学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（湖北武汉专用，范围：人教版九上第二十五～二十六章）

**基本信息** 九年级数学9月学情自测卷聚焦一元二次方程与二次函数，通过基础题与综合应用题结合，考查运算能力、模型意识及创新思维，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程系数、函数对称轴、根的判别式|基础概念辨析，突出抽象能力| |填空题|6/18|代数式求值、函数图像平移、实际问题建模（如植物分支方程）|知识迁移应用，体现几何直观| |解答题|8/72|方程应用（头盔增长率）、函数最值（苗圃改造、商品利润）、二次函数综合探究|情境真实（便民早餐车配置），梯度分明，培养推理能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教版九上第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若一元二次方程，一次项的系数是（　　） A．3 B． C．5 D． 2．下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 4．一元二次方程的解是（    ） A．1 B． C．0 D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是(   ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 7．已知方程的两个根分别是，，则的值是（   ） A．5 B． C．3 D． 8．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 9．抛物线及其对称轴如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知，则代数式的值是________． 12．抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 13．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 14．一次函数中，随的增大而增大，且它的图象经过点，试写出一个符合条件的解析式：_____． 15．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 16．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为：___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17、18 、21每题6分，19题每题12分，20题每题8分，22、23题每题10分，24题每题14分。 17．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 18．交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 19． “一刻钟便民生活圈”是指以社区居民为服务对象，以满足居民日常生活消费为目标，服务范围为步行约15分钟的社区商圈．宜昌市某街道为落实“一刻钟便民生活圈”建设，计划在辖区的A、B两个社区统一配置便民早餐车20辆，其中，A社区的早餐车数量不少于10辆，B社区的早餐车数量不少于5辆．经过抽样调查，发现A社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：，B社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：．已知早餐车每服务1人次产生的社会便民效益值（包括节省通勤时间、提升幸福感等）为2个单位． (1)若街道决定在A社区配置15辆早餐车，此时A、B两个社区的早餐车日均服务量是多少？产生的社会便民效益总值是多少？ (2)为了更高效的利用资源，街道希望合理分配20辆早餐车，使A、B两个社区产生的社会便民效益总值最大化，请你通过计算设计出最优配置方案，并求出A、B两个社区产生的最大社会便民效益总值． 20．如图，是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点E在边上，点G在的延长线上，，设的长为xm． (1)若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时BE的长； (2)当x为何值时改造后的矩形苗圃的面积最大？并求出最大面积． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的一个根是0，求出它的另一个根及k的值． 22．某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件：每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨x元（为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 23．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． (2)点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．直线经过点，． (1)=_____，_____，_____． (2)若点为抛物线对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． (3)如图，过定点且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于，两点，过点的直线交抛物线于另一点．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教版九上第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若一元二次方程，一次项的系数是（　　） A．3 B． C．5 D． 2．下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 4．一元二次方程的解是（    ） A．1 B． C．0 D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是(   ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 7．已知方程的两个根分别是，，则的值是（   ） A．5 B． C．3 D． 8．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 9．抛物线及其对称轴如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知，则代数式的值是________． 12．抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 13．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 14．一次函数中，随的增大而增大，且它的图象经过点，试写出一个符合条件的解析式：_____． 15．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 16．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为：___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17、18 、21每题6分，19题每题12分，20题每题8分，22、23题每题10分，24题每题14分。 17．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 18．交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 19． “一刻钟便民生活圈”是指以社区居民为服务对象，以满足居民日常生活消费为目标，服务范围为步行约15分钟的社区商圈．宜昌市某街道为落实“一刻钟便民生活圈”建设，计划在辖区的A、B两个社区统一配置便民早餐车20辆，其中，A社区的早餐车数量不少于10辆，B社区的早餐车数量不少于5辆．经过抽样调查，发现A社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：，B社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：．已知早餐车每服务1人次产生的社会便民效益值（包括节省通勤时间、提升幸福感等）为2个单位． (1)若街道决定在A社区配置15辆早餐车，此时A、B两个社区的早餐车日均服务量是多少？产生的社会便民效益总值是多少？ (2)为了更高效的利用资源，街道希望合理分配20辆早餐车，使A、B两个社区产生的社会便民效益总值最大化，请你通过计算设计出最优配置方案，并求出A、B两个社区产生的最大社会便民效益总值． 20．如图，是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点E在边上，点G在的延长线上，，设的长为xm． (1)若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时BE的长； (2)当x为何值时改造后的矩形苗圃的面积最大？并求出最大面积． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的一个根是0，求出它的另一个根及k的值． 22．某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件：每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨x元（为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 23．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． (2)点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．直线经过点，． (1)=_____，_____，_____． (2)若点为抛物线对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． (3)如图，过定点且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于，两点，过点的直线交抛物线于另一点．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][V][/] 一、单项选择题： 本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][BJ[C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 12 3 15 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(12分) 20.(8分) A D G H B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(14分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D D C D A B C D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．直线 13． 14．（答案不唯一） 15．：或． 16. ①②④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17、18 、21每题6分，19题每题12分，20题每题8分，22、23题每题10分，24题每题10分。 17．（本题6分）【解析】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是；（3分） （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0；（6分） 18．（本题6分）解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为x， ∴300(1+x)2=507，（3分） 解得，x1=0.3=30%，x2=-2.3（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为30%．（6分） 19．（本题12分）（1）解：当时，，（1分） ，．（2分） A、B两个社区的早餐车日均服务量：（人次）（3分） 产生的社会便民效益总值：（单位）．（4分） （2）解：设A社区配置辆早餐车，则B社区配置辆早餐车，两个社区产生的社会便民效益总值为S． 由题意得，解得．（6分） ．（8分） 该二次函数对称轴为直线， ∵，且开口向下， ∴当时，S随的增大而减小．（10分） 故当时，S取得最大值，． 此时．（12分） 答：A、B社区各配置10辆早餐车产生的社会便民效益总值最大，最大社会便民效益总值为4800个单位． 20．（本题8分）【解析】（1）解：依题意， （1分） 由面积相等列方程得：，（3分） 整理得：， 解得（舍去）． （4分） 答：BE的长为4m． （2）设改造后的矩形苗圃的面积为， 则，（6分） 当时，有最大值． （7分） 答：当时，改造后的矩形苗圃的面积最大，最大面积为．（8分） 21．（本题6分）【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0， 解得：k＜1；（3分） （2）∵方程的一个根是0， ∴代入方程得：k2﹣1=0， 解得：k=±1， ∵k＜1， ∴k=﹣1， ∴原方程为：x2+2（﹣1﹣1）x=0， 解得：x1=0，x2=4． ∴方程另一个根为：4. （6分） 22．（本题10分）【解析】解：（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（45﹣35+x）（0＜x≤15）； y＝﹣10x2+110x+2100，（2分） 由题意得： ，解得：0＜x≤15， ∴y＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（4分） （2）设：每件商品的售价定m元， 则y＝[210﹣10（m﹣45）]（m﹣35）＝﹣10（m﹣66）（m﹣35），（6分） ∵﹣10＜0，当m＝时，y取得最大值， ∵售价上涨x元（为正整数）， ∴m取50或51时，y最大，（7分） 最大值为2400， 答：每件商品的售价定为50元或51元时，每个月可获得最大利润是2400元； （3）由题意得：y＝（210﹣10x）（45﹣35+x）＝2200， 解得：x＝1或10，即售价为46元或55元， 即：售价在46元到55元时，每个月的利润不低于2200元．（10分） 23．（本题10分）【解析】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴点C的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∴点D的坐标为；（5分） （2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，    ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴，，， ∴ ，（9分） ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时 即此时点P的坐标为．（10分） 24．（本题14分）【解析】（1）解：已知直线过，在轴、在轴： 令，得，即； 令，得，即 （2分） 将、、代入方程组， 解得，，， ∴抛物线解析式为， ∴（4分） （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为，（5分） 设， ∵、 ∴，，（7分） 分两种情况讨论（为腰）： 当：， 解得， ∴、； 当：， 解得， ∴，（9分） 综上，点的坐标为，，； (3)证明：设， 设过定点直线， 联立抛物线， 得：， 整理，得， 由根与系数的关系得：，①， 联立与抛物线得：， 由根与系数的关系得， 即②， 设直线，联立抛物线得， ∴，, 把②代入，得， 整理得：， 由变形，得， 将②代入得：， 整理，得④， 由①，得，代入，得 ， 整理，得，代入④，得 ， 整理，得， ∴直线方程为：， 对任意，当时，，与无关， 故直线恒过定点．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. ________________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（12分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教版九上第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若一元二次方程，一次项的系数是（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式，直接识别一次项的系数即可． 【详解】解：∵方程 中，一次项为， ∴一次项的系数是3， 故选：A． 2．下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 3．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将根代入方程求解a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴，即， ∴ ， 故选：D． 4．一元二次方程的解是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过直接开平方求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是(   ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移规律，关键是掌握抛物线()的相关性质：的正负决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为；平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，此抛物线中， ∴对称轴是直线，B选项错误； ∵抛物线的顶点坐标为，此抛物线中，， ∴顶点坐标是，C选项正确； 抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线为，与不符，D选项错误； 故选：C． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记一元二次方程的定义和判别式与根的关系是解题关键． 先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定且，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∵，，， ， ∵， ∴，解得：， 综上且． 故选：D． 7．已知方程的两个根分别是，，则的值是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵方程的两个根分别是，， ∴． 8．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则是解决问题的关键． 根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 9．抛物线及其对称轴如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，计算与0的关系；再由与x轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，；选项A错误，不符合题意 抛物线交y轴的正半轴，故；选项B错误，不符合题意 抛物线的对称轴，∵，∴；选项C正确，符合题意 抛物线与x轴有两个交点，；选项D错误，不符合题意． 10．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴交点个数即可判断A；根据函数图象的开口方向和对称轴位置即可判断B；根据抛物线与轴交于点，且当时，，即可判断C；根据，结合，即可判断D． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故A错误； 该函数图象的开口向下，， ∴，故B错误； ∵抛物线与轴交于点，，根据图象可得当时，， ∴， ∴得，，即，故C错误； ∵，抛物线的对称轴交x轴于点D， ∴， ，故D正确． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知，则代数式的值是________． 【答案】6 【分析】根据题意，然后将原式转化为，即可得出答案． 【详解】解：， ， ∴． 12．抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 【答案】直线 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：直线． 13．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由每个支干长出个小分支，可得出该种植物共有个支干，个小分支，结合主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支， 该种植物共有个支干，个小分支， 根据题意得：． 故答案为：． 14．一次函数中，随的增大而增大，且它的图象经过点，试写出一个符合条件的解析式：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，由一次函数的图象经过点可以得出，由y随x增大而增大，利用一次函数的性质可得出，取即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 即． 又∵y随x增大而增大， ∴， 当时，一次函数关系式为． 故答案为：（答案不唯一）． 15．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 16．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为：___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与轴交点问题，根据二次函数的性质结合函数图象，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为， 整理得，故②正确，③错误； 由图像可知，当时，，故④正确． ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17、18 、21每题6分，19题每题12分，20题每题8分，22、23题每题10分，24题每题10分。 17．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 18．交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 19． “一刻钟便民生活圈”是指以社区居民为服务对象，以满足居民日常生活消费为目标，服务范围为步行约15分钟的社区商圈．宜昌市某街道为落实“一刻钟便民生活圈”建设，计划在辖区的A、B两个社区统一配置便民早餐车20辆，其中，A社区的早餐车数量不少于10辆，B社区的早餐车数量不少于5辆．经过抽样调查，发现A社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：，B社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：．已知早餐车每服务1人次产生的社会便民效益值（包括节省通勤时间、提升幸福感等）为2个单位． (1)若街道决定在A社区配置15辆早餐车，此时A、B两个社区的早餐车日均服务量是多少？产生的社会便民效益总值是多少？ (2)为了更高效的利用资源，街道希望合理分配20辆早餐车，使A、B两个社区产生的社会便民效益总值最大化，请你通过计算设计出最优配置方案，并求出A、B两个社区产生的最大社会便民效益总值． 【答案】(1)A、B两个社区的早餐车日均服务量为1950人次，产生的社会便民效益总值为3900个单位 (2)设两个社区产生的社会便民效益总值为S 由题意得，解得． ， 即 ∵，， ∴当时，S随的增大而减小． ∴当时，S有最大值，． 答：A、B社区各配置10辆早餐车产生的社会便民效益总值最大，最大社会便民效益总值为4800个单位． 【分析】首先明确两个社区早餐车数量的关系：因为总共有20辆早餐车，所以设A社区配置辆时，B社区配置（）辆，同时根据题目给出的数量限制确定的取值范围。 （1）如果已知A社区配置15辆，那么可先算出B社区的配置数量，再分别代入对应社区的日均服务量函数，求出各自的日均服务量，之后结合每人次的效益值计算总效益。 （2）先分别写出A、B社区的总服务量关于的表达式，再乘以单位人次的效益值，得到总效益关于的二次函数，之后根据二次函数的增减性质，结合的取值范围，求出总效益的最大值及对应的值。 【详解】（1）解：当时，， ，． A、B两个社区的早餐车日均服务量：（人次） 产生的社会便民效益总值：（单位）． （2）解：设A社区配置辆早餐车，则B社区配置辆早餐车，两个社区产生的社会便民效益总值为 S． 由题意得，解得． ． 该二次函数对称轴为直线， ∵，且开口向下， ∴当时，S随的增大而减小． 故当时，S取得最大值，． 此时． 答：A、B社区各配置10辆早餐车产生的社会便民效益总值最大，最大社会便民效益总值为4800个单位． 20．如图，是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点E在边上，点G在的延长线上，，设的长为xm． (1)若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时BE的长； (2)当x为何值时改造后的矩形苗圃的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)BE的长为4m． (2)当时，改造后的矩形苗圃的面积最大，最大面积为． 【分析】（1）根据题意可得正方形苗圃的面积为64，进而可得矩形苗圃的面积为64，进而可得：，再解方程即可； （2）先建立面积关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意， 由面积相等列方程得：， 整理得：， 解得（舍去）． 答：BE的长为4m． （2）设改造后的矩形苗圃的面积为， 则， 当时，有最大值． 答：当时，改造后的矩形苗圃的面积最大，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确理解题意，确定等量关系列方程或二次函数关系式． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的一个根是0，求出它的另一个根及k的值． 【答案】（1）k＜1；（2）k=﹣1，x2=4； 【分析】（1）根据一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根可知判别式Δ>0，解不等式即可；（2）把x=0代入方程，即可求出 k=±1，根据（1）中k的取值范围，k=1舍去，把k=1代入方程求出另一个根即可. 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0， 解得：k＜1； （2）∵方程的一个根是0， ∴代入方程得：k2﹣1=0， 解得：k=±1， ∵k＜1， ∴k=﹣1， ∴原方程为：x2+2（﹣1﹣1）x=0， 解得：x1=0，x2=4． ∴方程另一个根为：4. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出k的值是解题关键． 22．某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件：每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨x元（为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 【答案】（1）y＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）每件商品的售价定为50元或51元时，每个月可获得最大利润是2400元；（3）售价在46元到55元时，每个月的利润不低于2200元 【分析】（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（45﹣35+x）（0＜x≤15）； （2）设：每件商品的售价定为m元，则y＝[210﹣10（m﹣45）]（m﹣35）＝﹣10（m﹣66）（m﹣35），即可求解； （3）由题意得：y＝（210﹣10x）（45﹣35+x）＝2200，解得：x＝1或10，即售价为46元或55元，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（45﹣35+x）（0＜x≤15）； y＝﹣10x2+110x+2100， 由题意得： ，解得：0＜x≤15， ∴y＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）； （2）设：每件商品的售价定m元， 则y＝[210﹣10（m﹣45）]（m﹣35）＝﹣10（m﹣66）（m﹣35）， ∵﹣10＜0，当m＝时，y取得最大值， ∵售价上涨x元（为正整数）， ∴m取50或51时，y最大， 最大值为2400， 答：每件商品的售价定为50元或51元时，每个月可获得最大利润是2400元； （3）由题意得：y＝（210﹣10x）（45﹣35+x）＝2200， 解得：x＝1或10，即售价为46元或55元， 即：售价在46元到55元时，每个月的利润不低于2200元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得． 23．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． (2)点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为； (2)，面积的最大值为． 【分析】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识，注意掌握数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标； （2）作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴点C的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∴点D的坐标为； （2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，    ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时 即此时点P的坐标为． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．直线经过点，． (1)=_____，_____，_____． (2)若点为抛物线对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． (3)如图，过定点且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于，两点，过点的直线交抛物线于另一点．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)，，；   (2)点坐标为 (3)证明：设， 设过定点直线， 联立抛物线， 得：， 整理，得， 由根与系数的关系得：，①， 联立与抛物线得：， 由根与系数的关系得， 即②， 设直线，联立抛物线得， ∴，, 把②代入，得， 整理得：， 由变形，得， 将②代入得：， 整理，得④， 由①，得，代入，得 ， 整理，得，代入④，得 ， 整理，得， ∴直线方程为：， 对任意，当时，，与无关， 故直线恒过定点． 【分析】（）先由直线与坐标轴的交点求出坐标，再结合已知点的坐标，将三点代入抛物线一般式列方程组，求解系数，从而得到抛物线解析式； （）先根据抛物线解析式求出对称轴，设出对称轴上点的坐标，再计算出，然后分和两种等腰情况列方程求解，得到点的坐标； （）先设出过定点的直线方程，与抛物线联立，用韦达定理得到点的横坐标关系；再联立直线与抛物线，得到点的横坐标关系；接着设出直线的方程并与抛物线联立，用根与系数的关系表示出斜率和截距，通过代数化简消去参数，最终得到直线恒过的定点坐标． 【详解】（1）解：已知直线过，在轴、在轴： 令，得，即； 令，得，即 将、、代入方程组， 解得，，， ∴抛物线解析式为， ∴ （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， 设， ∵、 ∴，， 分两种情况讨论（为腰）： 当：， 解得， ∴、； 当：， 解得， ∴， 综上，点的坐标为，，； （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $