北京市第十二中学2026-2027学年第一学期开学练习高三数学试题

北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期开学练习 高三数学 1.答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名用黑色字迹签字笔填写清楚，并认 考 真核对条形码上的教育D号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 生 2. 本次练习所有答题均在答题卡上完成。 须 3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效， 知 在练习卷、草稿纸上答题无效。 4. 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 (1)已知集合M={x-2≤x<3},N={x|x>1},则MUN= (A){x|x<3} (B){x|x≥-23 (C){x|x>1 (D){x1<x<3} (2)已知角x的项点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(3,-4),则sin,= A)-4 (B)3 (C) 3 (D) 5 5 (3)若2<2<1，则下列不等式成立的是 (A)a>b>0 (B)b>a>0 (C)a<b<0 (D)b<a<0 (4)已知a>0,b>0,则 (A)a2+62 >2ab (B)a+b>√ab (C)a+b>ab D)1+1<2 a (5)下列选项中，g(x)的图象不可以由f(x)的图象经过平移得到的是 (A)f(x)=Inx,g(x)=In(3x) (B)f(x)=2*,8(x)=4·2* (C)f()=sinx,g()=c0x+2) (D)f(x)=sinx,g(x)=sin2x (6)不等式x2-mx+16≤0对任意x∈[2,4恒成立，则m的最小值是 (A)-10 (B)-8 (C)8 (D)10 (7)若函数f()=cosx+sin(x+p)的值域为[-2,2]，则p可以为 (A) (B) 3 (C) (D)元 4 (8)已知函数f(x)的定义域为R,则“Hx,x2∈R,若x2f(x2)≠0时，都 f()=左” f(x2)x2 是“f(x)为奇函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T, tmin后的温度是T, T-工=2，其中？，表示环境温度，h为半衰期.现有一杯8℃ To-Ta 的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20mi血，那么从88℃降温到 30℃大约需要（参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477） (A)32min (B)34min (C)36min (D)38min (10)已知2={(x,y)川x+y=2},T={(x,y)川x2-y+1=0,x>0}是平面直角坐标系 中的点集，则 (A)对任意不同的两点A,B∈2，存在点C∈T,使得△ABC为等边三角形 (B)对任意不同的两点A,B∈2，存在点C∈T,使得△ABC为等腰直角三角形 (C)对任意点A∈T,存在点B∈T,C,D∈2，使得四边形ABCD为菱形 (D)存在互不重合的四个点A,B∈2，C,D∈T,使得四边形ABCD为正方形 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)不等式上<x的解集为 （1D)平面直角坐标系中(os0,血6)与(cos(0-孕sin(0-孕》关于x箱对称，则9的 一个可能取值为 (13)函数f(x)=log2(x2+2ax+5)在(L,2)上单调递减，则实数a的取值范围是 2*+a,x≥0 (14)已知函数f(x)= 若a=-2,则f)>0的解集为一；若 ax,x<0 Vx∈R,f(x)>0,则实数a的取值范围是 (15)已知函数f(x)xsinx-c2|.给出下列四个结论： @对任意c≥0，在区间(-平孕上有最小值和最大值： ②对任意c≥0，f(x)在R上都有无数个零点； ⑧当c=1时，方程f(x)=1在[-元，π]上的解集有3个元素； ④存在c>0,使方程f内=c在[7上的解集为空集 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 设R为全集，集合A={xa+1≤x≤2a+1},B={yy=x2+2x-3,0≤x≤2} (I)若a=3,求(C4)∩B; (Ⅱ)若AUB=B,求实数a的取值范围， (17)(本小题13分) 已知函数/()=2sin0xc0sp+2 0i血0+1@>0k 的最小正周期为 元，且f(0)=2. (I)求函数f(x)的单调递减区间； (Ⅱ)当x∈ 0,2 时，求函数f(x)的最大值和最小值，并求出取得最值时x的值. (18)(本小题14分) 某公司为了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用 户，从B地区随机抽取100名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照 [20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，统计如下： A地区 B地区 20,40) 40 30 40,60) 120 20 6080 160 40 80,100 80 10 合计 400 100 用频率估计概率， (I)对A地区所抽取的400名用户按评分区间[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]进 行分层随机抽样，从中抽取10名用户参加座谈活动。求参加座谈的用户中，对公 司产品的评分不低于60分的人数； (Ⅱ)从A,B两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数， 求X的的分布列和数学期望； (I)记A地区所抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为4，B地区所抽取 的100名用户对该公司产品的评分的平均值为42，两个地区所抽取的500名用户 对该公司产品的评分的平均值为6，试比较h,和4+凸的大小（结论不要求证 明) (19)(本小题15分) 已知椭圆：2 +6=1(a>b>0)过点4A2,0),且a=2b. (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设O为原点，过点(-1,0)的直线1与椭圆E交于不同的两点P,,直线AP和 A2分别与y轴交于M,N两点，求证：|OMON1为定值， (20)(本小题15分) 已知函数f(x)=e-ax-1. (I)若f(x)在x=0处取得极小值，求a的值； (Ⅱ)讨论函数f(x)在R上的单调性， (Ⅲ)设曲线y=f(x)在点A(t,f()(t≠0)处的切线为1，直线l交y轴于点B,求证： 点B在x轴下方： (21)(本小题15分) 给定正整数n(n≥3)，记集合Sn={(,x2,xn)川x,=0或1(i=1,2,,n)且 x2+x,2++x2≠0}·对于由Sn中的三个元素组成的子集 {(a,a2,,an),(6,b2,,bn),(C,C2,,Cn)},若满足对任意i∈{1,2，，，a+b+c,均 为偶数，则称该三元子集具有性质T, (T)在S,的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (Ⅱ)证明：在S,的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元 子集； (Ⅲ)在S2026的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子 集？说明理由 2026-2027学年度第一学期高三开学统一练习 高三数学 参考答案 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分. 题号1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B A C B D D A B D 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分. 11.(-1,0)U(1,+o)12. 石（答案不唯一，日=刀+k红，keZ) 6 .22 14.(-m,0)U(1,+∞)：(-1,0) 15.①②③④ 三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程 16.(本小题13分) (I)(CRA)∩B=[-3,4) Ⅱ)a∈(-o,2] 17.(本小题13分) (1)由7=2见=元得0=2， 0 由f0)2,解得m-号9-君+2a或+2keZ), 6 因为4<子 所以φ= 6 所以f(x)=2sin 由+2m≤2x+≤3π+2m, 62 解得亚+≤x 2元 +阢， 6 3 所以f(x)单调递减区间为 I) 当xe引叶.2x+g 高三数学答案 第1页（共7页) 所以(y)的最大值为3，此时x=石f()的最小值为0，此时x=习 6 18.(本小题14分) (I)设从A地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中，对公司 产品的评分不低于60分的用户有m名，则”=240 ,所以=6. 10400 (Ⅱ)从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的的概率分 别为0.2和0.1， 低于80分的概率分别为0.8和0.9. 至少有1名用户评分不低于80分概率为1-0.8×0.9=0.28. 随机变量X的取值为0,1,2 P(X=0)=0.72,P(X=1)=0.26;P(X=2)=0.02 所以E(X)=0×0.72+1×0.26+2×0.02=0.3, ()4>4+凸 2 19.(本小题15分) (1)+y=1 4 (Ⅱ)当直线1斜率不存在时，直线1的方程为x=-1 不动时1马联乌，所以设AP的防态为 直线40的方程为y=5x-2):即N0,5所以1OM-ON1{ 当直线1斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x+1), 高三数学答案第2页（共7页) [y=k(x+1) 由艾+y= ，得(42+1)x2+8k2x+4k2-4=0.依题意，△>0. .4 8? 及，W0,)则写名- 4k2-4 4k2+1 4k2+1 又直线AP的方程为y=片。(x-2),令x=0,得点M的纵坐标为 x-2 yu= -2y x1-2 即月0 x-2 uoo器- 4为 4k2(x+1)(x+1) 8k? 4K2[xx2+(x+x)+1] 4'42-4 4n4k2+14k2+1 +1) x3-2(x+x)+4 4k2-4+16k ,+4 4k2+14k2+1 4k2(4k2-4-8k2+4k2+1) -12k2 4k2-4+16k2+16k2+4 36k2 1综上，IOMI-JON为定 值，定值为 3 20.(本小题15分) (I)f(x)定义域为R,f'(x)=e-a, 因为f(x)在x=0处取得极小值，所以f'(0)=0,f'(0)=e°-a=0, 解得a=1: 高三数学答案第3页（共7页） 当a=1时，f(x)=e-x-1,f(x)=e-1: 令f'(x)=0,解得x=0, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下： x （-0,0) 0 (0,+0) f'(x) 0 + f() 单调递减 极小值 单调递增 综上：a=1; (I)f(x)=e-ax-l,定义域为R,f'(x)=e-a, ①当a≤0时，f'(x)=e-a>0,f(x)在R上单调递增： ②当a>0时，令f'(x)=0,x=lna 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下： x (-00,1na) Ina (1na+o） f'(x) 0 + (x) 单调递减 极小值 单调递增 综上： 当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在(-o,na)上单调递减，f(x)在(na+o）上单调 递增： (Ⅲ)直线1：y-f()=f'(t)(x-),t≠0， 高三数学答案第4页（共7页） Ax=0,y=f(t)-tf"(t)=e'-at-1-1(e'-a)=e'-te'-1, 得到B(0,e-te-1), 设g(0=e-te-l,定义域为R,g'()=e-(e+te)=-te, 当t变化时，g'(),g(t)的变化情况如下： (-0,0) (0,+0） f(x) f(x) 单调递增 单调递减 所以g(t)<g(O)=0,点B在x轴下方. 21.(本小题15分) （I)故答案不唯一，如{1,0,0)，(0,1,0)，(1,1,0)} (Ⅱ)由题意，S,中共有25-1=31个元素，故最多能选出 31 10个 3 两两交集为空集的三元子集。 将S,中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推)，知其和等于24=16： 同理，所有第二个分量、第三个分量、…的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了 S中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数. 故S、中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为(0,0,0,0,0)： 高三数学答案第5页（共7页) 这与(0,0,0,0,0)ES矛盾. 所以在S,的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的 三元子集， (I) 2026-1,理由： 3 记(=2,1，其中为偶数。不纺假设=2时S,有意义。 3 当n=2时，S的三元子集只有一个{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，且具有性质T, 所以在S,中最多能选出t,=1个两两交集为空集，且具有性质T的三元子 集。 记S中具有性质T的三元子集为{(4，a),(b,b),(c,c} 当n=4时，S中有24-1个元素，故最多有2-1-5个两两交集为空集 3 的三元子集. 因为S4的子集 {(0,1a4,a),(1,0,b,b),(11,G,c},{(10,4,a),(11,b,b),(0,1G,c} {1,1,a,a),(0,16,b),(1,0,c,c},{0,0,a,a),(0,0,b,b),(0,0,G,c} 和 {1,0,0,0),(0,1,0,0),(11,0,0)}为两两交集为空集，且具有性质T的三元 子集（共5个)， 高三数学答案第6页（共7页） 所以在S,的子集中，最多能选出：=1三5个两两交集为空集，且具 3 有性质T的三元子集. 设{(4，d,4,d4),(e,e2,e3,e4),(f,f,5,f4}为S4中上述具有性质T 的三元子集中的任意一个， 同理，得S。中有25-1个元素，即最多能有2°-1个两两交集为空集的三 3 元子集， 且对于S。,可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质T的三元子 集， 即{(0,1，d,d,d3,d4),(1,0,e,e,e3,e4),(1,lf,f5,f,f4)} {(1,0,d,d,d3,d4),(1,1,e,e,e3,e4),(0,1f,f5,5,f4}, {1,1,d4,d,d,d4),(0,1e,e,e3,e4)）,(1,0,f,f,,f4}, {(0,0,d,d,d,d4),(0,0,g,e2,e3,e4),(0,0,f,fi,5,f4} 又因为{1,0,0,0,0,0)，(01,0,0,0,0)，1,1,0,0,0,0)}为S6中具有性质T 的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在S,的子集中，最多能选出4化，+1=25,1=5，个两两交集为空集。 3 且具有性质T的三元子集。 以此类推，得在S6的子集中，最多能选出414+1=兰 3 两两交集为空集，且具有性质T的三元子集， 高三数学答案 第7页（共7页)