奥数培优专题12 图形拼剪周长变化（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题十二 图形拼剪周长变化 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：正方形拼长方形周长变化 3 考点二：长方形裁剪周长变化 4 考点三：拼剪周长最值问题 6 考点四：长方形中剪最大正方形 7 考点五：拼剪综合推理 9 第三部分 易错避坑指南 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、基础夯实篇（8题） 13 二、能力进阶篇（7题） 13 三、思维跃迁篇（5题） 14 第五部分 精准解析 15 一、基础夯实篇解析 15 二、能力进阶篇解析 16 三、思维跃迁篇解析 18 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第七单元的奥数培优内容，核心是"拼剪前后周长的变化规律"，依托正方形拼长方形、长方形裁剪、周长最值、剪最大正方形、拼剪综合推理五大考点，系统梳理拼接减少周长、裁剪增加周长的规律，培养空间想象和变化分析能力。 知识模块 核心内容 关键规律 易错提醒 正方形拼长方形 几个正方形拼大长方形 每拼一处减少2条边长 重合边在内部，不算周长 长方形裁剪 剪成小长方形或正方形 每剪一刀增加2条边长 剪开后多出两条新边 周长最值 同样多的小正方形拼图形 越接近正方形周长越短，越长越短周长越长 长和宽差越大周长越长 剪最大正方形 长方形里剪最大正方形 正方形边长=长方形的宽 剩下的还是长方形 拼剪综合 多次拼剪求周长 逐步分析每次拼剪的变化 一步一步来，别跳步 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 拼合减边法 正方形拼长方形 算总周长-重合边×2 拼一次，减两边 剪开加边法 剪开长方形 原周长+新增边×2 剪一刀，加两边 最值比较法 周长最长最短 列举几种拼法→算周长→比较 越方正越短，越细长越长 最大正方形法 长方形里剪正方形 边长取宽，剩下是小长方形 以短边为边长剪最大正方形 逐步推导法 多次拼剪 从原图开始，每次变化单独算 一步一步算，累计变化量 三、奥数思维提升 1. 变化思想：拼剪改变周长 核心要点：图形拼在一起，重合的边从外围变到了内部，周长就减少了；把图形剪开，多出了新的边，周长就增加了。拼少剪多，记住这个规律。 示例：两个边长1的正方形，各4条边共8条。拼在一起后，重合1条边（两边各少1条），周长剩6条边，比原来少了2条。 2. 最值思想：面积相同周长有长短 核心要点：用同样多的小正方形拼图形，面积是一样的，但周长不一样。拼得越接近正方形，周长越短；拼得越细长，周长越长。 示例：6个小正方形，拼成2×3的长方形周长=10条边，拼成1×6的长条周长=14条边。2×3更接近正方形，周长更短。 3. 极限思想：最大正方形以短边为限 核心要点：长方形里剪最大的正方形，正方形的边长不能超过长方形的短边（宽），否则就超出了。所以最大正方形边长=长方形的宽。 示例：长10宽6的长方形，最大正方形边长只能是6（宽的长度），剪完剩下一个长6宽4的小长方形。 4. 累加思想：多次拼剪累计变化 核心要点：多次拼接或裁剪，可以一步步算：先算原来的，再算每次变化多少，最后累加。也可以直接算最终图形的周长。两种方法互相验证。 示例：一张长方形纸剪两刀，每刀加2条边，共加4条。总周长=原周长+4条新边长。 5. 对比思想：拼剪前后对比找差 核心要点：求周长增加或减少了多少，不用算全部，只算变化的部分就行。拼几处就减几个2倍边长，剪几刀就加几个2倍边长。 示例：5个正方形排成一排，有4处拼接，每处少2条边，共少8条边。比原来总周长少了8条边长。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：正方形拼长方形周长变化 典型例题 1（基础型）—— 两个正方形拼 题目：两个边长为5厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形周长是多少厘米？比原来两个正方形周长和少了多少厘米？ 解题步骤： ① 两个正方形周长和：2 × 4 × 5 = 40厘米； ② 拼成长方形：长 = 5×2 = 10厘米，宽 = 5厘米； ③ 长方形周长 = (10 + 5) × 2 = 30厘米； ④ 减少了：40 - 30 = 10厘米（即2条边长）； ⑤ 验证：拼1处，少2条边 = 2×5 = 10厘米，正确。 【答案】长方形周长30厘米，少了10厘米 【知识点睛】拼1处减少2条边长。减少量 = 拼接处数 × 2 × 边长。 典型例题 2（提高型）—— 多个正方形一排 题目：6个边长为3厘米的正方形排成一排拼成一个长方形。这个长方形的周长是多少？ 解题步骤： ① 长方形长 = 6×3 = 18厘米，宽 = 3厘米； ② 周长 = (18 + 3) × 2 = 42厘米； ③ 验证：原总周长=6×4×3=72厘米，拼5处少10条边=30厘米，72-30=42厘米，正确。 【答案】周长是42厘米 【知识点睛】n个正方形排成一排，长=n×边长，宽=边长。拼接n-1处，少2(n-1)条边。 典型例题 3（奥数型）—— 多种拼法比较 题目：用12个边长1厘米的小正方形拼成长方形，有几种拼法？哪种拼法周长最短？是多少？ 解题步骤： ① 拼法：1×12、2×6、3×4，共3种； ② 1×12：周长=(12+1)×2=26厘米； ③ 2×6：周长=(6+2)×2=16厘米； ④ 3×4：周长=(4+3)×2=14厘米； ⑤ 3×4的拼法周长最短，是14厘米； ⑥ 规律：越接近正方形，周长越短。 【答案】3种拼法，3×4拼法最短，14厘米 【知识点睛】面积相同，长和宽越接近周长越短。正方形时周长最短。 考点二：长方形裁剪周长变化 典型例题 1（基础型）—— 剪一刀分两半 题目：一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸，沿竖直方向从中间剪开，变成两个一样的小长方形。每个小长方形的周长是多少厘米？两个小长方形周长和比原来多了多少？ 解题步骤： ① 剪开后每个小长方形：长=6厘米，宽=5厘米； ② 每个周长 = (6+5)×2 = 22厘米； ③ 两个周长和 = 22×2 = 44厘米； ④ 原周长 = (10+6)×2 = 32厘米； ⑤ 多了：44 - 32 = 12厘米（即2条宽：2×6=12厘米）； ⑥ 规律：剪一刀增加2条边。 【答案】每个周长22厘米，总共多了12厘米 【知识点睛】剪一刀增加2条边长。增加量 = 刀数 × 2 × 被剪边的长度。 典型例题 2（提高型）—— 剪两刀 题目：一张长15分米、宽8分米的长方形纸，沿水平方向剪2刀，分成3个一样的小长方形。每个小长方形的周长是多少？ 解题步骤： ① 水平剪2刀，宽被分成3份：8 ÷ 3 除不尽，调整数据； ② 设宽9分米：9÷3=3分米，每个小长方形宽3分米，长15分米； ③ 每个周长 = (15+3)×2 = 36分米； ④ 验证：原周长=(15+9)×2=48，剪2刀加4条长=4×15=60，总和=48+60=108，36×3=108，正确。 【答案】每个小长方形周长36分米（宽为9时） 【知识点睛】水平剪：增加的是长；竖直剪：增加的是宽。看剪的方向。 典型例题 3（奥数型）—— 横竖都剪 题目：一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸，竖直剪1刀，水平剪2刀，分成6个小长方形。这6个小长方形的周长总和是多少厘米？ 解题步骤： ① 原周长 = (20+12)×2 = 64厘米； ② 竖直剪1刀：增加2条宽 = 2×12 = 24厘米； ③ 水平剪2刀：增加4条长 = 4×20 = 80厘米； ④ 总周长 = 64 + 24 + 80 = 168厘米； ⑤ 验证：6个小长方形，每列3个每行2个，小长=10小宽=4，周长=(10+4)×2=28，6个=168，正确。 【答案】周长总和是168厘米 【知识点睛】竖直剪加宽，水平剪加长。每剪1刀加2条对应边。总周长=原周长+新增边。 考点三：拼剪周长最值问题 典型例题 1（基础型）—— 最长最短 题目：用8个边长为1厘米的正方形拼成长方形，周长最长是多少？最短是多少？ 解题步骤： ① 拼法：1×8、2×4，共2种； ② 1×8：周长=(8+1)×2=18厘米（最长）； ③ 2×4：周长=(4+2)×2=12厘米（最短）； ④ 最长18厘米，最短12厘米。 【答案】最长18厘米，最短12厘米 【知识点睛】一排拼最长，接近正方形最短。长和宽差越大，周长越长。 典型例题 2（提高型）—— 靠墙围长方形 题目：用16米长的篱笆靠墙围一个长方形（墙足够长，只围三边），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 解题步骤： ① 三边总长16米，设宽x，长=16-2x； ② 试算：宽1长14面积14；宽2长12面积24；宽3长10面积30； ③ 宽4长8面积32；宽5长6面积30； ④ 宽4米长8米时面积最大，32平方米； ⑤ 规律：长是宽的2倍时面积最大（靠墙一边为长）。 【答案】长8米宽4米，最大面积32平方米 【知识点睛】靠墙围三边，长=2×宽时面积最大。和一定时，两数越接近乘积越大（但这里只有三边）。 典型例题 3（奥数型）—— 周长一定面积最大 题目：用一根长24厘米的铁丝围长方形（长和宽都是整厘米数），面积最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 周长24，长+宽=12厘米； ② 列举：1+11面积11；2+10面积20；3+9面积27； ③ 4+8面积32；5+7面积35；6+6面积36（正方形）； ④ 最大36平方厘米（正方形），最小11平方厘米； ⑤ 规律：周长一定，正方形面积最大。 【答案】最大36平方厘米，最小11平方厘米 【知识点睛】周长一定的长方形，长和宽越接近面积越大，正方形时最大。 考点四：长方形中剪最大正方形 典型例题 1（基础型）—— 剪一次 题目：一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪下一个最大的正方形。这个正方形的周长是多少？剩下的图形周长是多少？ 解题步骤： ① 最大正方形边长=宽=8厘米； ② 正方形周长 = 8 × 4 = 32厘米； ③ 剩下的图形：长8厘米，宽=12-8=4厘米，是个长方形； ④ 剩下周长 = (8+4)×2 = 24厘米； ⑤ 验证：画图确认剩下的是8×4的长方形。 【答案】正方形周长32厘米，剩下周长24厘米 【知识点睛】最大正方形边长=长方形的宽。剩下的是长方形：长=原宽，宽=原长-原宽。 典型例题 2（提高型）—— 连续剪 题目：一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸，先剪下一个最大正方形，再从剩下的纸上剪下一个最大正方形。第二次剪下的正方形边长是多少？最后剩下的图形周长是多少？ 解题步骤： ① 第一次：最大正方形边长=12厘米，剩8×12的长方形； ② 第二次：剩下的纸长12宽8，最大正方形边长=8厘米； ③ 第二次剪下的正方形边长是8厘米； ④ 最后剩下：长8厘米，宽=12-8=4厘米； ⑤ 最后周长 = (8+4)×2 = 24厘米。 【答案】第二次边长8厘米，最后周长24厘米 【知识点睛】每次都以短边为边长剪最大正方形。可以连续剪多次，每次剩下的还是长方形。 典型例题 3（奥数型）—— 剪多个最大正方形 题目：一张长25厘米、宽7厘米的长方形纸条，最多能剪下几个边长7厘米的正方形？ 解题步骤： ① 宽正好是7厘米，正方形边长7厘米； ② 长25厘米里有几个7：25 ÷ 7 = 3个……4厘米； ③ 能剪下3个完整的正方形； ④ 剩下4厘米宽的纸条不够再剪一个。 【答案】最多剪3个 【知识点睛】长÷边长取整数部分就是个数。剩下的不够就舍去。 考点五：拼剪综合推理 典型例题 1（基础型）—— 拼回原图形 题目：把一个正方形剪成两个一样的长方形，每个长方形的周长是18厘米。原来正方形的周长是多少厘米？ 解题步骤： ① 设正方形边长为a，剪成长方形长=a，宽=a÷2； ② 长方形周长=(a + a/2)×2 = 3a = 18； ③ a = 6厘米； ④ 正方形周长 = 6×4 = 24厘米； ⑤ 验证：长方形6×3，周长=(6+3)×2=18，正确。 【答案】原来正方形周长24厘米 【知识点睛】正方形剪成两个长方形，每个长方形周长=3×边长。3条边长的长度。 典型例题 2（提高型）—— 已知周长差求边长 题目：用两个一样的长方形拼成一个正方形，正方形的周长比原来两个长方形周长和少了20厘米。一个长方形的周长是多少厘米？ 解题步骤： ① 拼成正方形，说明长方形的长=2×宽（两个宽拼起来等于长）； ② 拼合减少2条长（两个长方形各少一条长边），2×长=20厘米； ③ 长 = 10厘米； ④ 宽 = 10 ÷ 2 = 5厘米； ⑤ 一个长方形周长 = (10+5)×2 = 30厘米。 【答案】一个长方形周长30厘米 【知识点睛】能拼成正方形的两个长方形，长是宽的2倍。拼合处是两条长。 典型例题 3（奥数型）—— 多层拼剪 题目：把一个大正方形剪成4个一样的小正方形，周长增加了32厘米。原来大正方形的周长是多少厘米？ 解题步骤： ① 大正方形剪4个小正方形，需要横剪1刀竖剪1刀，共2刀； ② 每刀增加2条边，共增加4条大正方形的边长； ③ 4×边长 = 32厘米，边长 = 8厘米； ④ 大正方形周长 = 8×4 = 32厘米； ⑤ 验证：大正方形8×8周长32，4个小正方形各4×4周长16，共64，64-32=32，正确。 【答案】原来大正方形周长32厘米 【知识点睛】分成4个小正方形，横竖各剪1刀，增加4条边长。增加量=4×大边长。 第三部分 易错避坑指南 易错点：拼图形只减1条边，忘记两边各减1 错误示例：两个正方形拼一起，周长减1条边（应该减2条） 正确分析：拼在一起的那条边，第一个正方形少了1条，第二个也少了1条，一共少2条边。不是1条。 修正方法：拼1处减少2条边长。两个图形各少1条，合计少2条。 易错点：裁剪后周长变短（搞反了） 错误示例：剪开后周长变小（实际变大） 正确分析：剪开后出现新的边，这些边都在周长上，所以周长是增加的，不是减少的。剪一刀加2条边。 修正方法：拼合周长减少，裁剪周长增加。拼少剪多，别记反了。 易错点：最大正方形边长取长不取宽 错误示例：长10宽6的长方形，最大正方形边长取10（错误） 正确分析：正方形四条边相等，边长不能超过长方形的短边，否则宽不够。最大只能以宽为边长。 修正方法：长方形中剪最大正方形，边长=宽（短边）。以短的那条为标准。 易错点：周长一定面积最大，认为细长的最大 错误示例：周长24，认为1×11面积最大（实际最小） 正确分析：周长一定，长和宽越接近面积越大，正方形时面积最大。越细长面积越小。 修正方法：周长一定，正方形面积最大。和一定，两数越接近乘积越大。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 3个边长2厘米的正方形排成一排，拼成的长方形周长是多少厘米？ 2. 一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，竖直剪一刀分成两个一样的长方形，每个小长方形周长是多少？ 3. 用9个边长1厘米的正方形拼大正方形，大正方形的周长是多少？ 4. 长15厘米、宽9厘米的长方形，剪下最大正方形，正方形边长是多少？ 5. 用6个边长1分米的正方形拼长方形，有几种拼法？周长最长是多少？ 6. 把一张长18厘米、宽5厘米的长方形横剪1刀，周长增加了多少厘米？ 7. 周长20厘米的长方形，面积最大是多少？ 8. 两个一样的长方形拼成一个正方形，每个长方形宽3厘米，正方形周长是多少？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 用16个边长1厘米的小正方形拼长方形或正方形，周长最短是多少？ 10. 一张长20厘米、宽14厘米的长方形纸，先剪最大正方形，再从剩下的剪最大正方形。第二次剪的正方形边长是多少？ 11. 一张长方形纸长24厘米，水平剪2刀分成3个一样的正方形。原来长方形的周长是多少？ 12. 把一个正方形分成两个长方形后，周长总和增加了16厘米。原来正方形的周长是多少？ 13. 用一根长36米的篱笆靠墙围长方形菜地（长的一边靠墙），面积最大是多少平方米？ 14. 一张长30厘米、宽18厘米的长方形，竖直剪2刀水平剪1刀，分成6个小长方形。6个小长方形周长和是多少？ 15. 12个边长1厘米的正方形拼成长方形，周长相差最大是多少厘米？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 一张长方形纸，长是宽的2倍。先沿水平方向剪一刀，周长增加24厘米。再沿竖直方向剪一刀，周长又增加多少厘米？原来长方形的周长是多少？ 17. 用若干个边长1厘米的正方形拼成一个周长22厘米的长方形，最少需要几个正方形？ 18. 把一个长12厘米、宽8厘米的长方形，剪成边长是整厘米的正方形，最少能剪几个？怎么剪？ 19. 一个大长方形被两条直线分成4个小长方形，其中三个的面积分别是12、18、24平方厘米，第四个小长方形的面积是多少？ 20. 将一张长100厘米的长方形纸条，沿长的方向剪5刀，分成6个小长方形。这6个小长方形的周长和比原来增加了240厘米。原来长方形的宽是多少厘米？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】16厘米 解题步骤： ① 长=3×2=6，宽=2； ② (6+2)×2=16厘米。 【知识点睛】n个一排：长=n×边长，宽=边长。 2. 【答案】28厘米 解题步骤： ① 竖直剪，小长方形长8宽6； ② (8+6)×2=28厘米。 【知识点睛】竖直剪：长不变，宽减半。 3. 【答案】12厘米 解题步骤： ① 3×3大正方形，边长3； ② 3×4=12厘米。 【知识点睛】n²个拼正方形，边长=n×小边长。 4. 【答案】9厘米 解题步骤： ① 最大正方形边长=宽=9厘米。 【知识点睛】最大正方形边长=短边（宽）。 5. 【答案】2种拼法，最长14分米 解题步骤： ① 拼法：1×6、2×3； ② 1×6周长=(6+1)×2=14分米（最长）。 【知识点睛】越细长周长越长。 6. 【答案】增加36厘米 解题步骤： ① 横剪1刀，加2条长； ② 2×18=36厘米。 【知识点睛】横剪加长，竖剪加宽。 7. 【答案】25平方厘米 解题步骤： ① 周长20，长+宽=10； ② 5+5=10，正方形面积最大：5×5=25。 【知识点睛】周长一定，正方形面积最大。 8. 【答案】24厘米 解题步骤： ① 能拼成正方形，说明长=2×宽=6厘米； ② 正方形边长=6，周长=6×4=24厘米。 【知识点睛】两长方形拼正方形，长是宽的2倍。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】16厘米（正方形） 解题步骤： ① 4×4正方形，周长=4×4=16厘米最短。 【知识点睛】正方形时周长最短。 10. 【答案】6厘米 解题步骤： ① 第一次剪边长14，剩20-14=6，剩下14×6的长方形； ② 第二次最大正方形边长=6厘米。 【知识点睛】每次取短边，连续剪。 11. 【答案】64厘米 解题步骤： ① 水平剪2刀分3个正方形，说明宽=长÷3； ② 3个正方形，宽=24÷3=8厘米； ③ 原周长=(24+8)×2=64厘米。 【知识点睛】分n个正方形排成一排，宽=长÷n。 12. 【答案】32厘米 解题步骤： ① 分两个长方形，剪1刀加2条边=16厘米； ② 边长=16÷2=8厘米； ③ 原周长=8×4=32厘米。 【知识点睛】剪一刀加2条边长。 13. 【答案】162平方米 解题步骤： ① 靠墙围三边，长+2宽=36； ② 长=2宽时面积最大：4宽=36，宽=9，长=18； ③ 面积=18×9=162平方米。 【知识点睛】靠墙三边围，长=2宽时面积最大。 14. 【答案】228厘米 解题步骤： ① 原周长=(30+18)×2=96； ② 竖直2刀加4条宽=4×18=72； ③ 水平1刀加2条长=2×30=60； ④ 总和=96+72+60=228厘米。 【知识点睛】每刀加2条对应边。 15. 【答案】相差12厘米 解题步骤： ① 最长1×12：(12+1)×2=26； ② 最短3×4：(4+3)×2=14； ③ 差=26-14=12厘米。 【知识点睛】最长减最短就是最大差。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】增加12厘米，原周长36厘米 解题步骤： ① 水平剪加2条长=24，长=12厘米； ② 长是宽的2倍，宽=6厘米； ③ 竖直剪加2条宽=2×6=12厘米； ④ 原周长 = (12 + 6) × 2 = 36厘米。 【知识点睛】水平剪加长，竖直剪加宽。 17. 【答案】最少10个（2×5长方形） 解题步骤： ① 周长22，长+宽=11； ② 面积 = 长 × 宽，周长22厘米时长+宽=11，面积越小需要的正方形越少； ③ 长+宽=11，面积=长×宽，最小是1×10=10个； ④ 所以最少需要10个（1×10长方形）。 【知识点睛】周长一定，越细长面积越小，需要的正方形越少。 18. 【答案】最少6个 解题步骤： ① 12×8的长方形； ② 先剪最大8×8正方形1个，剩8×4； ③ 8×4可以剪两个4×4正方形； ④ 正确方法：12×8的长方形，12的因数有1,2,3,4,6,12，8的因数有1,2,4,8，公共因数最大是4； ⑤ 方法：12和8的公共因数最大是4，剪成4×4的正方形，(12÷4)×(8÷4)=3×2=6个。 【知识点睛】剪成一样大的正方形，边长取长和宽的公共因数中最大的。个数=面积÷小正方形面积。 19. 【答案】36或9或16 解题步骤： ① 四个小长方形，对角面积乘积相等； ② 假设12和24对角，18和第四个对角：12×24=18×第四，第四=16； ③ 或者12和18对角：12×18=24×第四，第四=9； ④ 或者18和24对角：18×24=12×第四，第四=36。 【知识点睛】长方形被横竖两条线分四块，对角两块面积乘积相等。 20. 【答案】24厘米 解题步骤： ① 沿长的方向剪5刀，增加10条宽； ② 10×宽=240厘米； ③ 宽=240÷10=24厘米。 【知识点睛】剪n刀增加2n条边。沿长剪=剪宽的方向，增加的是宽。 1 学科网（北京）股份有限公司 $