29.2.2圆心角（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆心角的定义、定理及推论，通过钟面指针旋转实例导入，结合圆的对称性和垂径定理回顾，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生理解弧、弦、圆心角的关系。 其亮点在于采用“操作—猜想—验证—证明”探究模式，通过旋转圆形纸片培养几何直观，严谨证明圆心角定理发展推理能力，典例与真题结合强化应用。课堂小结梳理易错点，助力学生形成逻辑推理和空间观念，教师可高效开展教学。

29.2 圆的有关性质 29.2.2 圆 心 角 第二十九章 圆 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解圆心角的定义：能准确识别并指出图形中的圆心角，区分圆心角与圆周角（预留伏笔）. 掌握圆心角定理：能准确叙述并证明圆心角定理及其推论，理解“在同圆或等圆中”这一前提条件的必要性. 灵活运用“弧、弦、圆心角”关系：能运用三者之间的对应关系解决简单的证明和计算问题. 4 发展核心素养：经历“操作—猜想—验证—证明”的探究过程，体会旋转对称性、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 知识回顾 圆的对称性 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. M M' A B N O 轴对称 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论 ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. 已知二个条件推出其他三个结论 一条直线具备“①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧”中两个条件，就能推出其他三个结论成立。 五个点 圆心 垂足 弦中点 优弧中点 劣弧中点 知识回顾 垂径定理推论 M' O M A B N 辅助线 ①连半径， ②过圆心作弦的垂线， ③连结圆心和弦（弧）的中点 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程 五现象 有中点连结，无中点作垂直 导入新课 观察钟面上时针与分针运动 分针从“12”旋转到“4” 时针从“3”旋转到“12”. ►分针和时针在旋转过程中，旋转角各是多少度？ ►指针开始位置与终止位置形成的角有什么特点？ 角的顶点在圆心 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 定义 导入新课 B A O · 如图，在⊙O中，连接半径OA、OB，形成∠AOB. 连结AB，弦AB 可以视为圆心角∠AOB所对的弦 图中可以视为圆心角∠AOB所对的弧 （1）如果⊙O绕圆心O旋转任意角度，它是否与自身重合？ 思考 （2）如果⊙O绕圆心O旋转，使半径OA旋转至OB所在位置，即∠AOB旋转到新的位置，为那么圆心角∠AOB 所对的，所对的弦AB有什么变化？ 要解决这些问题，需要研究圆心角所具有的性质. B A A' B' ● O · 新知探究 探究点1 圆的旋转不变性 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 圆是中心对称图形， 圆心就是它的对称中心 把圆绕圆心旋转任意一个角度， 所得的图形都与原图形重合。 90° 180° 探 究 O 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 · 新知探究 探究点1 圆的旋转不变性 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 探 究 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条 新知探究 探究点1 圆的旋转不变性 议一议 （2）根据圆是旋转对称性，猜想在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？ A B O 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （1）一个圆心角所对的弧有几个？对几条弦？ 一个圆心角所对的弧有1个，对1条弦 思考 O A′ B′ A B 新知探究 探究点2 探究圆心角定理 如图.在⊙O中，当圆心角∠AOB = ∠A′OB′时，它们所对的弧 和 有什么关系？弦AB和A'B'呢？为什么？ 把∠AOB连同绕圆心O旋转， 使射线OA与OA'重合. ∵∠AOB=∠A'OB'， ∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA'，OB=OB'， ∴点A与A'重合，点B与B'重合. 因此，AB与A′B′重合， 与 重合， 即AB=A'B'， = . 探 究 问题解答 注意：证明“弧相等”时，“完全重合”是唯一标准， 新知探究 探究点2 探究圆心角定理 归一归 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 弧、弦与圆心角的关系定理 文字语言 几何语言 ∵在⊙O中，∠AOB =∠A′OB′ ， ∴则AB =A'B’ ， = . · O · O ′ A′ B′ · O A B 在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，通过叠合，等量关系依然成立 （1）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，它们所对应的其余各组量由什么关系？ 新知探究 探究点3 定理的推论 讨论 根据圆的旋转不变性，可以得到： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角 ，那么它们所对的弧_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________． 相等 相等 相等 相等 相等 相等 相等 新知探究 探究点3 定理的推论 讨论 （2）弧、弦与圆心角的关系定理 ►在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. ►在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. ►在同圆或等圆中，如果两圆心角相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． (1) 圆心角 (2) 弧 (3) 弦 知一得二 同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 等对等 圆心角及其所对的弧、弦之间的关系 圆心角相等 弧相等 弦相等 归一归 新知探究 探究点3 定理的推论 新知探究 探究点3 定理的推论 证明：在⊙O中， = ， ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，可得AB=BC=AC. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. （3）如图，在 ⊙O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC． 要证明圆心角∠AOB=∠BOC=∠AOC， 需要证明其所对的弦相等 讨论 问题分析 典例分析 例1.如图，点在上，且，判断与的数量关系． 理论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等． 解：．理由如下： ∵， ∴， 即， ∴． 问题分析 关键找等量： 由，可得， 即，因此与相等． 1. 如图，AB、CD 是 ⊙O 的两条弦. （1）如果 AB = CD，那么__________，_____________ . （2）如果 = ，那么_________ ，_____________. （3）如果∠AOB = ∠COD，那么_________，__________ . （4）如果 AB = CD，OE ⊥ AB，OF ⊥ CD， OE 与 OF 相等吗？为什么？ 新知巩固 ∠AOB=∠COD AB = CD ∠AOB=∠COD AB = CD （4）解： OE 与 OF相等，理由如下： ∵ OE ⊥ AB，OF ⊥ CD， AB = CD ∴AE==BE=CF=FD ∵OA=OC ∴Rt△AOE ≌Rt△ COF（HL） ∴ OE = OF = = 课本p127页 新知巩固 2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径， = = ，∠COD = 35°， 求 ∠AOE 的度数。 解：∵ = = ， ∴∠BOC = ∠COD = ∠DOE. 又 ∠COD = 35°， ∴∠BOE = ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 105°， 则∴∠AOE = 180°-∠BOE = 75° 课本p127页 拓展提升 1．①如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于点E．若，，则的度数为________． ②如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：． 解:①如图，连接， ∵， ∴，又， ∴，∴， ∵，∴ ∴； 拓展提升 1．①如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于点E．若，，求的度数为________． ②如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：． ②证明：作于H，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， 即． H ∟ 真题感知 1．（2026·潍坊统考期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 解：连接，如图所示：   则 ∵， ∴ ∴ 故劣弧的度数是. D 真题感知 2．（2026.舒城二中单元测试）已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上 求证：． 解:证明：连接，，．    ， ． 真题感知 3．（2025·揭阳校考期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 证：∵ ∴ ∴ ∴ 课堂小结 一个定义： 顶点在圆心的角叫做圆心角. 一个定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 一个推论： 在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，其余各组量也分别相等（“知一推二”）. 知识与技能 课堂小结 旋转思想：利用圆的旋转对称性探究定理. 转化思想：将圆中的弧、弦问题转化为圆心角问题，将角的问题转化为三角形问题. 类比思想：类比垂径定理的学习路径（定义→性质→应用），形成研究圆的性质的一般思路. 思想与方法 课堂小结 ＊“在同圆或等圆中”不可少： 离开这一前提，相等的圆心角所对的弦不一定相等 （举例：两个半径不同的圆中，相同度数的圆心角所对的弦长度不同）. ＊弦对应的弧有两个： 一条弦所对的弧有优弧和劣弧两个，在说“弦相等→弧相等”时，通常指它们所对的劣弧相等（或优弧相等）. ＊“弧相等”与“弧的长度相等”的区别： 弧相等是指能够完全重合，包含弧的度数相等且长度相等两层含义. 易错点提醒 课后练习 3.如图，OA，OB，OC是的三条半径， = AC=BC，M，N分别是OA，OB的中点.求证MC=NC. 课本p127页 证明 课后练习 2.如图， 中， = ，∠C=75°.求∠A的度数. 解: ∵ = , ∴ AB=AC, ∴∠ B= ∠ C. 又∵ ∠ C=75°, ∴ ∠ B=75°, ∴ ∠ A=180°－ ∠ B－∠ C=30°. O B C A 习题 29.2 课本p132页 课后练习 9. 如图，A，B是上的两点，∠AOB = 120°，C是 的中点. 求证：四边形OACB是菱形. O B C A 习题 29.2 课本p132页 证明：连结OC ∵ C 是 的中点，∴ = ∴ ∠AOC = ∠COB = ∠AOB= ×120°= 60° ∵ OA = OC ∴ △AOC 是等边三角形 （有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）， ∴ OA = AC = OC 同理 OB = BC = OC ∴OA = AC = CB = BO ∴四边形OACB是菱形. 谢谢聆听 $