25.2 降次 —— 解一元二次方程 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 25.2解一元二次方程课后同步练习，人教版九年级数学上册新授课同步练。以三阶分层设计构建知识巩固路径，基础题夯实概念运算，综合题发展模型意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接开平方法、配方法等单一解法|单选题1-5题聚焦概念辨析，培养抽象能力| |中档|根的判别式、换元法综合应用|填空题11-13题强化运算能力，解答题16题整合解法| |综合|几何应用、新定义运算探究|解答题20题结合实际情境，发展模型意识与创新意识|

25.2 降次 —— 解一元二次方程 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一、单选题 1．有下列方程：①；②；③；④． 其中能用直接开平方法求解的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 2．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关 4．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 5．利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．三角形两边长是4和7，第三边是方程的根，该三角形的周长是（    ） A．16 B．17 C．22 D．16或22 7．已知方程，用换元法解此方程时，可设，则原方程化为（       ） A． B． C． D． 8．关于x的多项式，其中n，，，…，为正整数，且，，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则多项式M可以为二次三项式；②若，满足条件的多项式M共有5个；③若方程，只有两个不同的实数解，则当k取最小值时，代数式的最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 二、填空题 11．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 12．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是______． 13．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 14．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如 ．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 15．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 三、解答题 16．选择适当方法解下列方程： (1)； (2) (3)． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 18．解一元二次方程时，以下是两位同学的解法： 甲同学： ， ， 或， ∴或． 乙同学： ，，， ， ， ∴此方程无实数根． (1)他们的解法正确吗？请直接写出判断结果． 甲同学的解法______  乙同学的解法______（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 19．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 20．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下．∵，由，得；∴代数式的最小值是4． (1)①仿照上述方法求代数式的最小值为 ． ②代数式的最大值为 ． (2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为．当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D D A C D A B 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】利用一元二次方程的几种解法判断即可得到结果． 【详解】解：①，直接开平方法； ②，配方法 ； ③ ，因式分解法； ④ ，直接开平方法； 则能用直接开平方法做的是①④； 故选:C. 【点睛】考查直接开平方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 2．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 3．【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答. 【详解】解：∵方程化为一般式为， 则， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键． 4．【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 5．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴ 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形的三边长．先利用因式分解法求出方程的解，即可得出三角形三边长，再看看是否符合三角形三边关系定理即可． 【详解】解：， ， 或， 则，， ①当三角形的三边是4，7，11，此时，不符合三角形三边关系定理， ②当三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是， 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】设，则=y2，原方程可化为y2=2-y，整理即可解答. 【详解】设，则=y2， ∴y2=2-y， 即. 故选C. 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设． 8．【答案】D 【知识点】配方法的应用、多项式的项、项数或次数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了多项式的项和系数、一元二次方程根的判别式、配方法的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．因为，根据题意多项式M可以为，是二次三项式，可判断①；因为，根据题意满足条件的多项式M共有5个，可判断②；由方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值，可知多项式M为二次三项式，且，，当当k取最小值时，根据题意可知，再根据和，逐步列举出符合题意的和的值，推出多项式M为，再利用配方法求出代数式的最小值，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：①若， ， 多项式M可以为，是二次三项式，故①正确； ②若， ， 满足条件的多项式M为，，，，， 满足条件的多项式M共有5个，故②正确； ③方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值， 多项式M为二次三项式，且，， 取最小值， ， 当时，，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，，解得， 又，且是正整数， ，此时多项式M为， ， 当时，有最小值，此时有最小值， 代数式的最小值为，故③正确； 综上所述，正确的个数是3． 故选：D． 9．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 10．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 14．【答案】0或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 15．【答案】1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程、由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 即x的值为1． 16．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 或， ∴； （2）解： 或， ； （3）解： ∴， ． 17．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， ∴． 18．【答案】(1)不正确，不正确； (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、公式法）及方程一般式的转化，解题的关键是掌握“因式分解法需将方程化为右边为0的形式，否则不能直接拆分因式”和“用公式法前必须先将方程化为（）的一般式，准确确定、、的值，避免符号错误”． （1）判断解法正确性：甲同学误用因式分解法，方程右边未化为0就拆分因式，违背“因式分解法需右边为0”的前提，导致错误；乙同学未将方程化为一般式（应为），错误将取为3（实际），使判别式计算错误，故两人解法均不正确； （2）解时，先将方程展开并移项化为一般式，再确定、、的值，计算判别式判断有实数根，最后代入求根公式求解． 【详解】（1）解：甲同学的解法不正确，理由是用因式分解法时未将方程化为“右边为0”的形式（应为），直接拆分导致错误；乙同学的解法不正确，理由是未将方程化为一般式，错误确定的值（实际而非3），使判别式计算错误． 故答案为：不正确，不正确； （2）解：， 先将方程化为一般式：， 此方程中，，，， 计算判别式 ∵，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式 得： ∴方程的解为，． 19．【答案】(1) (2)方程是“邻根方程” 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴两根和为，两根积为， ∴ 一元二次方程为； （2）解：解，得，， ， 方程是“邻根方程”． 20．【答案】(1)①；②11 (2)当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为． 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）①仿照题意进行求解即可；②仿照题意进行求解即可； （2）设，则，利用矩形面积公式得到，然后仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴代数式的最小值为， 故答案为：； ②∵，， ∴ ∴， ∴代数式的最大值为11， 故答案为：11； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，S最大，最大值为450， ∴当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $