学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（新教材青岛版，范围：八年级上册第1～2章）

**基本信息** 结合银行行标轴对称识别、居民小区供奶站选址等生活情境，通过全等三角形证明、尺规作图应用等试题，覆盖青岛版八年级上册第1-3章核心知识，适配9月学情检测，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、分式识别、全等判定|以银行行标考轴对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|等腰三角形性质、垂直平分线应用|结合动点考周长最小值，培养空间观念| |解答题|8/75|分式运算、等边三角形全等、新定义“阶分式”|21题“阶分式”定义探究，考查数学语言表达；23题问题背景延伸，发展创新意识|

11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（5分） ． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（10分） 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知∠BAC＝∠ABD＝90°，AD和BC相交于O．在①AC＝BD；②BC=AD ；③∠C＝∠D；④OA＝OB条件中任选一个，可使△ABC≌△BAD．可选的条件个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．一个角的余角一定小于这个角 C．同角（或等角）的余角相等 D．若，则是的平分线 4．如图，已知，，点在同一条直线上，要利用“”推理得出，还需要添加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都不对 5．如图，△ABC≌△BDE，AC和BC对应边分别是BE和DE，则下列与∠BFC相等的是（    ） A．∠BCF B．∠ABC C．∠DBC D．∠E 6．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 7．下列命题是假命题的个数有（   ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线a外一点，A，B，C三点是直线a上的三点，已知，，，点P到直线a的距离一定是2． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 10．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，在中，平分，过点作于点，连接．若的面积为18，则的面积为_________． 12．下列命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的是__________．（填序号） 13．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 14．如图，在中，，，D为边上一点，将沿直线翻折后，点C落到点E处．若，则的度数为________． 15．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16每题5分，17、20、21题每题10分，18、19题每题8分，22每题9分，23每题15分。 16．已知：两边及其夹角，线段a，c，． 求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 17．如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，， (1)写出一组平行的边，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积． 18．遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 19．（本题8分）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 20．（本题10分）小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 21．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 22．（本题9分）如图，在中，，，分别是，上的点，且．延长至点使得，延长至点使得，求证：，，三点共线． 23．已知是经过顶点C的一条直线，，E，F是直线上的两点，且． (1)观察猜想：如图①．当直线经过的内部，且E，F在射线上时，若，则______，______；（填“”“”或“”） (2)类比探究：如图②，若，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)问题解决：如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段AD上，．若的面积为15，请直接写出与的面积之和． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意可得，由可根据定理可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， 则的依据是． 故选：D． 2．如图，已知∠BAC＝∠ABD＝90°，AD和BC相交于O．在①AC＝BD；②BC=AD ；③∠C＝∠D；④OA＝OB条件中任选一个，可使△ABC≌△BAD．可选的条件个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△BAD； ②．∠CAB＝∠DBA，AD＝BC，AB＝BA，符合直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△BAD； ③．∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△BAD； ④．∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA， 即∠OAB＝∠OBA，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△BAD； 即能选的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．一个角的余角一定小于这个角 C．同角（或等角）的余角相等 D．若，则是的平分线 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念，包括两点之间距离、余角性质及角平分线定义，需逐项判断正误． 【详解】解：A：两点之间线段最短，直线无限延伸，故A错误； B：角的余角可能大于、等于或小于该角（如的余角为，的余角为），故B错误； C：同角或等角的余角均等于减该角，故相等，正确； D：时，不一定平分（如不在内部），故D错误； 故选C． 4．如图，已知，，点在同一条直线上，要利用“”推理得出，还需要添加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得出，只需再得到一组对应边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由： 又 ，， 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 5．如图，△ABC≌△BDE，AC和BC对应边分别是BE和DE，则下列与∠BFC相等的是（    ） A．∠BCF B．∠ABC C．∠DBC D．∠E 【答案】B 【分析】根据三角形全等的性质和平行线的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴,， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形和平行线的性质，掌握三角形全等的性质和平行线的性质是解题的关键． 6．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判断方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能确定唯一，不符合题意； B、不能确定唯一，不符合题意； C、可以画出唯一，符合题意； D、不能确定唯一，不符合题意； 故选C． 7．下列命题是假命题的个数有（   ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线a外一点，A，B，C三点是直线a上的三点，已知，，，点P到直线a的距离一定是2． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查初中几何基础概念，包括对顶角性质，点到直线的距离定义，平行公理，同旁内角互补的条件，只需要逐一根据相关概念判断命题真假，统计假命题的个数即可． 【详解】解：命题①：对顶角相等，是真命题． 命题②：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，原命题是假命题． 命题③：平行公理要求“过直线外一点”才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在符合要求的平行线，原命题是假命题． 命题④：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，原命题是假命题． 命题⑤：点到直线的距离中，垂线段最短，因此点到直线的距离一定不大于，且不一定是垂线段，因此距离不一定是，原命题是假命题． 综上，假命题共4个． 8．如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形三边之间的关系．构造全等三角形是解题的关键．延长，过B点作的平行线交的延长线于E点，则，则可得，因此．在中，根据三角形三边之间的关系求出的范围，则可得的范围． 【详解】解：如图，延长，过B点作的平行线交的延长线于E点． ∵是的中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 9．如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 10．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，在中，平分，过点作于点，连接．若的面积为18，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积相等，先延长交于点D，再根据“角边角”证明，可知,，进而得出，即可得出，然后结合已知条件可得答案． 【详解】延长交于点D， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴,， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：9． 12．下列命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的是__________．（填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查对顶角的定义，平行线的性质，点、线之间的关系，解答的关键在于熟练掌握各种概念公理． 根据概念定理进行判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，此命题是真命题； ②两直线平行，同位角相等，此命题是假命题； ③两个锐角的和不一定是钝角，比如，是直角，此选项是假命题； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题； ∴是真命题的是：①④． 故答案为：①④． 13．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 【答案】或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 14．如图，在中，，，D为边上一点，将沿直线翻折后，点C落到点E处．若，则的度数为________． 【答案】/70度 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，求出，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等． 【答案】0，4，12，16 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ①当E在线段上，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E经过0秒，或4秒，12秒，16秒时，与全等． 故答案为：0，4，12，16． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16每题5分，17、20、21题每题10分，18、19题每题8分，22每题9分，23每题15分。 16．已知：两边及其夹角，线段a，c，． 求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 图中的即为所求． 【分析】先作出，再在该角两条射线上分别截取长度为a，c的线段，再连接即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了尺规作图，复杂图形的作图往往转化成基本作图，作与已知角相等的角是解题关键． 17．如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，， (1)写出一组平行的边，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积． 【答案】(1)，（答案不唯一） 理由：∵， ∴， ∴； ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ，理由如下： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； (2)8 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的判定定理及三角形的中线与面积关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的判定定理及三角形的中线与面积关系是解题的关键； （1）根据全等三角形的性质及平行线的判定定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵的面积为10，， ∴， ∴． 18．遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，先求出，再证明全等，利用全等三角形的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故楼高度是． 19．（本题8分）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 20．（本题10分）小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 【答案】(1) 证明：根据题意得， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ∴； (2) 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点到距离为，于点，， 由（1）得， ， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，进而可得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 【答案】(1) 解：∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解：且，理由如下： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据垂直的定义得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．（本题9分）如图，在中，，，分别是，上的点，且．延长至点使得，延长至点使得，求证：，，三点共线． 【答案】 证明：连接， ，延长至点使得， ， ， ， ， 连接， ．延长至点使得， 同理可证， ， ，都在右侧， ，，三点共线． 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，连接，，证明，，利用全等三角形性质即可证明，，三点共线． 【详解】略 23．已知是经过顶点C的一条直线，，E，F是直线上的两点，且． (1)观察猜想：如图①．当直线经过的内部，且E，F在射线上时，若，则______，______；（填“”“”或“”） (2)类比探究：如图②，若，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)问题解决：如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段AD上，．若的面积为15，请直接写出与的面积之和． 【答案】(1)； (2)结论仍成立， 理由如下： 如图2，∵，， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴结论仍成立． (3)5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明，得到即可求解； （2）利用三角形的外角性质证明，进而证明 即可得出结论； （3）过点A作，利用三角形的面积公式得到，再证明得到，则由 可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； （2）略 （3）解：与的面积之和为5．理由如下： 过点A作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴ ， ∴与的面积之和为5． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 口 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/1 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 13. 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.（5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) B 18.(8分) A 田田田 D B 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. (10分) En- B D A M 21.(10分) A 0 G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) D M E B 23.(15分) B B F 一D D F 2 B D 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材青岛版八年级上册第1~2章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.如图，AC=BC,AC⊥OA,CB⊥OB,则△AOC≌△BOC的依据是() ◇B A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 2.如图，已知∠BAC=∠ABD=90°，AD和BC相交于O.在①AC=BD:②BC=AD;③∠C=∠D: ④OA=OB条件中任选一个，可使△ABC=△BAD.可选的条件个数为() D B A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列说法中，正确的是() A.两点之间，直线最短 B.一个角的余角一定小于这个角 C.同角（或等角）的余角相等 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 D.若∠AOB=2∠BOC,则OC是∠AOB的平分线 4.如图，已知AB=AC,AE=AD,点B,D,E,C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出 △ABE≌△ACD,还需要添加的一个条件可以是() B4 D A.BD=DE B.BD=CE C.DE=CE D.以上都不对 5.如图，△ABC三△BDE,AC和BC对应边分别是BE和DE,则下列与∠BFC相等的是() D F A.∠BCF B.∠ABC C.∠DBC D.∠E 6.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是() A.∠A=30°，∠B=70°，∠C=80° B.AB=6,BC=5,∠A=30° C.∠C=60°，∠B=45°，AB=4 D.∠C=90°，AB=6 7.下列命题是假命题的个数有() ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与 已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.⑤P是直线α外一点，A,B,C三点是直 线a上的三点，已知PA=2,PB=3,PC=4,点P到直线a的距离一定是2. A.4 B.3 C.2 D.1 8.如图，△ABC中，AD是中线，AB=5,AC=3,则AD的取值范围是() B 217 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.1<AD<4 B.2<AD<8 C.3<AD<5 D.0<AD<1 9.如图，小明利用尺规作∠AOC=∠BOD,在作图过程中，得到△COE≌△DOF的依据是() D R B A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 10.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A,E,C, F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠=60°.当AD‖BC时，∠ADE的大小 为() A.45° B.30° C.20° D.15° 第II卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于点P,连接CP.若△ABC的面积为18 cm2,则△PBC的面积为 cm2. 12.下列命题中：①对顶角相等：②同位角相等：③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一 条直线的两条直线平行.是真命题的是 ·(填序号) 13.如图，在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=9,∠A=∠B=∠C=60°，点D为边AB上一点且 BD=6.点P为BC边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止 运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动， 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P、Q两点同时出发.若在点Q返回过程中存在△DBP与△PCQ全等，点Q的运动速度为 A 14.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD翻折后，点 C落到点E处.若DEAB,则∠ADB的度数为 B 15.如图，CA⊥AB,垂足为点A,AB=24cm,AC=12Cm,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持 ED=CB,当点E经过 秒时，△DEB与△BCA全等. M D B 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16每题5分，17、20、21题每题10分，18、19题每题8分， 22每题9分，23每题15分。 16.已知：两边及其夹角，线段a,c,∠c. b 求作：△ABC,使BC=a,AB=C,∠B=∠Q(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). 17.如图，在△ABC和△i中，A,F,C,D在同一条直线上，连接BF,CE,△ABF≌△DEC 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (1)写出一组平行的边，并说明理由： ②在(1)的条件下，若△ABC的面积为10，AF=FC=1,求△FCE的面积. 4 18.遥遥为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P.如图，CD⊥DB,AB⊥DB, 测得旗杆顶点C视线PC与地面夹角∠DP℃=36°，测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，且 CD=PB.已知DB=a,CD=b,求大楼AB的高度（用a、b表示）· A 田 田 田 B 19.(本题8分)八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度AB的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度AB 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 口 教学楼 B D (1)在教学楼外，选定一点C: (2)测量教学楼顶点A视线AC与地面夹角∠ACB: 测量步骤 (3)测BC的长度； (4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于地面； (5)测量标杆顶部E视线与地面夹角∠ECD. ∠ACB=68.2°，∠ECD=21.8°，BC=DE=2.5m, 测量数据 CD=12m 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度AB的值. 20.(本题10分)小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直， 两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离BD=0.8m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 点C处时，小丽距离地面的高度EM为1m,已知∠BOC=90°，BD⊥OA于点D,CE⊥OA于点E. B -D nnn7地面 (1)求证：△CEO≌△ODB: (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度OM设置是否合理？为什么？ 21.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD 到点G,使得AG=BC,连接BG,CF=AB, A E (1)试说明：△ABG≌△CFB (2)试说明BF与BG的关系？并说明理由. 22.(本题9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AB,AC上的点，且DE‖BC.延 长DE至点M使得EM=DE,延长BC至点N使得CN=BC,求证：A,M,N三点共线. D M B 23.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F是直线CD上的两点，且 ∠BEC=∠CFA=C. (1)观察猜想：如图①.当直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上时，若∠BCA=a=90°，则 BE CF,EF BE-AF;(填“>”“<”或“=”) 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 D E 图① (2)类比探究：如图②，若∠BCA+c=180°，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不 成立，请说明理由； B D 图② (3)问题解决：如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线 段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，请直接写出△ACF与△BDE的面积之和. A B D 图③ 717西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 2 3 4 5 6 > 8 9 10 0 D O 夕 B A A 心 0 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 16 11.9 12.①④ 13.3或10个单位长度 14.70°/70度 15.0,4,12,16 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16每题5分，17、20、21题每题10分，18、19题每题8分， 22每题9分，23每题15分。 16.(本题5分)【解析】 (4分) 图中的△ABC即为所求.(5分) 17.(本题10分)【解析】(1)AB‖DE,(答案不唯一) 理由：，△ABF≌△DEC, .∠A=∠D, ABDE:(1分) BF‖EC,理由如下： ,△ABF≌△DEC, :.∠AFB=∠DCE, 116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠BFC=180°-∠AFB,∠ECF=180°-∠DCE, .∠BFC=∠ECF, .ABDE;(3分) EF‖BC,理由如下： ,△ABF≌△DEC, ∴.∠A=∠D,AF=DC,AB=DE, ∴.AF+FC=DC+CF,即AC=DF, ∴△ABC≌△SAS,(5分) ∴.∠ACB=∠DFE, .EF‖BC;(6分) (2)解：△ABF≌△DEC, .∠A=∠D,AF=DC,AB=DE,SAABF=SADEC, ∴.AF+FC=DC+CF,即AC=DF, .△ABC2△SAS,(8分) ∴.S△ABc=SA￥6t, ∴.S△ABC-S△ABF=S△L兰-,即S△BFC=S△ECF,(9分) :△ABC的面积为10，AF=FC=1, 4 CC. SABFC=SAABC=8-ACF.(10) 18.(本题8分)【解析】解：：∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°， .:∠DCP=∠APB=54°，(1分) 在△CPD和△PAB中， ,(3分) .:△CPD≌△PAB ASA,(4分) :DP=AB,CD=PB,(5分) DB=a,CD=PB=b. ,:AB=DB-BP=a-b,(7分) 216 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故楼AB高度是a-b.(8分) 19.(本题8分)【解析】解：.'AB⊥BC,DE⊥BC, ∴.∠ABC=∠CDE=90°， ∴.∠BAC=90°-∠ACB=90°-68.2°=21.8°=∠ECD,(2分) 在△ABC与△CDE中， ,(4分) ∴.△ABC≌△CDE AAS,(5分) .AB=CD, .CD=12m, .AB=12m,(8分) 答：教学楼高度AB为12m. 20.(本题10分)【解析】(1) 证明：根据题意得CO=OB, BD⊥OA于点D,CE⊥OA于点E, .∴.∠CEO=∠ODB=90°， .∠BOC=90°， ∴.∠COE=90°-∠BOD=∠OBD,(2分) 在△CEO和△ODB中， , ∴.△CEO≌△ODBAAS;(5分) (2) 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：，点B到OA距离为0.8m,BD⊥OA于点D,BD=0.8m, 由(1)得△CEO≌△ODB, ∴.OE=BD=0.8m,(7分) EM=1m, ∴.OM=0E+EM=0.8+1=1.8m,(8分) .1.8<2 .∴.小丽所在公园的秋千高度设置合理.(10分) 21.(本题10分)【解析】(1) 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解：，AD⊥BC, .∠ADB=90°，则∠BAG+∠ABD=90°， CE⊥AB, ∴.∠CEB=90°，则∠BCF+∠ABD=90°， ∴.∠BAG=∠BCF,(3分) 在△ABG和△CFB中， b, ∴△ABG≌△CFB SAS:(5分) (2) 解：BF=BG且BF⊥BG,理由如下： 由(1)知△ABG≌△CFB, .BF=BG,∠G=∠CBF,(6分) .AD⊥BC, ∴.∠BDG=90°，则∠G+∠DBG=90°，(7分) .∠CBF+∠DBG=90°，即∠GBF=90°， .BF⊥BG.(10分) 22.(本题9分)【解析】证明：连接AN, M .:∠ACB=90°，延长BC至点N使得CN=BC, ∴.∠ACN=90°=∠ACB,(1分) .AC=AC, .△ACB≌△ACN SAS,(4分) ∴.∠BAC=∠CAN,(5分) 连接AM, :DE‖BC.延长DE至点M使得EM=DE, 同理可证△AED≌△AEM SAS,(6分) 416 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠CAM=∠BAC=∠CAN,(7分) .AM,AN都在AC右侧， .A,M,N三点共线.(9分) 23.(本题15分)【解析】(1)解：，∠BCA=a=90°，∠BEC=∠CPFA=C, .∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°， ∴.∠CBE=∠ACF, 又，CB=CA, .△CBE≌△ACFAAS, .'BE=CF,CE=AF, ∴EF=CF-CE=BE-AF」 故答案为：=；=；(4分) (2)结论仍成立， 理由如下： 如图2，.∠BCA+a=180°，∠BEC=∠CFA=a, .∠BCA=∠1+∠2=180°-=∠1+∠CBE=∠BED, .∠CBE=∠ACF, 在△CBE和△ACF中， 6, △CBE≌△ACFAAS,(6分) ∴.BE=CF,CE=AF, ∴，EPF=CF-CE=BE-AF ∴结论仍成立.(8分) (3)解：△ACF与△BDE的面积之和为5.理由如下： 过点A作AH⊥BC,如图， 2 E DH .CD=2BD. 5/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BC=3BD,(9分) Sm号BC×AH,Sam方BD×A, 5am号5g-号x15=5.10分 .∠1=∠2=∠BAC, ∴.∠AEB=∠CFA,∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAE ∴.∠BAE=∠ACF,又AB=AC, ∴，△ABE≌△CAFAAS,(13分) ∴.S△ABE=S△CAF, ∴.S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=5, ∴.△ACF与△BDE的面积之和为5.(15分) 616