （3）若，则函数关于对称． （4）若，则函数关于点对称． 知识点4.函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 题型一：函数图象识别 【解题方法】特殊值法，单调性，奇偶性 例1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 例5．（1）（25-26高一上·湖北·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   （2）（25-26高一上·北京·期中）已知函数的部分图象如下图所示，则 （    ）    A．3 B． C．15 D．9 题型二：判断并证明函数的单调性 例6（24-25高一上·四川雅安·期中）已知函数. （1）当时，用定义法证明是上的增函数； （2）若的最小值为2，求的值. 例7（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数． （1）判断的单调性并证明你的结论； （2）若，求s，t的值． 例8（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数，且. （1）的解析式，并写出其定义域； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 例9（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数，且满足，. （1）求和的值 （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 例10（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，. （1）求函数的值域； （2）试判断在区间的单调性，并证明； （3）对，总，使成立，求实数m的取值范围. 例11（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 例12．（1）已知函数，． （1）证明：函数在上单调递增； （2）设，若的定义域和值域都是，求的最大值． （2）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知 （1）判断并用定义法证明在上的单调性； （2）若在上的值域为，求的取值范围． （3）（25-26高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数． （1）用单调性的定义证明函数在上为增函数； （2）是否存在实数，使得当的定义域为（，）时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由． 题型三：求函数单调区间 例13．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 例14．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 例15．（25-26高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 例16．（25-26高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 例17．（24-25高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 . 例18．（1）（25-26高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． （2）（25-26高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型四：函数单调性的应用 角度一：利用函数单调性求参数的范围 例19．（1）（24-25高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例20．（1）（25-26高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一下·安徽合肥·期末）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例21．（1）（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是 . （2）（24-25高三下·海南·阶段练习）设函数，若是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例22．（1）（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·河北衡水·期中）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例23．（1）（24-25高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . （2）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一下·湖北·开学考试）函数在上不是单调函数，则a的范围是（    ） A．或 B．或 C． D． （5）（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 角度二：利用函数单调性的性质解不等式 例24．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 例25．（1）（25-26高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·湖北·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例26．（1）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高三上·河南周口·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 . 例27．（1）（25-26高一上·福建福州·阶段练习）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . （3）．（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． （4）（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知函数满足对于任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为 例28．（1）（24-25高二上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． （2）（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． （3）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． （4）（25-26高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·云南德宏·期中）定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （6）（24-25高一上·河南郑州·期中）已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 例29．（1）（24-25高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． （2）（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例30．（1）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 角度三：利用函数单调性比较大小 例31．（1）函数在是增函数，若，则有  （    ） A． B． C． D． （2）．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 例32．（1）已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． （4）（24-25高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 例33．（1）（多选题）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 角度四：利用函数单调性求函数的最值及范围 例34．（1）（24-25高三上·黑龙江牡丹江·开学考试）记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 （2）（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例35．（1）（24-25高一下·湖南·开学考试）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数若存在实数，使，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例36．（1）（多选题）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（    ） A．4 B． C．4 D． （2）（多选题）（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 （3）（多选题）（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 例37．（1）（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）定义若函数，且在区间上的值域为，记区间的长度为，则的最大值为（    ） A．1.4 B．0.9 C．1.9 D．3.1 （3）（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，若，则的值域是 ；若函数的值域是，则实数的取值范围是 . 例38．（1）（24-25高二下·山西运城·阶段练习）设函数存在最小值，则的取值范围是 . （2）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若函数，存在最值，则实数的取值范围是 . 例39．（1）（25-26高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . （2）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 （3）（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． （4）（24-25高一上·天津·期末）已知函数，，若存在个实数为，使得成立，且的最大值为6，则实数的取值范围为 . 题型五：抽象函数单调性的证明 例40．（1）（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）判断并证明的单调性; （2）解关于的不等式. （2）（25-26高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. （3）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 例41．（1）（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明单调性； （3）若，求关于的不等式的解集． （2）（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知的定义域为，对，，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. （3）（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数都有，且当时，． （1）求的值， （2）判断函数的单调性并加以证明： （3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 例42．（1）（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． （1）求，； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式：． （2）（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. （3）（25-26高一上·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 题型六：二次函数在闭区间上的最值问题 例43．（1）（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在区间的最小值． （2）（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间上有最小值3，求的值. （3）25-26高一上·浙江·阶段练习）已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 例44．（1）（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知二次函数满足，且： （1）求的解析式； （2）若在区间上，的值域为，求的取值范围. （3）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． （2）（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）求在上的最小值； （3）求（2）中函数的最大值． 例45．（1）（24-25高一上·上海·期末）已知函数． （1）若的最大值为0，求实数a的值； （2）设在区间上的最大值为，求的表达式； （3）令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． （2）（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数． （1）当时，求的单调增区间；此时若对任意，，当时，都有，求m的最大值； （2）当时，记函数，在上的最大值为，求的最小值． 例46．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值． 例47．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，函数 （1）若函数关于对称，且，求a，b的值； （2）当时，记，若当时，，求的最大值. （3）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求b的取值范围； 例48．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数，函数的最小值是，求实数的值. 题型七：函数不等式恒成立和有解问题 例49．（1）（2025·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． （2）（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （3）（24-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例50．（25-26高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 例51．（1）（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数．若对，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·四川眉山·期末）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例53．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 例54．（1）（25-26高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．，恒成立，则实数的取值范围是 B．，，则实数的取值范围是 C．，有解，则实数的取值范围是 D．，，使得 例55．（1）（25-26高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 例56．（1）（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 例57．（1）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. （1）若对一切实数都成立，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. （2）（24-25高一上·重庆·期中）若函数 （1）当时，求的解集； （2）设，若时，的最大值为3，求a的值； （3）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 例58．（1）（24-25高一上·安徽·期中）已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）对，不等式恒成立，求的最小值． （2）（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是. （1）求的解析式； （2）不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 例59．（1）（24-25高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，． （1）设，，若函数的最大值等于2，求a的值； （2）若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； （3）设，求的最小值． （2）（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，满足，． （1）求的解析式； （2）设函数在区间上的最大值为， （ⅰ）求； （ⅱ）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． （3）（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 例60．（1）（24-25高一上·河南·期中）已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若在区间上的最大值为． （i）求实数a的值； （ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）（25-26高一上·山东威海·期中）已知函数（）. （1）当时，求的最小值； （2）解关于的不等式： （3）对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型八：函数的奇偶性的判断与证明 例61．（多选题）（25-26高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例62．（1）（25-26高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·广东深圳·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高一上·陕西榆林·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 例63．已知函数，，则（    ） A．为奇函数，为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 C．为奇函数，为偶函数 D．为奇函数，为偶函数 例64．（多选题）下列说法正确的是（ ） A．若定义在上的函数满足，则是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则不是偶函数 C．若定义在上的函数满足，则在上是增函数 D．若定义在上的函数满足，则在上不是减函数 题型九：函数奇偶性的应用 角度一：已知函数的奇偶性求表达式，求值 例65．（1）（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． （2）（25-26高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 例66．（1）（25-26高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 （2）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数，若，则 ． （3）（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 例67．（1）（25-26高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 （2）（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 例68．（25-26高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 角度二：已知函数的奇偶性求参数 例69．（24-25高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 例70．若函数为偶函数，则___________. 例71．（25-26高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 例72．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 例73．（24-25高三上·广东·期中）若为偶函数，则（   ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 角度三：已知奇函数+M 例74．已知函数，，则的值是_______. 例75．已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例76．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 例77．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，若，，且，则最小值是 . 例78．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 例79．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 例80．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 角度四：利用函数奇偶性解不等式 例81．（1）（25-26高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例82．（1）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为 ． （3）（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 例83．（1）（2025·山东·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． （2）（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （3）（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例85．（1）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高二下·天津·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例87．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例88．（1）（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（2025·天津河北·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 例89．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例90．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例91．（1）（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十：抽象函数的奇偶性问题 例92．（1）（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）当时，，解不等式. （2）（25-26高一上·内蒙古·期中）若定义在上的函数对任意实数，恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）判断并证明在上的单调性并求最小值； （3）解关于的不等式. 例93．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，求； （3）若，判断并证明的单调性． 例94．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 （1）求证：是奇函数； （2）设，且当时，，求不等式的解集． 例95．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 例96．已知函数满足，当时，成立，且． （1）求，并证明函数的奇偶性； （2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例97．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 题型十一：函数的对称性与周期性 例98．（1）已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 （2）（24-25高一上·浙江台州·期中）已知为奇函数，则 （    ） A． B．14 C． D．7 （3）（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 . 例99．（1）（多选题）（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的周期为4 （2）（多选题）（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 例100．（1）（24-25高一上·安徽亳州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则 的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 （2）（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·重庆·期中）已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则 . 例101．（1）（多选题）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）． A．是偶函数 B．的周期 C． D．在单调递减 （2）（多选题）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 例102．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ） A．可能是偶函数 B． C． D． 题型十二：函数基本性质综合问题 例103．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是奇函数，且． （1）判断并根据定义证明函数在，上的单调性； （2）设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围． 例104．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围． 例105．（24-25高一上·浙江杭州·期中）定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例106．（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 例107．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 例108．（1）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求、的值； （2）证明函数在上的单调性； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. （2）（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 例109．（25-26高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. （1）证明：在上单调递增； （2）解不等式：； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 例110．（1）（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）根据第（1）问的结论，求 的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. （2）（25-26高一上·江苏·期中）我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数，且，求的值. （2）已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. （3）（25-26高一上·安徽·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数. （1）求的对称中心； （3）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 课后练习题 1.（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B．0或10 C．4或68 D．68 4.（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·广西南宁·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7.（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 9.（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.（24-25高一上·广东·期中）若函数是奇函数，且在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高一上·云南德宏·期中）定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15.（25-26高一上·广东汕尾·期末）函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 16.（25-26高一上·四川成都·期中）若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．当时，有 C．不等式的解集为 D．当时，有 17.（多选题）（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 18.（多选题）（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的有（     ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 19.（多选题）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调递增区间为， C．当时， D．的解集为 20.（多选题）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 21.（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 22.（2026高一上·广东江门·竞赛）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 23.（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 24.（1）（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． （2）（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是 . 25.（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 26.（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 27.（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． （1）用定义法证明：函数 在区间上单调递增； （2）若，且存在，使得，求实数的取值范围． 28.（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. （1）求 （2）用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 29.（25-26高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 30.（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 31.（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知是定义在上的函数，，且，都有. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围. 32.（25-26高一上·湖南·期中）我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 33.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． （1）计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断并证明在上的单调性； （3）求不等式的解集． 34.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数，且. （1）求的解析式； （2）若在上的最大值为，求的值以及的最小值； （3）若，集合， 集合，是否存在实数、，使得，若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 35.（重庆一中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题）已知定义在上的函数同时满足下列四个条件： ①； ②对任意，恒有； ③对任意，恒有； ④对任意，恒有. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意，恒有，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的基本性质 知识点1 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 4、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 5、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且 ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 6、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点2 函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 2、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 知识点3．函数的对称性 （1）若函数为偶函数，则函数关于对称． （2）若函数为奇函数，则函数关于点对称． （3）若，则函数关于对称． （4）若，则函数关于点对称． 知识点4.函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 题型一：【考点题型一】函数图象识别 【解题方法】特殊值法，单调性，奇偶性 例1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】函数的定义域为，而，即函数是奇函数，A不满足；当时，，C不满足；当时，，则，D不满足，选项B符合题意.故选：B. 例2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，故排除AB；当时，，故排除C.故选：D. 例3．（2025·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题定义域为关于原点对称，且，故是奇函数，故A错；当时，， 又是增函数，在上是增函数，故在上是增函数，故BC错；故选：D. 例4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D 例5．（1）（25-26高一上·湖北·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【详解】当时，函数；当时，函数， 将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数的图象， 排除AB；当时，函数，则函数在单调递增，排除D.故选：C． （2）（25-26高一上·北京·期中）已知函数的部分图象如下图所示，则 （    ）    A．3 B． C．15 D．9 【详解】令，所以，由图可知方程的两个根为和，则，又由图象可知，所以，则， 所以，解得，所以，所以，，所以.故选：. 题型二：判断并证明函数的单调性 例6．（24-25高一上·四川雅安·期中）已知函数. （1）当时，用定义法证明是上的增函数； （2）若的最小值为2，求的值. 【详解】（1）设，则 ， 因为，所以，所以，，则，所以，故是上的增函数. （2）当时，由得的定义域为，设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数.所以，即，满足条件；当时，由得的定义域为，设，则 ， 因为，所以，所以，，则，所以，故是上的增函数.所以，即，满足条件；综上，或. 例7（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数． （1）判断的单调性并证明你的结论； （2）若，求s，t的值． 【详解】（1）在、均递减，而在定义域上不单调，证明如下： 由且定义域为，关于点中心对称， 令，则， 又，，，则， 所以上递减，令，则， 又，，，则， 所以上递减，且当，；当，； 综上，在、都递减，在定义域上不单调. （2）由，即时， 若，则，不合题设；若，无解，不合题设；若，则，满足题设，综上，结合函数单调性，有. 例8（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数，且. （1）的解析式，并写出其定义域； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，解得，，∴． （2）任取，，且，则，∵，，且，∴，，，∴，即，∴在上单调递减． （3）由，不等式可化为， 因为对任意，不等式恒成立，即， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围. 例9（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数，且满足，. （1）求和的值 （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由函数满足，，可得，解之得; （2），在上单调递增，证明如下：设任意，且，则 ，由，可得，又，，， 则，则，则在上单调递增. （3）对任意的，由在上单调递增，可得，即，则在上的值域为对称轴， 当时，在上为增函数，值域为由题意可得，则，解之得；综上，实数的取值范围为. 例10（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，. （1）求函数的值域； （2）试判断在区间的单调性，并证明； （3）对，总，使成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1），恒成立，设，则， 即，即， 又，所以，即的值域； （2）由（1）知，，则， 在区间是增函数，证明如下：，且， 则 ，，，， ，，则，即在区间是增函数； （3）由（1）（2）知，则当时，，则，记集合， 当时，由（2）知在区间单调递增， ，记集合，对，总，使成立，，则，又，，即，解得或，综上所述，即实数的取值范围是. 例11（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）证明：当时，，任取、，且， 则，，，， 所以，，所以，函数在单调递增. （2）解：由题，因为，则，所以，，即， 由（1）知，函数在单调递增，所以，当时，函数取最大值，即，所以，，则，因此，实数的取值范围是. （3）解：对任意的，任意的，恒成立， 即，令，因为时，，则，所以，对任意的恒成立，令，则，解得，所以，实数的取值范围是. 例12．（1）已知函数，． （1）证明：函数在上单调递增； （2）设，若的定义域和值域都是，求的最大值． 【解析】（1）证明：任取，且，则，因为，， 所以，所以，故，所以， 所以函数在上单调递增． （2）由（1）可知函数在上单调递增，因为的定义域和值域都是，所以，所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，化简方程可得，则，解得，所以因为，所以，所以当，即时，取得最大值．最大值为． （2）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知 （1）判断并用定义法证明在上的单调性； （2）若在上的值域为，求的取值范围． 【详解】（1）当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下：，且，则． 当时，，，又，，所以即，所以在上单调递增，当时，， 又，，所以即，所以在上单调递减， （2）因为在上的值域为，所以由（1）知， 令，即，解得或，当时，，则有， 当时，，则有，综上所述，的取值范围为. （3）（25-26高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数． （1）用单调性的定义证明函数在上为增函数； （2）是否存在实数，使得当的定义域为（，）时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由． 【详解】（1），设，且， 则，因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数. （2）由（1）可知，在上单调递增，若存在使得的值域为， 则，即，因为，，所以存在两个不相等的正根，所以，解得，所以存在使得的定义域为时，值域为. 题型三：求函数单调区间 例13．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 例14．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【详解】，所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到.因为在和上单调递减，所以在和上单调递减.故选：D 例15．（25-26高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【详解】，由，得， 当时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递增，所以的单调增区间为．故答案为：． 例16．（25-26高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【详解】，画出函数图象，   结合图象得函数的单调递增区间为.故答案为：. 例17．（24-25高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 . 【详解】函数的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，所以的单调递减区间是和. 例18．（1）（25-26高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． 【详解】令，解得，设，，外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，，对称轴为，其开口向下，故其减区间为.故答案为：. （2）（25-26高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数有意义满足，解得或， 令，由二次函数的性质，可得函数在上单调递减，在单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间单调递减，即函数的单调递减区间为.故选：D. 题型四：函数单调性的应用 角度一：利用函数单调性求参数的范围 例19．（1）（24-25高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意；当时，因为函数的对称轴为，若函数在区间上是增函数，则或，所以或；综上，，故实数的取值范围是.故选：D （2）（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增，则或，解得或，∴实数的取值范围为．故选：A． 例20．（1）（25-26高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则，又是R上的单调递增函数，则，即，综上可得，实数a的取值范围是.故选：C （2）．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，在中，函数在上是增函数， ，解得.故选：A. （3）（25-26高一下·安徽合肥·期末）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由于函数是定义在上的增函数，所以，函数在区间上为增函数，函数在区间上为增函数，需满足：，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A. 例21．（1）（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是 .【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，故答案为：. （2）（24-25高三下·海南·阶段练习）设函数，若是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为开口向上，且对称轴为， 又，故要使函数在上单调减，则需满足.解得，故选：C. 例22．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得，即的取值范围是.故选：D （2）（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【详解】对任意的实数都有成立，说明函数是增函数，故得，解得：，故选：C． （3）（25-26高一上·河北衡水·期中）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，不妨设，则，由，则，即，所以函数是减函数，可得，解得.故选：C. 例23．（1）（24-25高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 【详解】当时，对称轴为， 令，此时，满足要求，令，解得， 综上，实数的取值范围是.故答案为： （2）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题设为增函数，所以，而在上递增，故其值域是.故选：A. （3）（25-26高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】不妨设，由，可得：，则函数，在R上单调递增，则，解得，即实数a的取值范围为． （4）（25-26高一下·湖北·开学考试）函数在上不是单调函数，则a的范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【详解】当函数在上是单调函数时，则，故若函数在上不是单调函数，则a的范围是或.故选：A. （5）（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数，由函数是上的单调函数，得函数在上单调，当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此；当时，，函数在上递增，在上递减，，函数在上不单调，因此不成立；当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得，此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增，则，而，解得，所以实数的取值范围为.故选：B 角度二：利用函数单调性的性质解不等式 例24．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 例25．（1）（25-26高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即，为单调递增函数， ，整理得到：，为单调递增函数，解得：，故选：C． （2）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】对任意,当时，恒成立， 则有在上是减函数，而不等式可变形为，又因为，所以有，即有，根据有在上是减函数，所以，解得，故选：C. （3）（24-25高一上·湖北·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得，则或．故选：B． 例26．（1）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】，不妨设，故，即， 令，则，故在上单调递减，， 不等式两边同除以得：，因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，故选：B （2）（24-25高三上·河南周口·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由不妨设，即，令，即，因此在上单调递减，不等式中，，则有，又，于是，则，解得，所以不等式的解集为.故选：D （3）（25-26高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 . 【详解】不妨设，由条件可得，即，令，则，所以在上单调递增，又因为，所以由得，所以.故答案为：. 例27．（1）（25-26高一上·福建福州·阶段练习）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：A. （2）（25-26高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 【详解】不妨设，则，令，则，∴在上单调递增，可得， ∵，∴，则，.故答案为： （3）．（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 【详解】不妨设，则， 所以，设，则在上单调递减，由，又，则，，即，所以或. 故答案为： （4）（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知函数满足对于任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为 【详解】不妨令，则由，得， 令函数，则可知在上单调递增．由．得，则，解得可得不等式解集为.故答案为： 例28．（1）（24-25高二上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 解： ，即， ，，可转化为：，即，即， 满足，且，有，在上单调递增，即 ，解得：，即不等式的解集为：. 故选：C. （2）（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【详解】因为对任意的，都有，，且， 所以，且，设任意，则，则，又，所以，若，则当时，，则，矛盾，所以，所以，所以函数是单调递减函数，所以不等式等价于，所以， 故即，解得.所以不等式的解集是.故选：D （3）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【详解】任取，且，因为，所以，因为时，，所以，所以，即， 所以在上是增函数.令，所以，令，所以，不等式等价于，所以即，因为在上是增函数，所以，解得或.故选：B （4）（25-26高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，令，得； 又因为，所以即因为在为增函数.所以解得或.即不等式的解集为故选：A （5）（25-26高一上·云南德宏·期中）定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】，即， ，，可转化为：，即，即， 满足，且，有，在上单调递增，即 ，解得：，即不等式的解集为：. （6）（24-25高一上·河南郑州·期中）已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】设且，对任意，都有即， ,，，又当时,，,在上是增函数，令,则,令,，则，，结合的定义域为，且在上是增函数， 又恒成立，， ，不等式的解集为，故选：B. 例29．（1）（24-25高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又，又不等式， 所以当，即时 ，，则，解得，故； 当，即时 ，，则，解得，故； 综上，不等式的解集为.故答案为：. （2）（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，令，则，因此函数在上单调递增，由，得， 由，得，即，则，解得，所以原不等式的解集为.故选：C 例30．（1）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （    ） A． B． C． D． 【解析】由于，令则，即， 则，由于，则， 即有，由于对于，都有，则在上递减， 不等式即为．则原不等式即为，即有，即有，即解集为．故选：D． （2）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 【详解】构造函数，依题意，的定义域是，是偶函数，所以，所以是偶函数，由于对，，，则，所以在上单调递增，则在上单调递减.对于，且， 若，可得，即，可得；若,可得，即，可得；所以不等式的解集为. 角度三：利用函数单调性比较大小 例31．（1）函数在是增函数，若，则有  （    ） A． B． C． D． 【解析】，又函数在上是增函数，故故选：C. （2）．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】是定义在上的减函数，，与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；，，，故C正确．，时，；时，，故关系不确定，D错误，故选：C． 例32．（1）已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为函数在上单调递增且关于直线对称，所以，所以，即．故选：A． （2）（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．又，所以．因为，所以．故，即．故选：D （3）（25-26高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 因为对任意都有，即有在上单调递减， 所以，故选：D （4）（24-25高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【详解】设，当时，，则在单调递减，所以在单调递减，所以，即. 例33．（1）（多选题）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【解析】函数在区间上是单调函数，又，且，故此函数在区间上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数． 对于A，，故，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确． （2）（多选题）（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，，又因为在区间上单调递增，且，所以，所以，所以和正确；故选：BD 角度四：利用函数单调性求函数的最值及范围 例34．（1）（24-25高三上·黑龙江牡丹江·开学考试）记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 【详解】   如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象，而的图象即是图中勾勒出的实线部分，要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.由联立解得，，故所求函数的最大值为．故选：B． （2）（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以在上单调递减且， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，则的图象如下所示： 因为在上的值域为，所以，即实数的取值范围为.故选：A （3）（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，的最小值为，当时，， 若时，为增函数，所以，所以需满足，解得，与矛盾，故不合题意；当时，由对勾函数性质，在上单调递增，又的最小值为，则，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：B （4）（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立.由，当且仅当时取等号，所以 ，解得.综上，a的取值范围为.故选：A. 例35．（1）（24-25高一下·湖南·开学考试）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数中，，即，则函数的定义域为， 由在上单调递减，得，因此，由函数的值域为，得，，显然，否则与在上单调递减矛盾， 因此，此时在上单调递减，符合题意， 所以的取值范围是.故选：C （2）（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数若存在实数，使，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，当时，则在上单调递减，所以，则当，即时，存在实数，使， 当时，不存在实数，使；当时，若，即时，在上单调递增，则，所以，解得，与矛盾，故舍去；若，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，则，解得；综上可得实数的取值范围为.故选：D （3）（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】当时，，则在上单调递减，此时，当时，，则函数在上单调递增，此时，在上单调递减，此时，当时，由，即，得，当时，由，即，得， 画出函数的图象，如图，   若在区间上既有最大值，又有最小值，得，因此，则的最大值为3.故选：C. 例36．（1）（多选题）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（    ） A．4 B． C．4 D． 【详解】函数的对称轴为，开口向上.当时，函数在区间上单调递增，所以，解得或， 因为，所以；当，即时，函数在区间上单调递减， 所以，解得或，因为，所以； 当时，在上递减，在上递增，所以，不合题意； 综上：实数a可能的取值或.吧 故选：AD （2）（多选题）（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则的取值范围是 D．函数的值域为 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且.所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即，解得，即的取值范围为，故A正确；对于B，因为函数是定义在上的减函数，所以等价于，整理得，其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立，所以，恒成立，故B正确；对于C，因为函数是定义在上的减函数，所以等价于，解得，即的取值范围是，故C正确；对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数，所以令，此时，当时，可得；当时，因为，所以，所以函数的值域为，不是，故D错误.故选：ABC （3）（多选题）（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 【详解】A选项，令得，∴，A正确； B选项，任选，且，中，令，得，因为当时，，又，所以， 故，所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得，故，故，C错误； D选项，因为，所以，中，令得，∵，∴，由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确.故选：ABD 例37．（1）（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，当时，在上单调递减且的值域为，则，，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，，因为的值域为， 所以，即，解得，所以， 综上，a的取值范围为．故选：B． （2）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）定义若函数，且在区间上的值域为，记区间的长度为，则的最大值为（    ） A．1.4 B．0.9 C．1.9 D．3.1 【详解】，函数，当时有最大值2， 当时时，， 令，解得， 令，得，记， 则的图象如图所示. 令，解得（舍去）或，观察图象可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ,，，在区间上的值域为， 则区间的长度的最大值为.故选：C. （3）（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，在上单调递减，此时；当时，．①若，则在上单调递增，此时，又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立，又函数的值域，则，解得．综上所述：．故选：C. （4）（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，若，则的值域是 ；若函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【详解】 当时，函数为，画出函数图象，由图可知，当时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，则函数的值域为；当函数的值域为，由函数图象可知，当且仅当时，函数值，可得，又由得或，结合图象可得，综上所述，，即的范围为.故 例38．（1）（24-25高二下·山西运城·阶段练习）设函数存在最小值，则的取值范围是 . 【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值； ②当时，，当时，，故函数存在最小值；③当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.若，则不存在最小值，故，解得.此时满足题设； ④当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.因为，所以，因此不存在最小值.综上，的取值范围是.故答案为： （2）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若函数，存在最值，则实数的取值范围是 . 【详解】①当时，，，在上单调递减， 上单调递减，此时无最值； ②当时，，则易知有最小值-3.③当时，，，在上单调递减，上单调递增，上单调递增，即有最小值，则，∴，综上：.故答案为：. 例39．（1）（25-26高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【详解】当时，，草图如下， 所以，可得，解得； 当时，，草图如下， 所以，可得，解得（舍）.故答案为： （2）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，依题意，，即，当时，，若，则当时，，解得，符合题意，若，则当时，，解得，矛盾，所以实数的值为.故选：A （3）（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ，所以 ，所以，设，则，由可得， 在上递增，所以，所以实数的取值范围是，故答案为：. （4）（24-25高一上·天津·期末）已知函数，，若存在个实数为，使得成立，且的最大值为6，则实数的取值范围为 . 【详解】当时，；当时，，所以，函数在上的值域为，令，则，则条件等价于函数，若存在、、、、，使得成立的最大整数的值为，则，因为当时，，则不等式组不成立，所以，或，当且时，在上单调递增，则，，所以，，解得；当且时，在上单调递减，则，，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 题型五：抽象函数单调性的证明 例40．（1）（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）判断并证明的单调性; （2）解关于的不等式. 【详解】（1）设，则 又当时，在上为增函数. （2）在中，令，则. ，不等式，可转化为，即， 由函数在上为增函数，可得.，原不等式解集为. （2）（25-26高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由，则， 又当时，，则，； （2）令，则，即， 当时，，且，即， 即在上恒成立，由，可知， 令，，且，即，则，所以， 即在上单调递增； （3）由已知，又由（1）得， 所以，又函数在上单调递增， 则恒成立，所以恒成立，又，即，解得. （3）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 【详解】（1）∵， 令，则，∴； （2）由，可得，则得，， 设，由，因时，有，依题意，，即，所以函数在为增函数； （3）因，∴，又由，则 ，由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，，解得，即不等式的解集为. 例41．（1）（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明单调性； （3）若，求关于的不等式的解集． 【详解】（1）因为，，都有且，所以，则，，则，所以. （2）在上单调递增，证明如下：因为，，都有，即，在R上任取且，则，所以，则.又，所以函数在上单调递增. （3）不等式即，即， 即，又函数在上单调递增，所以不等式等价于，即，又，所以不等式等价于，当，即时，不等式等价于，所以不等式的解集为；当，即时，解得，即不等式的解集为；当，即时，解得，即不等式的解集为；综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知的定义域为，对，，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）令代入中，则；令，代入中，，而，则. （2）在上单调递增.证明：假设且，，则， 令，，,代入中，故 ，即：.即：函数在上单调递增. （3）由 又且，故： 又因为函数在上单调递增，故等价于，使得成立.即：.令，则，即：，则. （3）（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数都有，且当时，． （1）求的值， （2）判断函数的单调性并加以证明： （3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，则，所以，所以. （2）函数在上是增函数，证明：设，则， 因为，所以，故，所以，所以函数在上是增函数； （3）因为，所以， 又因为，则可化为.由（2）知函数在上是增函数， 所以对任意的恒成立，所以且对任意的恒成立. 所以且，记，，二次函数在区间上为增函数，所以，所以.因此，实数的取值范围是. 例42．（1）（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． （1）求，； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式：． 【详解】（1）令，则，，令，则，又，； （2）任取，且，则，∵， ∴，∴，即，所以在上单调递增． （3）由，即，也就是，即，因为在上是增函数，所以，可得不等式解集为或. （2）（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 【详解】（1）因为，，都有，所以令，得，则，证明：因为时，， 所以当时，，则，令，，得， 所以. （2）在上单调递减，证明如下：不妨设，则，， 令，，则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）因为，令，，则， 由，得，即， 由（2）知在上单调递减，所以，所以， 即，则该不等式对应方程的实数根为和. 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上：当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为. （3）（25-26高一上·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为对任意实数，，，所以，所以，在中，令得，，所以，在中，用替换得，， 因为，所以，所以，对任意实数，，成立. （2）任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. （3）命题，为假命题，等价于，为真命题.在中，令得，，所以 由（2）的结论得，， 即，令，因为，成立，所以，所以，所以实数的取值范围是. 题型六：二次函数在闭区间上的最值问题 例43．（1）（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在区间的最小值． 【详解】（1）由题意设， 则 ， ， ∴由得， ∴，即. 故函数的解析式为. （2）由（1）知函数的对称轴为直线，开口向上，①当，即时，在区间上单调递减，此时； ②当，即时在区间上先减后增，此时； ③当时，在区间上单调递增， 此时. 综上所述，. （2）（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间上有最小值3，求的值. 【详解】（1）若，则，对称轴为，函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，； 所以的值域为 （2），对称轴为，①当，即时，函数在,上是增函数．，由，得． ，． ②当，即时，．由，得，舍去．③当，即时，函数在,上是减函数，． 由，得．，，综上所述，或． （3）（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. （2）设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到，由韦达定理知，，令，得到，所以，又， 所以，解得，故的值为1或. （3）因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得，故的取值范围为. 例44．（1）（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知二次函数满足，且： （1）求的解析式； （2）若在区间上，的值域为，求的取值范围. （3）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【详解】（1）设二次函数，，由题意知： ，整理得：，即：，解得：， ∴； （2）因为，所以其图象的对称轴为直线，当时，，因为当时，，由二次函数图象可知 ，解得，所以的取值范围是； （3）由（1）知，的图象开口向上，时，，解得：或，∴当，，图象在轴下方，当，，图象在轴上方，对于，当时，，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；当时，，开口向上，当时，图象在图象的上方，不合题意，舍去；当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方， 即恒成立，即恒成立，即恒成立，， 即有：，即：.综上，的取值范围是. （2）（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）求在上的最小值； （3）求（2）中函数的最大值． 【详解】（1）因为，，所以，所以，解得． （2）由，得函数的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，， 当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，当即时，在区间上单调递减，，综上，； （3）由（2）知，当时，，当时，， 当时，，综上，的最大值为3． 例45．（1）（24-25高一上·上海·期末）已知函数． （1）若的最大值为0，求实数a的值； （2）设在区间上的最大值为，求的表达式； （3）令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 【详解】（1），因为的最大值为0，所以， 所以或. （2）函数的对称轴为，当，即时，在上是减函数，所以；当，即时，当时，是减函数，当时，是增函数，所以；当，即时，在上是增函数，所以，所以. （3）由题意，令可得，简图如下， 当时，即时，在是增函数，所以，成立.当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，所以，解得，不成立；当时，即时，在上是减函数，所以，解得，不成立；综上所述，. （2）（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数． （1）当时，求的单调增区间；此时若对任意，，当时，都有，求m的最大值； （2）当时，记函数，在上的最大值为，求的最小值． 【详解】（1）时，增区间为，， 若，不妨设，对于，则，∴，即在，上单调递减；，由图象知，m的最大值为2；    （2），其中，因为，对称轴为，开口向下；，对称轴为，开口向上，于是最大值在，，中取得，当，即时，在上单调递减．∴； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ∴；当，即时，在上单调递减， 上单调递增，在上单调递减，∴； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，∴． 例46．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值． 【详解】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得，所以； （2）由于的对称轴为，因此若在区间上单调，则或，解得，或，即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增，所以当时，在区间上递增，此时；当，即时，；当，即时，在区间上递减， 此时；综上所述：即为所求． 例47．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，函数 （1）若函数关于对称，且，求a，b的值； （2）当时，记，若当时，，求的最大值. （3）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求b的取值范围； 【详解】（1）由函数的图象关于对称，且， 得，所以，. （2）依题意，，当时，，在上单调递增，函数值集合为；当时，，由对勾函数性质知，在上单调递减，函数值集合为；在上单调递增，函数值的集合为，由，得，解得；由，则或，解得或，所以． （3）当时，函数定义域为R，其图象对称轴，， 当时，（ⅰ）时，，当且仅当时取取等号， （ⅱ）时，，当且仅当时取等号， 于是，由函数的值域和函数相同，得，则，当时，，在和上单调递增，此时的值域是R，此时符合的值域和的值域相同．当时，值域为，则的值域和的值域相同，所以实数b的取值范围为． 例48．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数，函数的最小值是，求实数的值. 【详解】（1）若函数的定义域为，则对任意的，， 由于函数为开口向上的二次函数，故只需要，解得，所以实数的取值范围是. （2）任意，恒成立，则，可得， 令，则，所以，，可得， 令，其中，则函数在上为减函数， 所以，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是. （3）因为，令，则，则为开口向上，对称轴为的二次函数，当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不符合要求，舍去；当，即时，则在上单调递增，此时，解得或（舍去）；综上所述：. 题型七：函数不等式恒成立和有解问题 例49．（1）（2025·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，则，对恒成立，令，则二次函数的对称轴为直线，要使得，恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A. （2）（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【详解】①当时，等价于，即， 依题意在上有解，开口向上，对称轴， 当时，，，即，此时的取值范围为；②当时，等价于，即，依题意在上有解，当且仅当，即时等号成立， ，解得，此时的取值范围为；综上所述，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是 （3）（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】，使得成立，，又由在上单调递增，，即对恒成立，，即对恒成立，， 又由在上单调递增，时，时，， .故选：B． 例50．（25-26高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为，因为恒成立，所以.答案为：. 例51．（1）（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ，，设，则，则函数等价为， 由对勾函数的单调性可得，时，单调递减，时，单调递增，当时，函数取得最小值，，当时，，当时，，设函数的值域为，则函数的值域；由，在上是减函数，则最大值为，最小值，，设的值域为，则，若对于任意，总存在，使得成立，则等价为，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D． （2）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数．若对，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】，令，则令，m在上单调递减，上单调递增，所以，则， 易知在区间上单调递增，则， 又，使得，所以,解得：，故选：A （3）（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，可得的值域为；因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域是的值域的子集；显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得；当时，在上为减函数，所以，即；因此，解得；综上可得，实数的取值范围是故选：C （4）（25-26高一上·四川眉山·期末）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可得，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，在上单调递减，∴函数在上的值域为，为开口向上的二次函数，其对称轴为，当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解；当，即时，在上单调递减，在上的值域为，∴，解得，无解；当，即时，在上的值域为，∴，解得，∴.综上，的取值范围为.故选：A. 例53．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 【详解】由任给，存在．使得，可知，在上的值域为在上的值域的子集.根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，且，，所以，； 当时，.，且，则.因为，且， 所以，，，所以，，， 所以，在上单调递增.又，所以，. 综上所述，当时，.当时，单调递增，所以.所以有，解得；当时，不满足； 当时，单调递减，所以.所以有，解得.综上所述，或.故答案为：. 例54．（1）（25-26高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以由不等式得， 不等式在区间内有解，只需，因为在上单调递增，所以的最大值为，可得，解得. （2）（多选题）（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．，恒成立，则实数的取值范围是 B．，，则实数的取值范围是 C．，有解，则实数的取值范围是 D．，，使得 【详解】当时，，当时，， 对于A，，若恒成立，则，所以实数的取值范围是，故A错误；对于B，，若，则，所以实数的取值范围是，故B正确；对于C，，有解，则实数的取值范围是，故C正确；对于D，由于，，使得，等价于在上的值域包含于在上的值域，显然的值域，故D正确.故选：BCD. 例55．（25-26高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 【详解】因为对任意的，总存在与使得成立， 所以，，对称轴为，因为，所以当时，，当时，函数在上单调递增，所以，所以，解得；当时，函数在上为常数函数，满足；当时，函数在上单调递减，所以，所以，解得；综上，，即实数a的取值范围为. 例56．（1）（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】二次函数的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又已知在上单调递减， 所以，可得.因为函数在上单调递减，在上单调递增，又，由对称性可知，所以当时，取得最大值，即最大值为，在当时取得最小值，即最小值为，要使对任意的，都有，只要成立即可，所以，解得，又，所以的取值范围，即.故选：A. （2）（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 【详解】由在上单调递增，且过点，在上，在上单调递减，在上单调递增，结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移，令过且平行于的直线为，则，所以，故， 联立与，消去y得，所以或， 对任意，都有成立，由图知，在上不单调，必有，需保证，时有， 所以，，整理得，所以，综上，实数的取值范围是.故答案为： 例57．（1）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. （1）若对一切实数都成立，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立， 当时显然恒成立，当时，则，解得， 综上可得，实数的取值范围. （2）当时，则在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在上的值域为， 令，，因为对任意的，总存在，使成立，所以在上的值域为在上的值域的子集， 当时为常数函数，显然不符合题意；当时在上单调递增，所以在上的值域为，所以，解得；当时在上单调递减，所以在上的值域为，所以，解得；综上可得. （2）24-25高一上·重庆·期中）若函数 （1）当时，求的解集； （2）设，若时，的最大值为3，求a的值； （3）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 【详解】（1）由题设，即，解集为； （2）由，，其开口向上且对称轴为， 若时，，此时，满足； 若时，，不满足；综上，； （3）由题设，又，令，故，问题化为，对使恒成立，由调换主元为一次函数，而， 所以在上单调递减，故只需在上， 而，故只需在上，所以，可得或. 例58．（1）（24-25高一上·安徽·期中）已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）对，不等式恒成立，求的最小值． 【详解】（1）由， 可知不等式等价于.由，得，所以原不等式的解集为． （2）在条件中取，可得，从而，即.而当时，对任意，有，满足条件.所以的最小值为. （2）（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是. （1）求的解析式； （2）不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）解：因为，不等式的解集是， 所以、是一元二次方程的两个实数根，由韦达定理可得，解得，所以. （2）解：不等式组，即，解得， 因为原不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为、，可得到，解得，则实数取值范围是. （3）解：因为对任意，不等式恒成立，所以， 当时，恒成立；当时，二次函数的对称轴方程为， 当时，函数在上单调递减，所以只需满足，解得；当时，函数在上单调递增，所以只需满足，解得.综上，的取值范围是. 例59．（1）（24-25高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，． （1）设，，若函数的最大值等于2，求a的值； （2）若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； （3）设，求的最小值． 【详解】（1）因为， 当时，，即，解得：（舍）或.当时，，即，解得：（舍）或.综上，或. （2）设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B， 则，．因为对任意，都存在，使， 所以得，所以a的取值范围是 （3）①当时，在上单调递减，上单调递增，； ②当时，在上单调递减，上单调递增，； ③当时，在上单调递减，上单调递增，； 综上 （2）（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，满足，． （1）求的解析式； （2）设函数在区间上的最大值为， （ⅰ）求； （ⅱ）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以的对称轴为，即， 又，所以，，故的解析式为． （2）（ⅰ）由（1）知，．所以， 则的图象关于直线对称，①当时，即，因为，所以，②当时，即，因为，所以，综上所述， （ⅱ）由（ⅰ），则在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数的值域为， 因为在单调递增，所以值域为，因为对于任意，总存在使得成立，则有，所以，即的取值范围是． （3）（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 【详解】（1）由题意，，解得，，所以. （2）当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，.所以，则.不等式，即，得在有解，所以且，即，则实数的取值范围为. （3）因为，所以，恒成立，所以，则，而 ，设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立，因为，则，所以，因为函数在上单调递增，可得，所以，即实数的最小值为3. 例60．（1）（24-25高一上·河南·期中）已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若在区间上的最大值为． （i）求实数a的值； （ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意得．设且，则，因为，所以，，当时，，即.所以在上单调递增；同理可得，在上单调递增.故在和上单调递增. （2）（i）在区间上的最大值为．①当时，同理（1）可知，函数在区间上单调递减，∴，解得（舍去）； ②当时，函数在区间上单调递增， ∴，解得．综上所述，． （ii）由（i）知，，且在区间上单调递增． ∴，即，∴在区间上的值域为． 讨论函数：令，则，当时，，所以，为减函数；当时，，所以，为增函数；∴在为减函数，在为增函数，令，则，∴． 在区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形，等价于，．①当，即时，在上单调递增，∴， 由，即，得，∴； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，由，即，得，解得，∴； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，由，即，得，解得，∴； ④当时，在上单调递减， ∴，由，即，解得，∴．综上所述，实数b的取值范围为． （2）（25-26高一上·山东威海·期中）已知函数（）. （1）当时，求的最小值； （2）解关于的不等式： （3）对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）对称轴， ①当时，即，在上单调递增，所以； ②当时，即，在上单调递减，所以； ③当时，即，在上单调递减，在上单调递增， 所以；综上， （2）由题意知，即， ①，解得，②，解得， ③，解得，综上，不等式的解集为①，， ②，，③，， （3）令，则，，则对任意，存在，使得，令，则恒成立， 即恒成立， ，，即或，存在，使得或，或， 由，当且仅当时等号成立，知；由在上单调递增知，当时，，所以，综上，或. 题型八：函数的奇偶性的判断与证明 例61．（多选题）（25-26高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A.因为的定义域为，且，A正确；B.因为的定义域为R，且 ，B正确 C.因为的定义域为，设，则，所以，则，同理当时，，所以函数是奇函数，C正确；D.由，即，解得 ,所以函数的定义域是 ，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数，故D错误；故选：ABC 例62．（1）（25-26高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ C   ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·广东深圳·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（  D  ） A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高一上·陕西榆林·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ A B  C） A． B． C． D． 例63．已知函数，，则（  D  ） A．为奇函数，为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 C．为奇函数，为偶函数 D．为奇函数，为偶函数 例64．（多选题）下列说法正确的是（ ） A．若定义在上的函数满足，则是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则不是偶函数 C．若定义在上的函数满足，则在上是增函数 D．若定义在上的函数满足，则在上不是减函数 【解析】对于A选项，取函数，则，函数的定义域为，，此时，函数为奇函数，A选项错误； 对于B选项，若函数为定义在上的偶函数，对任意的，必有， 因为，所以，不是偶函数，B选项正确；对于C选项，取函数，则，，，但函数在上不单调，C选项错误； 对于D选项，假设函数是定义在上的减函数，则，这与题设矛盾， 假设不成立，所以，函数在上不是减函数，D选项正确.故选：BD. 题型九：函数奇偶性的应用 角度一：已知函数的奇偶性求表达式，求值 例65．（1）（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 解：根据题意，当时，，则，又由函数为上的偶函数，则．则时，．故答案为：． （2）（25-26高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【详解】设，则，则，函数是上的奇函数，则当时，.又，所以 例66．（1）（25-26高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【详解】因为是奇函数，则，，，， 所以，故，所以.故选：B． （2）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数，若，则 ． 【详解】令，则为奇函数，因为，所以，，所以，故答案为： 3）（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【详解】因为函数是在上奇函数得出又因为,所以,所以.故答案为：7. 例67．（1）（25-26高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以且，则，所以，则.故选：D． （2）（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【详解】由函数是奇函数可知，因此可得；又，因此；两式相加可得；又，因此.故选：B 例68．（25-26高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得， 则，又是偶函数，则，即，解得，则，，则.故选：B. 角度二：已知函数的奇偶性求参数 例69．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【详解】由函数为奇函数，可得， 可得，解得，经检验，当时，， 满足，符合题意，所以.故选：D. 例70．若函数为偶函数，则___________. 【解析】由为偶函数，得，，不恒为，，， 例71．（25-26高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 【详解】由题知，得到，整理得到恒成立，所以，得到，故答案为：. 例72．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数，恒成立，恒成立， 故选:  A . 例73．（24-25高三上·广东·期中）若为偶函数，则（   ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 角度三：已知奇函数+M 例74．已知函数，，则的值是_______. 【解析】是奇函数       . 例75．已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由于为奇函数，所以， 由得 ，由于 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：A 例76．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【详解】由题意得 ， 令，（）则，即为奇函数，则，又函数，（）的最大值为，最小值为，得，则，故答案为：4048. 例77．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，若，，且，则最小值是 . 【详解】函数定义域为R，，因此函数是R上的奇函数，且在R上单调递增，由，得，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值是.故答案为： 例78．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 解：因为，令，则，又因为，所以函数为奇函数，所以，所以．故答案为：4． 例79．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【详解】设，则的定义域为，且连续不断，由，可知为奇函数，设在上的最大值为，由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.故答案为：6. 例80．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【详解】因，设，则，可得函数为奇函数，则在区间上的最大值与最小值的和为0，故，于是，.故答案为：. 角度四：利用函数奇偶性解不等式 例81．（1）（25-26高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得，所以实数的取值范围是. （2）（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以，解得，即函数的定义域为，当时，单调递增，所以当时，单调递减，关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为.故选：B 例82．（1）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得： 或或，解得或或，即或，所以满足的的取值范围是.故选：D. （2）（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为 ． 【详解】因为函数是定义域为R上的偶函数，且在上单调递增，， 所以，即，得，解得；，即，得，解得或；由，得或，即或， 解得或.所以不等式的解集为.故答案为：. （3）（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减，因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为.故答案为： 例83．（1）（2025·山东·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中，用去代换x，得，∴，，∵， ∴由，可得，令，则在上单调递增．若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意；若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下，则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． （2）（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，， 所以，设，则，，且，，根据单调性的定义可得，在上单调递增，因为在R上为奇函数，所以，所以在R上为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，则，所以的解集为，所以的解集为. （3）（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以，令，则在上递增，因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数，所以在上递增，不等式化为，因为，所以，即，所以，则，即：，所以，或，即：，所以，所以不等式的解集为， 例85．（1）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则定义域为，因为是定义在上的奇函数，则，所以为奇函数，又因为对于任意，都有成立，即对于任意，都有成立，即成立，所以在为增函数；因为，所以，又为奇函数，所以在上为增函数，且，所以.故选：A. （2）（24-25高二下·天津·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数，当、且时，都有成立， 不妨设，则则，即，故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则，当时，由得，即，解得；当时，由得，即，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：A. 例87．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，令函数，因为若且，都有，即，所以函数在区间上为单调递增函数， 又因为为上的奇函数，即，所以，所以函数为上的偶函数，又由，可得，则， 所以不等式，即为，则满足，解得， 所以不等式的解集为.故选：C. 例88．（1）（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，解得，所以，其在上单调递增， 又因为，所以函数为奇函数，， 所以不等式可化为， 于是，即，解得或.故选：C． （2）（2025·天津河北·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【解析】由题意得函数为偶函数，且当时函数单调递减，当时函数单调递增．原不等式可化为，∴，两边平方整理得解得或．∴实数的取值范围是．故答案为：． 例89．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例90．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】中，令得，解得， 中，令得，故， 又的定义域为，所以为奇函数，任取，则，又时，，则，即，故在上单调递减，由对称性可得时，，故在上单调递减，，所以，解得.故选：D 例91．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则，因，则，则图象关于对称；又对任意，都有，则在上单调递减，又图象关于对称，则在上单调递增，在上单调递减. .故选：A （2）（24-25高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数的图象关于对称可得图象关于对称， 所以为R上的奇函数，则函数图象大致如图所示．要解，即，即，当时，即时，，所以或者，解得或；当时，即时，，所以，解得综上可得不等式的解集为. 故选：D. 题型十：抽象函数的奇偶性问题 例92．（1）（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）当时，，解不等式. 【详解】（1）令，得，所以.令，，得，所以. （2）为奇函数，证明如下：由题意，任意x，， 令得，，即，所以函数为奇函数. （3）设，，且，则，所以， 所以，故在上为增函数. 等价于，所以，解得， 故原不等式的解集为. （2）（25-26高一上·内蒙古·期中）若定义在上的函数对任意实数，恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）判断并证明在上的单调性并求最小值； （3）解关于的不等式. 【详解】（1）令，则，即，令，则，所以为奇函数； （2）单调递减，令，则由题意可知：， 所以，因为时，，则，所以时有，则在上单调递减，又由（1）知为奇函数，所以在R上递减，即在上的单调递减，最小值为； （3）由题意，结合（1）的结论，所以，则，由（2）的结论知，解之得. 例93．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，求； （3）若，判断并证明的单调性． 【详解】（1）是奇函数，证明如下：因为，令，得到，令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数，所以. （3）在上单调递增，证明如下：在上任取，令， ，又因为，而，所以，即，得到，所以在上单调递增. 例94．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 （1）求证：是奇函数； （2）设，且当时，，求不等式的解集． 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有，令，得， 令，得，令，得， 是奇函数. （2），， ，设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为，又， 所以是偶函数，因为，，则，解得，不等式的解集为或. 例95．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 【详解】（1）因为对任意且，都满足， 令，得，，令，得， . （2）对任意非零实数，，令，可得. 在上式中，令，得，即对任意非零实数，都有， 是偶函数. （3）对任意且，有，由（2）知，在区间上单调递增. ，， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，原不等式转化为， 解得或或，原不等式的解集为. 例96．已知函数满足，当时，成立，且． （1）求，并证明函数的奇偶性； （2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围 【解析】（1）令，可得，令，则，所以，所以，所以为奇函数； （2），即，所以， 又当时，成立，所以为增函数，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以当时，，所以，即. 例97．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因对任意的都有.当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则.令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明:当 时, 则，由，可得，又 ，且时, ，故 时, .又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增,又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且，故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得，即因在上是增函数，即得对任意的 成立，设，则解得或即实数的取值范围为. 题型十一：函数的对称性与周期性 例98．（1）已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 因为为偶函数，所以，则， 所以，则，所以，所以是周期为4的函数，因为，，所以.故选：C. （2）（24-25高一上·浙江台州·期中）已知为奇函数，则 （    ） A． B．14 C． D．7 【详解】因为为奇函数，所以当时，，即， ∵，即，∴， 即函数关于点对称，故，，，∴.故选：C （3）（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 . 【详解】因为为奇函数，所以，即，所以，因为为偶函数，所以，所以，即，所以， 则是周期为的周期函数，因为，即， 则，，所以，因为，所以，则， 则 .故答案为：. 例99．（1）（多选题）（23-24高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的周期为4 【详解】由函数的图象关于直线对称，得， 即，将换为可得，所以的图象关于直线对称.由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于点对称，即.所以的对称轴关于的对称直线也是的对称轴，C正确；所以的对称中心关于的对称点也是的对称点，B正确；又，所以，的周期为4，D正确； 根据以上性质，不妨作出满足函数性质的一种图象情况，如图，   由图可知，此时可以不成立，故A错误.故选：BCD． （2）（多选题）（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为R，，函数关于对称，即，， 的图象关于点对称. 对于AB：的图象关于点对称，，但无法判断，故B正确，A错误；对于D：的图象关于直线对称，且，，故D正确； 对于C：的图象关于直线对称，的图象关于点对称，，即，，令，则，故C正确.故选：BCD. 例100．（1）（24-25高一上·安徽亳州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则 的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【详解】若为奇函数， 则，所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称，则，即，且， 所以 .故选：C. （2）（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 函数关于点中心对称，函数，它是由函数向左平移1个单位再向上平移2个单位得到的，而函数的对称中心为，所以函数的对称中心为，所以， （3）（24-25高一上·重庆·期中）已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则 . 【详解】由题意可知，是奇函数，即是奇函数；， 由，解得.故答案为： 例101．（1）（多选题）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）． A．是偶函数 B．的周期 C． D．在单调递减 【解析】由的图象关于直线对称，则， 即，故是偶函数，A正确；由，令，可得，则，则的周期，B正确； ，故C正确；又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，故D错误.故答案为：ABC （2）（多选题）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 【详解】由题意知，函数的定义域为，满足， 对于A，令，可得，因为，所以，所以A正确；对于B，因为，所以一定不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，可得，所以；令，可得，所以；令，可得，所以；令，可得，所以，，由此可得，函数的周期为2，则，所以C正确；对于D，由，，可得，所以，所以D不正确.故选：AC. 例102．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ） A．可能是偶函数 B． C． D． 【详解】对于选项A，当时，符合题意，所以A正确；对于选项B，由是奇函数，则，所以①， 是偶函数，同理易知：②，由②得，联立①式得③，所以④， 由③④得，即，所以，选项B错； 对于选项C，由知，当得， 由知，当得，所以， 所以，由已知在上单调递增，且，所以，所以，所以C正确；对于选项D，由及得，所以，因为，即，所以选项D正确，故选：ACD． 题型十二：函数基本性质综合问题 例103．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是奇函数，且． （1）判断并根据定义证明函数在，上的单调性； （2）设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围． 【详解】（1）解：因为，且是奇幽数，所以， 所以，解得，所以．检验，由解析式可知，定义域，关于原点对称，，所以是奇函数，满足要求； 函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，，且， 则，因为，，且，所以，，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减；同理可证明函数在上单调递增． （2）由题意知，令，， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为，所以函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，．所以，， 又因为对，都有恒成立，所以，即，解得，又因为，所以t的取值范围是． 例104．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围． 【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以，所以； （2）由（1）得：，当时，在为减函数. 证明如下：取且， 因为，所以所以，即，所以在为减函数. （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时 不妨记函数在区间内的值域为. ① 当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为．因，故对任意的，总存在，使得成立; ② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴，所以在上单调递减，则，所以在区间内的值域为．因，故，所以;③ 当时，（i）当时，，在上单调递减，且，则，得在区间内的值域为．因，故对任意的，总存在，使得成立；（ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为．所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意.综上，实数的取值范围为. 例105．（24-25高一上·浙江杭州·期中）定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）当时，，所以所以的解析式为. （2）当时，，所以. ①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意.②当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，即，，即，符合题意； ③当时，在单调递减，则，解得，不合题意.综上得，. （3）由得，，由得，得，故同号. ①当时，由于时，，故，则， 所以在区间上单调递减，所以，即为方程的根，由得，即，从而解出.②同理时，由于时，，故，则故在区间上单调递减，所以，解得.综上可得，或. 例106．（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且，所以， 所以，解得，即．经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，且，则， 当，且，则，，∴，∴，即，所以函数在上单调递减．当，且， 则，，∴，∴，即，所以函数在上单调递增． （3）由题意知，令，则，由（2）可知函数在上单调递减，∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，． 所以，，又因为对任意的，都有恒成立，∴，即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 例107．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【详解】（1），故，即．，为偶函数，证明如下：的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减.又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以，由得，由函数的性质得：， 则，解得： 例108．（1）（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求、的值； （2）证明函数在上的单调性； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为为奇函数，故，即，故，解得，又，解得，故，. （2）由（1）知，，任取、，且， 故 ，因为、且，所以，，又，，故，故，函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则，问题转化为，当时，恒成立. 所以，只需，解得.综上可知：，即实数的取值范围是. （2）（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【详解】（1）因是上的奇函数，故，当时，，，满足题意.综上知，. （2）由（1）知，则在上单调递减，下面用定义证明： 任取且，则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减. （3）由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，当时，在和上单调递减，在上单调递增，故，，于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得，即，解得或或（舍去）.综上，实数的值为或. 例109．（25-26高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. （1）证明：在上单调递增； （2）解不等式：； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）取任意，且；由是定义在上的奇函数，可得，又因为对任意的且时，有成立，所以，且；因此可得，即.所以在上单调递增； （2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形 可得；由（1）可知函数在上单调递增，所以不等式需满足，解不等式可得；解不等式可得或；解不等式可得或；综合可得；即不等式的解集为 （3）由（1）可知，在上的最大值为，因为对所有的恒成立，所以对所有的恒成立，即对所有的恒成立，令，即对所有的恒成立， 所以，即，解得或或.所以实数的取值范围为或或 例110．（1）（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）根据第（1）问的结论，求 的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【详解】（1）设的对称中心为点，， 则为奇函数，即，， ，即， ，整理得，， ，解得，即，函数图象的对称中心为； （2）由（1）知， ，， 且， ； （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. （2）（25-26高一上·江苏·期中）我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数，且，求的值. （2）已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 【详解】（1）由，则， 又，则. （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数，对任意恒成立，即， 所以恒成立，则，解得.故函数图象的对称中心为. （Ⅱ）由，又的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的图象，则的图象的对称中心也为.则函数与图象个公共点也关于对称，所以. （3）（25-26高一上·安徽·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数. （1）求的对称中心； （2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1），设的对称中心为， 由题意，得函数为奇函数，则， 即，即， 整理得，所以，解得，，所以函数的对称中心为. （2）因为对任意的，总存在，使得，因为函数，在上都是增函数，所以函数在上是增函数，所以的值域为， 设函数的值域为集合，则原问题转化为， 因为函数是奇函数，所以函数关于对称，又因为，所以函数恒过点， 当即时，在上递减，在上递增，又因函数过对称中心，所以函数在上递增，在上递减，故此时，， 要使，只需要，解得，当即时，在上递减，则函数在上也是减函数， 所以函数在上递减，则，又，所以，解得； 综上所述实数的取值范围为． 课后练习题 1.（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，可知函数在上单调递增，设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上，则的定义域为.根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 2.（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误；而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误.故选：A. 3.（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B．0或10 C．4或68 D．68 【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则，所以或，当，则，满足，此时；当，则不是奇函数，不合题设；故选：D 4.（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为，且， 可知函数为奇函数，当，则，且的开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，由奇函数性质可知在内单调递增，所以在内单调递增，若，则，可得，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 5.（24-25高一下·广西南宁·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数是上的奇函数，且当时，，当时，则，又，即，又，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递增， 的图象如下所示：   函数在区间上单调递增，，，即，，，．故选：D． 6.（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式，若，则，可得或或，解得或或，此时； 若，则，可得，解得，此时.显然满足不等式.综上所述，不等式的解集为.故选：B 7.（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】对任意实数，都有成立，所以在上单调递增，当时，若使单调递增，则需满足；当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：，若在上单调递增，则需满足，即：，所以实数的取值范围为. 8.（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【详解】已知的定义域关于原点对称，因为，，故令时，则，令时，， 令，时，，所以，即 ，所以是偶函数，又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 9.（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增，又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减，而不等式， 又因为，所以，所以不等式的解集为.故选：B 10.（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以当时，函数取得最小值，所以需满足：当时，，当，在取得最小值，即，解得：， 11.（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且，则，解得.   故选：A. 12.（24-25高一上·广东·期中）若函数是奇函数，且在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是奇函数，定义域为，所以，，所以，所以，且.任意取，，， 因为在上单调递增，所以，因为，所以，所以，因为，，，所以，所以，所以的取值范围是.故选：D. 13.（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．又，所以． 因为，所以．故，即．故选：D 14.（25-26高一上·云南德宏·期中）定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】，即， ，，可转化为：，即，即， 满足，且，有，在上单调递增，即 ，解得：，即不等式的解集为：. 故选：C. 15.（25-26高一上·广东汕尾·期末）函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 【详解】对于A，因为与的图象关于轴对称，对于函数， 那么，所以A选项错误，对于B，，定义域为R，，所以是奇函数，B选项错误， 对于C，因为，即，令，则，所以，展开整理，则，，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，C选项错误，对于D，因为，可以看作向左平移2个单位，再向上平移16个单位得到，逆向推得，向右平移2个单位，再向下平移16个单位得到， 且前面分析知道是奇函数，图象关于原点对称，则的图象关于点对称，D选项正确.故选：D. 16.（25-26高一上·四川成都·期中）若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．当时，有 C．不等式的解集为 D．当时，有 【详解】若，解得或，结合二次函数和一次函数知，若，解得或， 结合二次函数和一次函数知，所以，画出的图象如下， 结合图象及，知为偶函数，故A正确；当时，即，所以，所以，所以成立，故B正确；对于C，令，则，当时，，解得， 当时，，解得或，又，所以，当时，，解得，综上，，故，当时，，解得， 当时，，解得或，当时，，解得，综上，不等式的解集为，故C错误；对于D，当，令，结合偶函数的性质，时，则等价于，结合B分析，当时，有成立，故D正确．故选：C 17.（多选题）（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【详解】将整理得： ，该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的.当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减，因此在上单调递减，A正确、B错误.当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减，因此在上单调递减，C正确、D错误. 18.（多选题）（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的有（     ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数 【详解】对于A，依题意，，解得，则函数的定义域为，故A正确.对于B，若命题“，”是假命题，则其否定“”为真命题， 所以，即的取值范围是，故B正确；对于C，因为， 则，当且仅当且 ，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为函数为上的增函数，且，所以，解得，故D错误.故选：ABC 19.（多选题）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调递增区间为， C．当时， D．的解集为 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误； 对于C，当时， ，设，则，， 又，所以时，，故C正确；对于D，由时， ，可得，又和在递增，可得在递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且， 所以等价为 或 ，解得或，故D正确；对于B，因为在和上递增，且，由的图象可看做的图象位于x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，所以的递增区间为，，故B正确.故选：BCD. 20.（多选题）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 【详解】对于A，因为，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以， 任取，且，则，因为，所以，即，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C， ，故C错误；对于D，因为，，所以，又因为，所以由得，故，因为在上是减函数， 所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD． 21.（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【详解】因为是奇函数，故，故恒成立，故，或，当时，函数定义域为，不关于原点对称，舍，故，此时，故， 22.（2026高一上·广东江门·竞赛）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以.由可知，函数是周期为的周期函数，因此.因为，所以，故. 23.（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【详解】因为，函数的对称轴为直线，当，即时，函数在上为增函数，过定点，根据题意，有，此时；当，即时，当时，由题意得，解得．综上所述，实数的取值范围是． 24.（1）（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【详解】，所以在时单调递减，所以，，即；因为对存在，存在，使， 所以，所以存在，使得，即，即能成立，令，则要使在能成立，只需使， 根据增函数减减函数易知：函数在上单调增，所以， 故只需，所以的取值范围是． （2）（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是 . 【详解】因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，又因为，且，可知函数在上单调递增，可得，所以，即若，则，，若对，使得， 则，解得，所以的取值范围是.故答案为： 25.（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【详解】，因为在上单调递增，在上单调递增，且连续，所以在上单调递增，所以不等式，所以对任意，恒成立，即因为开口向下， 所以，解得.故答案为： 26.（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 .【详解】因为，当时，所以；当时，则在上单调递增，所以；综上可得；因为对，，使得， 所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集，又，，当时，，则有，解得， 当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故答案为：． 27.（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． （1）用定义法证明：函数 在区间上单调递增； （2）若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且，则 由于，，，所以， 因此，即，故在上单调递增. （2）因为，所以，得，则． 于是．令，由题可知．由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 28.（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. （1）求 （2）用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即分母恒成立，因此，即，所以在上单调递减。由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得：最小值在右端点处取得：所以在上的值域为. 29.（25-26高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得，当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，所以，解得，当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，，由于， 当且仅当，即时取等号，所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 30.（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 【详解】（1）由基函数的性质可知，，所以，即，因为，所以，即. （2）函数在上单调递减.证明：任取， 则，因为，则，，则，即，所以函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数，则，所以，解得， 则不等式的解集为. 31.（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知是定义在上的函数，，且，都有. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围. 【详解】（1）因为，都有，则是定义在上的奇函数，得，解得，所以，由，可得，解得，此时，满足，所以，； （2）证明：由（1）知，设，则，因为，所以，，所以，即.故函数在上为单调递减函数； （3）由（2）知在上为单调递减函数，所以在上的最大值为， 因为对任意，使得都成立，所以，所以，因为存在，使得成立，所以，又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或，所以的取值范围为. 32.（25-26高一上·湖南·期中）我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 【详解】（1）由函数的图象关于点中心对称，故有，令，则有，故，令，则有，又当时，，故，故，即，； （2）对称中心为，证明如下：由，则有，解得且， ，故函数的对称中心为； （3）设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、，又、、，若对称中心为，则必有，且， 故，，共有2022个数组符合题意；若对称中心为，则必有，且，故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且，故，共有个数组符合题意；若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意；若对称中心为，则必有，且，故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 33.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． （1）计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断并证明在上的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】(1)依题意，函数对任意的，都有，令，得，是奇函数，理由如下：用代替，得，则，所以是奇函数. (2)在上是单调递减的函数，证明如下：任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （3）由于，则，所以，又因为，所以．因为，又因为，所以不等式可化为，由于在上是单调递减，，即，即，所以不等式的解集为. 34.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数，且. （1）求的解析式； （2）若在上的最大值为，求的值以及的最小值； （3）若，集合， 集合，是否存在实数、，使得，若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，且， 得，所以，所以，解得，故； （2）因为，所以，开口向上，对称轴为，①当，即时，，解得， 此时的对称轴为，所以；②当，即时，，解得，不合题意；综上所述，，的最小值为． （3）因为，所以，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，又，，即， 令，，则，，因为，当，则在上单调递增，则，所以，解得（不符合题意），此时，，解得，或（舍去）；当时，则，即，方程无解，故舍去； 当，则在上单调递减，所以，所以，解得或（舍去），此时，，解得，或（舍去）；综上可得或，. 35.（重庆一中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题）已知定义在上的函数同时满足下列四个条件： ①； ②对任意，恒有； ③对任意，恒有； ④对任意，恒有. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意，恒有，求实数的取值范围. 【详解】（1）在中令； （或令). 而. （2）在上单调递减.下证明：由④知：对任意，恒有.证一：任取，于是 因为，所以， 而对任意时恒有，故，即，所以在上单调递减，证毕； 证二：任取，设 ，因为，所以，即，也即在单调递减,证毕； （3）在中：令，而，于是 令，由（2）知在上单调递减， 又，可得在上也单调递减，如图，可知不等式等价于：对任意，不等式 ……①或者恒成立，……② 法一：令立，因为开口向下，由图像可知： 不等式①对于②，当时，由，即一定不存在满足②.综上取并，得 法二：令开口向下，对称轴为， 且， 当即时，问题等价于或,解得； 当即时，等价于或 当即时，问题等价于或， 解得； 当即时，问题等价于或， 解得；综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $