精品解析：山东青岛五十八中高新学校2027届高三上学期期初调研数学试题

2027届青岛五十八中高新校区高三期初调研 数学试题 2026.08 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中元素范围，然后再求即可. 【详解】由已知或， ， . 故选：B. 3. 在下列双曲线中，离心率最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式即可求解． 【详解】对于A，离心率为； 对于B，离心率为； 对于C，离心率为； 对于D，离心率为； 因为， 所以离心率最大的是A． 4. 某产品的质量指标服从正态分布，，质量指标介于171至181之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要提高生产工艺，使得不超过（ ）（备注：若，则） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知正态分布对称轴为， 质量指标介于171至181之间的产品为良品，则，解得， 所以不超过. 5. “”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为， 可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 6. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 8. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解. 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据：x1，x2，…，x10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C，由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D，根据极差及等差数列的通项公式可判断A． 【详解】对于C，原数据的平均数为 ， 去掉，后的平均数为，则C正确； 对于B，原数据的中位数为， 去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，则B正确； 对于A，原数据的极差为， 去掉，后的极差为，即极差变小，则A错误； 对于D，设公差为d，则原数据的方差为 ， 去掉，后的方差为 ， 即方差变小．标准差也变小，则D错误. 故选：BC 10. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的取值范围是 D. 当倾斜角为时，的周长为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，，可求其离心率判断A，并可得椭圆；根据椭圆定义和基本不等式判断B；设，利用向量数量积的坐标运算得，再根据椭圆上点的范围可判断C；当倾斜角为时，直线垂直平分，结合椭圆定义求的周长，判断D. 【详解】对于A，根据题意，，所以椭圆的离心率， 又，， 所以椭圆，故A正确； 根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B错误； 设，又， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，C正确； 当倾斜角为时，直线垂直平分， 所以的周长为： ， 故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 在上有最小值和最大值 B. 当，时，有最大值 C. 当时，有2个解 D. 当时，与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断； ②求出在上的单调性，即可判断； ③求出在的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断； ④求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】设，则，， 令，则，则在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取最小值为， 对于， 因，则函数为偶函数， 对于A，当在内有零点时，即，使得， 易知在，上单调递减，在，上单调递增， 且，，， ，即， 在和处取最小值，在处取最大值. 当在内无零点时，恒有，则， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最小值，在处取得最大值，故A正确； 对于B：当时，，， 由A可得，在上单调递增， ，， ，使得， 在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 因，即在处取最大值，故B正确； 对于C：时，中，， 即，使得， 因为偶函数，则在上单调递减，在上单调递增， 在和处取极小值，， 在上单调递减，， ，使得， 在上单调递增，， ，使得， 当时，， ，有3个解，故C错误； 对于D，由C可得，在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 因，则，即直线在点的下方，且在轴上方， 由图知，此时直线与的图象有4个交点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为______________． 【答案】0 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含项有，即展开式中的系数为. 13. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 【答案】， 【解析】 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得； （2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以， 又，所以，所以的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 因此. 【点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想. 16. 已知函数. （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， 【小问2详解】 函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 17. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为． （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数． 【答案】（1）； （2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有， 设第个面的棱数为，所以， 所以总曲率为： ， 所以这类多面体的总曲率是常数. 【解析】 【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，设第个面的棱数为，所以，按照公式计算总曲率即可. 【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和. 可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：. （2）略. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键． 18. 已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）分析可知不与轴平行，设直线的方程为，根据直线与抛物线相切以及点在直线上，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可求出点、，由此可求出的外接圆圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程； （3）解法一：设，，可得出，，结合已知条件得出，设，则，，设点，利用平面向量的坐标运算可化简得出点的轨迹方程； 解法二：记，，，可得出，根据三角形的面积关系得出，可得出的值，进而得出点为的重心，再结合平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； 解法三：设、、、，设，则，根据平面向量的坐标运算得出点的坐标，设，同理可得出点的坐标，求出、的方程，结合，联立两直线方程可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为在上，所以，所以的方程为. 【小问2详解】 若与轴平行，则直线与轴无交点，不合题意； 若不与轴平行，则与相切于， 设直线的方程为，由，得， 所以，解得， 所以直线的方程为， 因为、、，，故为中点， 所以，线段中垂线的方程为，线段中垂线的方程为， 联立，解得，因此的外接圆圆心坐标为， 的外接圆半径等于， 所以，外接圆方程为. 【小问3详解】 解法一：设，， ，故， 所以，同理， 因为，所以，所以， 设，因为， 所以， 因为、、三点共线，所以，所以，则， 设，则，，设点， 因为，， 所以，所以， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法二：因为为中点，记，，， 则， 因为为中线，则且，故， 所以，所以是的重心， 设，则，，设点， 所以，解得， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法三：设、、、， 设，则，所以， 所以，， 设，同理可得：，， 直线的方程为， 又因为，化简得：①， 直线的方程为②， 由①②解得，消去得：， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为. 19. 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批产品的综合质量指数为． （1）求； （2）设，记，证明：； （3）设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，． 【答案】（1） （2）因为，所以． 所以 ． 所以． 求导得．因为，所以在上单调递增． 所以． 由于，所以． 所以原不等式成立． （3）由题意可知 因为，所以． 所以． 又，所以． 又， 所以． 所以，所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）应用数学期望公式结合二项分布数学期望公式计算求解； （2）应用导数正负得出函数单调性及最值计算证明； （3）应用新定义结合基本不等式列式计算证明. 【小问1详解】 由题意可知，，则． 所以． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届青岛五十八中高新校区高三期初调研 数学试题 2026.08 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 在下列双曲线中，离心率最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 某产品的质量指标服从正态分布，，质量指标介于171至181之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要提高生产工艺，使得不超过（ ）（备注：若，则） A. B. C. D. 5. “”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 8. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据：x1，x2，…，x10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同 10. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的取值范围是 D. 当倾斜角为时，的周长为8 11. 已知函数，则（ ） A. 在上有最小值和最大值 B. 当，时，有最大值 C. 当时，有2个解 D. 当时，与有4个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为______________． 13. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）求. 16. 已知函数. （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 17. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为． （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数． 18. 已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 19. 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批产品的综合质量指数为． （1）求； （2）设，记，证明：； （3）设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $