1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集等核心概念及Venn图应用。通过类比实数大小关系，回顾元素与集合的属于关系，搭建从元素层面到集合关系的认知桥梁。 此资料以实例探究为核心，通过A={1,2}与B={1,2,3}等具体案例抽象子集概念，结合Venn图发展直观想象，辨析∈与⊆培养逻辑推理，有序写子集提升分类讨论能力。助力学生深化概念理解，为教师提供清晰教学路径，高效突破重难点。

人教A版 1.2 集合间的基本关系 高一 教学设计-2026-2027学年 数学 必修第一册 课型 课题 集合间的基本关系 课型 新授课 教材版本 人教A版 授课年级 高一 册次 必修第一册 章节 第一章 1.2 课时 1课时 教学方法 讲授法与探究法结合 教学准备 多媒体课件、Venn图模板 教学目标 见学习目标确定栏目 教学重点 子集、真子集、空集概念与符号 教学难点 ∈与⊆的区别及空集规定 教学过程 见学习活动设计栏目 板书设计 见板书设计栏目 作业布置 教材课后练习 教学反思 见教学反思与改进栏目 学情分析 学生已掌握集合的概念与表示 知识基础 集合的表示方法 核心素养 数学抽象、逻辑推理 备注 教学内容分析 本节课是人教A版必修第一册第一章1.2节"集合间的基本关系"。学生在上一节已经学习了集合的概念与表示方法，能够用列举法和描述法表示集合，并理解元素与集合的属于关系。本节在此基础上，进一步研究集合与集合之间的关系，内容包括子集、真子集、集合相等、空集等核心概念，以及Venn图的引入与应用。这些概念是学习后续集合运算（交集、并集、补集）的重要基础，也是理解函数定义域、值域等知识的前提。教材通过类比实数的大小关系，引导学生从元素层面出发，自然过渡到集合层面的包含关系，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的研究路径。 学习目标确定 1. 能准确说出子集、真子集、集合相等、空集的定义，用符号⊆、⫋、=、∅正确表示集合间的基本关系，发展数学抽象素养。 2. 能画出Venn图表示集合间的包含关系，体会图形语言对理解抽象概念的作用，提升直观想象能力。 3. 能区分属于关系∈与包含关系⊆的本质不同，理解空集是任何集合子集的规定及其合理性，增强逻辑推理能力。 4. 能按元素个数有序写出有限集合的所有子集和真子集，发展有序思考与分类讨论的数学能力。 学习重点难点 重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的双向包含判定方法，用Venn图表示集合间的包含关系。 难点：属于关系∈与包含关系⊆的本质区别，空集是任何集合子集这一规定的理解，含参集合关系中端点值的取舍判断。 【教学重点】 子集、真子集、空集的概念与符号；集合相等的双向包含判定；Venn图表示集合间关系。 学习活动设计 1. 复习导入（约5分钟） 教师引导学生回顾上一节所学的集合概念与表示方法，重点复习元素与集合的属于关系a∈A。教师指出，实数之间有大小关系（如3<5），类比地，集合之间也存在类似的关系。由此引出本节课的研究主题——集合间的基本关系。学生活动：回顾集合概念，思考集合之间可能存在的关系。设计意图：通过类比实数关系，激发学生探究集合关系的兴趣，为从元素层面过渡到集合层面搭建认知桥梁。 2. 新知探究（约20分钟） 子集概念 教师给出具体实例：设A={1,2}，B={1,2,3}。引导学生观察发现，集合A中每一个元素（1和2）都是集合B的元素。在此基础上，教师给出子集的定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。教师强调定义中"任意一个"的含义，即A中所有元素都属于B，无一例外。学生活动：观察实例，理解子集定义，尝试用符号表示A⊆B。 Venn图 教师介绍Venn图的概念：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师在黑板上画出表示A⊆B的Venn图，在大圆内部画一个小圆，小圆代表集合A，大圆代表集合B。学生跟随教师在学案上画出同样的Venn图。设计意图：通过图形直观帮助学生理解抽象的包含关系，培养数形结合的意识。 集合相等 教师给出实例：设A={x|x是小于4的正整数}，B={1,2,3}。引导学生验证A中的元素1,2,3都是B的元素，即A⊆B；同时B中的元素1,2,3也都是A的元素，即B⊆A。由此引出集合相等的定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A=B。教师强调集合相等需要双向验证，缺一不可。学生活动：验证实例中的双向包含关系，理解集合相等的判定方法。 真子集 教师回到A={1,2}，B={1,2,3}的例子，指出A⊆B成立，但元素3∈B且3∉A，即A不等于B。由此引出真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作"A真包含于B"（或"B真包含A"）。教师引导学生辨析子集与真子集的区别：真子集比子集多了一个条件——A中至少缺少B中的某个元素。学生活动：比较子集与真子集的异同，加深理解。 空集 教师引导学生思考方程x²+1=0在实数范围内的解集。该方程无实数解，其解集中不含任何元素。由此引出空集定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。教师强调规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A对任意集合A成立。设计意图：通过具体实例帮助学生理解空集概念的必要性，并接受空集作为子集的合理规定。学生活动：思考无解方程的解集，理解空集概念。 重要结论 教师引导学生归纳两条重要结论：其一，任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；其二，对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。教师指出这与实数大小关系的自反性和传递性类似，帮助学生建立知识间的联系。学生活动：归纳总结，与实数性质类比。 ∈与⊆的区别 教师强调{a}⊆A与a∈A的区别：前者是集合与集合之间的包含关系，后者是元素与集合之间的属于关系。例如，当A={1,2,3}时，{1}⊆A表示集合{1}是A的子集，而1∈A表示元素1属于A。两者研究对象不同，不可混淆。设计意图：针对学生易混淆点进行专项辨析，降低后续解题错误率。学生活动：辨析两对关系，举例说明区别。 3. 例题与巩固（约15分钟） 例1：写出集合{a,b}的所有子集和真子集。 解：按元素个数从少到多有序写出。0个元素的子集为∅；1个元素的子集为{a}，{b}；2个元素的子集为{a,b}。所以{a,b}的所有子集为∅,{a},{b},{a,b}，共4个。真子集为∅,{a},{b}，共3个（去掉自身{a,b}）。 例2：已知集合A={x|x<3}，B={x|x≤3}，判断A与B的关系。 解：对于A中任意元素x，由x<3可得x≤3，故A⊆B。但3∈B且3∉A，所以A≠B。因此A⫋B。 练习： 1. 写出集合{1,2,3}的所有子集。 解：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8个。 2. 判断下列关系是否正确：①∅⊆{0}；②0∈{0}；③{0}⊆{0}。 解：①正确，空集是任何集合的子集；②正确，0是集合{0}的元素；③正确，任何集合是自身的子集。 4. 课堂小结（约3分钟） 教师引导学生梳理本节核心概念：子集（A⊆B）、真子集（A⫋B）、集合相等（A=B，需A⊆B且B⊇A）、空集（∅）。强调∈与⊆的区别、空集是任何集合子集的规定，以及写子集时按元素个数有序列举的方法。学生活动：自主梳理知识框架，补充完善笔记。 5. 布置作业（约2分钟） 完成教材课后练习第1~3题。 板书设计 1.2 集合间的基本关系 一、子集 A⊆B（或B⊇A） 二、真子集 A⫋B（或B⫌A） 三、集合相等 A=B（A⊆B且B⊇A） 四、空集 ∅（∅⊆A，∀集合A） 五、Venn图（大圆含小圆） 六、重要结论：A⊆A；A⊆B且B⊆C ⇒ A⊆C 注意：∈与⊆的区别 教学反思与改进 本节课通过类比实数大小关系引入集合间的包含关系，整体思路清晰，学生对子集和真子集的概念掌握较好。在Venn图环节，部分学生对图形语言的理解仍有困难，后续应增加更多图形练习，让学生动手画图加深体会。∈与⊆的区别是本节难点，部分学生在综合题中仍会混淆，需要在后续练习中反复强化，可通过对比练习巩固。空集作为子集的规定，学生虽然能记住结论，但对"规定"的合理性理解不够深入，后续可结合实际意义进一步阐释。例题中写子集的有序性训练效果良好，但部分学生仍会遗漏∅，需要持续提醒"先写空集再写其他"的有序策略。含参集合关系中端点取舍的问题在本节课仅作初步渗透，后续在习题课中需专门设计变式训练加以强化。 学科网（北京）股份有限公司 $