学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（山东济南专用，范围：新教材北师大版九上第一～二章）

**基本信息** 以AI数据扩容、中国结文化为情境，梯度设计特殊平行四边形与一元二次方程综合题，适配九年级月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|矩形菱形性质、方程根的判别式|9题AI数据增长率（科技情境，模型意识）| |填空题|5/20|菱形面积、方程根与系数关系|12题中国结菱形面积（文化传承，几何直观）| |解答题|10/90|方程解法、四边形证明与探究|23题文创利润计算（实际应用，运算能力）；25题正方形动点探究（创新应用，推理能力）|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．（本题4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．（本题4分）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（本题4分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 8．（本题4分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，点E是正方形边上一点，延长到点F，使得，连接、、，过点A作的垂线交于点H，交于点G，若，．以下四个结论：①；②垂直平分；③；④，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（本题4分）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 12．（本题4分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 13．（本题4分）已知，是方程的两个根，则__________． 14．（本题4分）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 15．（本题4分）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题7分）解方程 (1)；（公式法） (2)．（配方法） 17．（本题7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 18．（本题7分）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（本题8分）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 20．（本题8分）如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 21．（本题9分）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 22．（本题10分）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 23．（本题10分）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 24．（本题12分）如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 25．（本题12分）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．（本题4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：A、对角线互相垂直是菱形具有、矩形不一定具有的性质，不符合题意； B、矩形和菱形均为四边形，外角和都为，不符合题意； C、 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； D、矩形和菱形对角线都互相平分，不符合题意． 2．（本题4分）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 3．（本题4分）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4．（本题4分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点， ∴, ∵是的中点， ∴． 5．（本题4分）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 6．（本题4分）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 7．（本题4分）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 8．（本题4分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 同理， 在中，，， ∴， 同理， ∴，， 在中，． 9．（本题4分）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 10．（本题4分）如图，点E是正方形边上一点，延长到点F，使得，连接、、，过点A作的垂线交于点H，交于点G，若，．以下四个结论：①；②垂直平分；③；④，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点F在的延长线上， ∴， ∴， 对于结论①， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； 对于结论② 由结论①正确得：， ∴是等腰三角形， 又∵于点H， ∴， ∴垂直平分， 故结论②正确； 对于结论③， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 故结论③正确； 对于结论④， 连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 由结论②正确得：垂直平分， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故结论④不正确， 综上所述：结论正确的是①②③，共3个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（本题4分）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 12．（本题4分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 13．（本题4分）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 14．（本题4分）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 【答案】 【详解】解：由于翻折，得 ，， 在中， 设长为，则 在中， 即 解得 即 15．（本题4分）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：过点B作，作点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，交于点． ∵点E和点关于直线对称， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， 同理，四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题7分）解方程 (1)；（公式法） (2)．（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1）解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： ， ， ， ， ∴，． 17．（本题7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)； 【详解】（1）略； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 18．（本题7分）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是的中点， ， 为等腰三角形， ， 是中线， 是中点， 是的中点， 是的中位线， ． (2)5 【详解】（1）略 （2）解：，，， 在中，， 由（1）可得． 19．（本题8分）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 20．（本题8分）如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ． 又，分别平分，， ． ， 同理， ． ∴四边形是矩形． (2)①或③（填一个即可） 【详解】（1）略 （2）解：选择① ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形； 选择③对角线相等 ∵四边形是平行四边形，且对角线相等， ∴四边形是矩形，同上可得四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形． 故答案为：①或③． 21．（本题9分）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【答案】(1) (2)是定值，推理过程如下： ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）略 22．（本题10分）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， ∴， ∴的长为． 23．（本题10分）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 24．（本题12分）如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)的取值范围是或． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 综上，； （2）解：当的面积为时，得： 或， 解得：或； （3）解：当时， 若，则， 解得：， 若，则，不满足条件， 若，则， 解得：， ∴的取值范围是或． 25．（本题12分）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 【答案】(1)问题1：， 证明：如图1，在上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是正方形外角的平分线， ， ， 在和中， ， ， ； 问题2：成立， 证明：如图2，在延长线上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ； (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接、， 正方形，边长为， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ，即的最小值为 周长， 周长的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7.[A][B][c][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(7分) (1)(3x-1)(x+1)=1:(公式法) (2)x2-25x+2=0.(配方法) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(7分) D E 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) G B 21.(9分) D E B C B 图1 备用图 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.（12分) 25.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D C B B B c 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11.3 -5 -4 12.96 13.-5 14.56 15.V17 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(7分) 【详解】(1)解： (3x-1)(x+1)=1 整理得，3x2+2x-2=0, a=3,b=2,c=-2, b2-4ac=22-4×3×(-2)=28>0 22s145 2×3 3， :专+6 3, 3 (2)解：r-2V5x+2=0 x2-2W5x=-2 x2-2W5x+5=-2+5 119 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (x-5=3 x-√5=±5 :=5+5.=5-5 17.(7分)【详解】(1) 证明：r+(m-4)x-2m=0 :.△=(m-4-4x1x(-2m）=m2-8m+16+8m=m2+16>0 ∴，不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(3分) (2)解：把x=3代入方程，得 9+3(m-4)-2m=0 解得m=3, ,方程化为x2-x-6=0, :6x-30x+2)=0 x=3,2=-2 故方程的另一个根为-2.(7分) 18.(7分)(1)证明：∠ACB=90°，D是AB的中点， .4D-DB-CD-4B, ∴△DCB为等腰三角形， DE⊥BC, .DE是△DCB中线， E是BC中点， D是AB的中点， .DE是△ACB的中位线， DE-)4C.(4分) (2)解：AC=8,BC=6,∠ACB=90°， 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷在R△ABC中，AB=VAC+BC=V⑧+6=10 由a可得cD-4B-x10=5.7分) 2 2 19.(8分)=5.6=5 【详解】解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0, :（a-3)a+2)=0,解得a=3或a=-2,（4分) a≥0， .a=-2舍去， .a=3, x2=3, :=5.书=-5 (8分) 20.(8分)(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD :∠BAD+∠ADC=180°.(2分) 又AF,DF分别平分∠BAD,∠ADC, ∠DMF+∠ADF=)∠BAD+ADC=(∠BAD+∠ADC)=90, 2 ∠F=90°，(4分) 同理∠H=∠AEB=90°」 .∴∠FEH=∠AEB=90° ∴四边形EFGH是矩形.(6分) (2)①或③（填一个即可）(8分) 21.(9分) 【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，BC=CD .EC=BC=ED .EC=ED=CD 319 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴△ECD是等边三角形 ∴.∠ECD=∠EDC=60° .∠ADE=∠ADC-∠EDC=30°，∠BCE=∠BCD-∠ECD=30° .EC=BC CBE-ZCEB-(80-ZBCE)-75 .∠ABE=∠ABC-∠CBE=15° .∠ABE+∠ADE=15°+30°=45°：(4分) (2)a+B是定值45°，推理过程如下： ,四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，BC=CD .,∠CBE=∠ABC-∠ABE=90°- EC=BC ,∠CEB=∠CBE=90°-a ∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a .∠ECD=∠BCD-∠BCE=90°-2a BC=CD,EC=BC ..EC=DC ∠CDE=∠CED=180°-∠ECD)=2180°-90+2u)=45+a :∠ADE=∠ADC-∠EDC=90°-(450+a)=45°-a ∠ADE=B .45°-a=阝 a+B=45°.(9分) 22.(10分)(1)证明：·四边形ABCD为平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, .∠ADB=∠DBC, 419 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC, ∴.∠ADB=∠ABD, .'AB=AD, 四边形ABCD是菱形.(4分) (2)解：由(1)得，四边形ABCD是菱形， .'AB=BC, .AB=AC, .AB=AC=BC. ∴△ABC为等边三角形，(6分) ,菱形ABCD的周长为16， .AB=AC=BC=4. :AE⊥BC, .BE=EC=2,(8分) 在Rt△ABE中，根据勾股定理BE2+AE2=AB2, AE=VAB2-BE2=14-2=23 2V3 :4E的长为 .(10分) 23.(10分)【详解】(1)解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为 (50-30-x)_ 刊元，每天能告出（0+80件. 根据题意得： (50-30-x)(40+8x)=1200 整理得x2-15x+50=0, 解得5，考10 又：要尽可能让利于顾客， .x=10 答：每件文创产品的售价应降低10元：(5分) (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 5/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为 (50-30-y) 元，每天能售出 40+8y）件， (50-30-y)(40+8y)=1400 根据题意得： y2-15y+75=0 整理得 :△=(-15)}-4×1×75=-75<0 ·原方程没有实数根， .假设不成立，即每天利润不能够达到1400元.(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：由题意可得，6÷2=3,12÷2=6， 当0s1s3时，S=)oCcp={ ×4x21=4 当3<1s9时，5=0CcD=46=12, 当9<t≤12时， BP=6+12+6-2t=(24-2t)cm 5=20c-Br=x4x24-20=48-4, 4t(0≤t≤3) =12(3<t≤9) 综上， 48-4(9<1≤12) (5分) s (2)解：当△OPC的面积为8cm时，得： 4t=8或48-4t=8, 解得：t=2或t=10;(8分) (3)解：当8≤S≤10时， 若0≤t≤3，则8≤4t≤10， 解得：2≤t≤2.5， 若3<t≤9，则S=12,不满足条件， 若9<t≤12，则8≤48-4t≤10， 6/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：9.5≤t≤10 .t的取值范围是2≤1≤2.5或9.5≤1≤10.(12分) 25.(12分)(1)问题1：AE=EF, 证明：如图1，在AB上取点G,使得BG=BE,连接EG, D G 正方形 B E 图1 ABCD ∴.∠B=∠BCD=90°，AB=BC, .∠BAE+∠AEB=90°， ∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEC=90°， .∠BAE=∠FEC, .BG=BE. ∠BGE=∠BEG=45°，AG=CE .∠AGB=135°， :CF是正方形外角的平分线， ∠DCF=45°=∠BGE .∠ECF=135°=∠AGB. 在△AGE和△ECF中， 「∠EAG=∠FEC AG=EC ∠AGE=∠ECF' ∴.AAGE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF;(4分) 问题2：成立， 证明：如图2，在AB延长线上取点H,使得BH=BE,连接EH, 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H D 正方形 CE K 图2 ABCD ∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC, .∠BAE+∠AEB=90°， ∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEK=90°， .∠BAE=∠FEK, .∠HAE=∠CEF, :BH BE, .∠BHE=∠BEH=45°，AH=CE, :CF是正方形外角的平分线， ∠FCE=45°， 在△AHE和△ECF中， ∠HAE=∠CEF AH=EC ∠AHE=∠ECF' ∴.△AHE≌△ECF(ASA) AE=EF;(8分) (2)解：如图，在BC的延长线上取点M,使得CM=CD,连接FM、AF, A D F 正方形 ,边长为， E C ABCD ∠B=90°，AB=BC=CD=3, :CF是正方形外角的平分线， 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴∠DCF=∠MCF, 在△DCF和△MCF中， CD=CM ∠DCF=∠MCF CF=CF ∴.△DCF≌△MCF(SAS) ∴.DF=MF, .AF+DF=AF+FM≥AM, .当A、F、M三点共线时，AF+DF有最小值为AM的长， 在Rt△ABM中，AB=3,BM=BC+CM=6, AM=VAB+BM=35,即AF+DF的最小值为35 :△ADF周长=AF+DF+AD=AF+DF+3, :△ADF周长的最小值为 3V5+ 3.(12分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．（本题4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．（本题4分）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（本题4分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 8．（本题4分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，点E是正方形边上一点，延长到点F，使得，连接、、，过点A作的垂线交于点H，交于点G，若，．以下四个结论：①；②垂直平分；③；④，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（本题4分）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 12．（本题4分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 13．（本题4分）已知，是方程的两个根，则__________． 14．（本题4分）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 15．（本题4分）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题7分）解方程 (1)；（公式法） (2)．（配方法） 17．（本题7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 18．（本题7分）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（本题8分）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 20．（本题8分）如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 21．（本题9分）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 22．（本题10分）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 23．（本题10分）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 24．（本题12分）如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 25．（本题12分）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 3、 解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分） (1)；（公式法） (2)．（配方法） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） 22． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） 25． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $