学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（新教材青岛版，范围：八年级上册第1～3章）

**基本信息** 结合银行行标轴对称识别、居民小区供奶站选址等生活情境，通过全等三角形证明、尺规作图应用等试题，覆盖青岛版八年级上册第1-3章核心知识，适配9月学情检测，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、分式识别、全等判定|以银行行标考轴对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|等腰三角形性质、垂直平分线应用|结合动点考周长最小值，培养空间观念| |解答题|8/75|分式运算、等边三角形全等、新定义“阶分式”|21题“阶分式”定义探究，考查数学语言表达；23题问题背景延伸，发展创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 口 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/1 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 12 13. 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) 2 (22-4+4 2+2+2. x-2 y-x y2-xy x2-4+ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(分) E 18.(9分) D C 2 M 19.(8分) 3 5-4-3-2-10 12345 -3 -5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E B D 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) D C 23.(10分) G E ☒1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） (1)； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（分） 18．（9分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（     ）           A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式：，，，，中分式的个数有（    ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．在下列一组图形中，能全等的三角形是（　　） A．（1）和（6） B．（2）和（4），（3）和（5） C．（3）和（5） D．（2）和（4） 4．如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（        ） A．△ABC三边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角平分线的交点 C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 5．如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 7．尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，的长为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，的长为半径作弧交于点E；③连接与，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　） A． B． C． D．选择哪块都行 9．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④；⑤连接，平分其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．等腰一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为________． 12．如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为________． 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，交于点，连结．若，则的大小为____________． 14．如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 15．如图，在中，，的中垂线交于点D，且于点E，于点F，相交于点G．若，则________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、20、21每题8分，18题每题9分，19题每题10分，22、23每题12分。 16计算： (1)； (2)． 17已知是等边三角形，点分别在上，且， （1）求证：≌； （2）求出的度数． 18．已知：如图，，M是BC的中点，DM平分． （1）求证：AM平分； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由； （3）线段CD、AB、AD间有怎样的数量关系？请说明理由． 19．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）： ___________． (3)的面积为___________，（直接写答案）． (4)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 20．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 21.定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 22．如图，在等腰直角三角形中，，，D为的中点，，垂足为点E，过点B作交DE的延长线于点F，连接．交于点G，交于点M，连接． (1)求证： (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 23．（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 2 3 4 6 > 8 9 10 C D A A A C C A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.40°或140° 12.15 13.2929度 14.30 15.8 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、20、21每题8分，18题每题9分，19题每题10分， 22、23每题12分。 16.【解析】(1)解： y+2.x x2-xy y-x y-xy =y2+X x(x-y)x-y y(x-y) =y2-2y+X xy(x-y) =(x-y)2 xy(x-y) _x-y ;(4分) (2)解：1 2-4x+4+X-2+2 x2-4x2+2X (x-22 、+火-2 +2 （x-2)(x+2)xx+2) =-2+X-2 +2 X+2x(x+2) =x-2)+(x-2+2x(x+2) x(x+2 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =X-2x+x-2+2x2+4X x2+2x =3x2+3x-2 x2+2x (8分) 17.【解析】(1)证明：.△ABC是等边三角形， ,∴.AC=CB,∠CAD=∠ACB=60° 在△ADC与△CEB中 AC=CB {∠CAD=∠ACB AD=CE .∴.△ADC≌ACEB.(4分) (2)解：，△ADC≌△CEB. .∴.∠ACD=∠CBE .∴.∠BFD=∠FCB+∠CBE=∠FCB+∠ACF=60° ∴.∠BFD=60°(8分) 18.【解析】1证明：作ME⊥AD于E, D C Q2 E M X4 ,MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC, ∴.ME=MC, .M为BC中点， ∴.MB=MC, 又.ME=MC, ∴.ME=MB, 又.ME⊥AD,MB⊥AB, .AM平分∠DAB;(3分) 2解：DM⊥AM, 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 理由是：.'DM平分∠CDA,AM平分∠DAB, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4， DC//AB ..∠CDA+∠BAD=180°， ∴.∠1+∠3=90， .∴.∠DMA=180°-∠1+∠3=90°， 即DM⊥AM:(3分) 3解：CD+AB=AD, 理由是：.'ME⊥AD,MC⊥CD ∴.∠C=∠DEM=90°， 在Rt△DCM和Rt△DEM中 .∴.Rt△DCM≌Rt△DEM HL, ∴.CD=DE, 同理AE=AB, AE+DE=AD, .∴.CD+AB=AD.(3分) 19.【解析】(1)如图： 「A, 54321912345元(2分) -2 -3 -4 -5 (2)解：由图可得：C-3,4:(4分) (8)解：△ABC的面积为3×3-×1×3-3×1×2-3×3×2=： (6分) (4)解：如图，作点A关于X轴的对称点A,连接AB,AB与x轴交于点P,点P即为所求， 3/10 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5-4-3-2-19↓2345x A” -2 -3 -4F -5 由轴对称的性质可得：PA=PA, ∴.PA+PB=PA+PB≥AB,即此时PA+PB的值最小， 由图可得，此时点P的坐标为2,0.(10分) 20.【解析】(I)证明：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC, .A在BC的垂直平分线上， BD=DC, ∴.D在BC的垂直平分线上， ∴.AD是BC的垂直平分线.(3分) (2)解：EF=BE+FC, 证明：过D作DM⊥EF,如图： A M ‘.'△ABC是等边三角形， D ∴.∠ABC=∠ACB=60° .BD=DC,∠BDC=120°， ∴.∠DBC=∠DCB=30° ∴.∠ABD=∠ACD=90° .∴.DB⊥AB,DC⊥AC ,DM⊥EF,ED平分∠BEF, 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.BD=MD, DE=DE, ∴.Rt△BDE≌Rt△MDE. .∴.BE=ME BD=DC,BD=MD, .'DM=DC .∴.Rt△BDE≌Rt△MDE. ∴.FM=FC 又.EF=ME+FM, ∴.EF=BE+FC,(8分) 4X+2=4X+27=4x-2=2, 21.【解析】(1)解：2x-11-2x2x-12x-12x-1 4x ,2 分式2x-卢1-2x互为“2阶分式”：(2分) (2)证明：，x,y互为倒数， n=n-nx 1-y1.1x-1, X n+nx=-n+nx-nx-n=n. 1-xx-1x-1x-1x-1 n n “分式1-x与1y互为“n阶分式”，(5分) 3a x-a (3)解：分式X+1与X-互为“1阶分式”， 3a+x-0=1, “x+1x-1 解得X= 4a-1=2-3 2a+1 2a+1 X、a都是整数， ∴.2a+1是3的因数，即2a+1=±1或±3， 当2a+1=1时，a=0,x=-1,原分式无意义，故舍去； 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当2a+1=-1时，a=-1,x=5,符合题意； 当2a+1=3时，a=1,x=1,原分式无意义，故舍去； 当2a+1=-3时，a=-2,x=3,符合题意； 综上所述，a=-1或-2.(9分) 22.【解析】(1)证明：，'△ABC为等腰直角三角形，Rt△∠ACB=90° .∴.∠CAB=45° BF‖AC ·.∠CBF=∠ACB=90° ∴.∠ABF=∠CBA=45°(1分) 即BE平分∠DBF. 且DE⊥AB ∴.AB垂直平分DF, .∴.BD=BF D为BC中点. ∴.DC=DB ∴.CD=BF, 在△ACD和△CBF中U .∴.△ACD≌△CBF(SAS) (3分) ∴.∠CAD=∠BCF .∠BCF+∠ACM=90°， ∴.∠CAD+∠ACM=90°， ·ㄥAMC=90° .AD⊥CF;(6分) (2) 证明：由(1)得AB垂直平分DF, .'GD=GF,BD=BF, 又BG=BG, △BDG≌△BFG SSS .∴.∠BDG=∠BFG .'△ACD≌△CBF 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∴.∠ADC=∠CFB .∠ADC=∠BDG;(9分) (3) △ACF为等腰三角形，理由： .AB垂直平分DF, .∴.AF=AD, 又△ACD≌△CBF, ∴.AD=CF, ∴.AF=CF, .∴.△ACF为等腰三角形.(12分) 23.【解析】(1)如图1，延长FD到点G,使DG=BE.连接AG, G D Bh 图1 ∠B=∠ADC=90°， .∠B=∠ADG=90°， .AB=AD,DG=BE, .△ABE≌△ADG, .∠BAE=∠DAG,AG=AE, ,∠EAF=60°，∠BAD=120°， .∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°， 则∠DAG+∠DAF=60, 即∠GAF=∠EAF=60°， .AG=AE,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF, .GF=EF, 即GD+DF=BE+DF=EF, 故答案为：BE+DF=EF;(2分) 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG .·∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， B E 图2 .∠ABG=∠D, .在△ABG与△ADF中， b; ∴.△ABG≌△ADF(SAS), ∴.AG=AF,∠1=∠2， ·∠1+∠3=∠2+∠3= ·∠BAD=∠EAF. ∴.∠GAE=∠EAF 又，AE=AE ∴.△AEG≌△AEF, ∴.EG=EF EG=BE+BG. .∴.EF=BE+FD,(6分) (3)①EF=BE-FD 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. .:∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， G ∴.∠B=∠ADF. .在△ABG与△ADF中， i, 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△ABG≌△ADF(SAS), ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF ·∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ·∠BAD ∴.∠GAE=∠EAF. .AE=AE, 易证△AEG≌△AEF, ∴.EG=EF, EG=BE-BG, ∴.EF=BE-FD」 ②EF=FD-BE. 证明：在DF上截取DH=BE, 同第一种情况方法，证明△AEB≌△AHD(SAS), 证明△AEF≌△AHF(SAS), .EF=FH=FD-DH=FD-BE: B ③由(1)、(2)可知，EF=BE+FD: ④如图，点E在BC延长线上，点F在DC延长线，此时线段EF,BE,FD之间并无直接数量关系. E 综上，EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD: 故答案为：EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD;(I2分) 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10/10 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（     ）           A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式：，，，，中分式的个数有（    ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．在下列一组图形中，能全等的三角形是（　　） A．（1）和（6） B．（2）和（4），（3）和（5） C．（3）和（5） D．（2）和（4） 4．如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（        ） A．△ABC三边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角平分线的交点 C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 5．如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 7．尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，的长为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，的长为半径作弧交于点E；③连接与，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　） A． B． C． D．选择哪块都行 9．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④；⑤连接，平分其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．等腰一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为________． 12．如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为________． 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，交于点，连结．若，则的大小为____________． 14．如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 15．如图，在中，，的中垂线交于点D，且于点E，于点F，相交于点G．若，则________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、20、21每题8分，18题每题9分，19题每题10分，22、23每题12分。 16计算： (1)； (2)． 17已知是等边三角形，点分别在上，且， （1）求证：≌； （2）求出的度数． 18．已知：如图，，M是BC的中点，DM平分． （1）求证：AM平分； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由； （3）线段CD、AB、AD间有怎样的数量关系？请说明理由． 19．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）： ___________． (3)的面积为___________，（直接写答案）． (4)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 20．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 21.定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 22．如图，在等腰直角三角形中，，，D为的中点，，垂足为点E，过点B作交DE的延长线于点F，连接．交于点G，交于点M，连接． (1)求证： (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 23．（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（     ）           A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】第1个行标是轴对称图形， 第2个行标不是轴对称图形， 第3个行标是轴对称图形， 第4个行标是轴对称图形， 所以共3个轴对称图形， 故选：C． 2．下列各式：，，，，中分式的个数有（    ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据分式的定义即可得出答案． 【详解】下列各式：，，，，中分式有：，，个数为3个， 故选C 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字． 3．在下列一组图形中，能全等的三角形是（　　） A．（1）和（6） B．（2）和（4），（3）和（5） C．（3）和（5） D．（2）和（4） 【答案】D 【详解】A、（1）、（6）只有两个对应角相等，没有对应边相等，不符合条件； B、（2）、（4）由两个对应角与这两个角的夹边相等，符合两个三角形全等的定理ASA，（3）、（5）只有两个对应角相等，没有对应边相等，不符合条件； C、（3）、（5）只有两个对应角相等，没有对应 边相等，不符合条件； D、（2）、（4）由两个对应角与这两个角的夹边相等，符合两个三角形全等的定理ASA， 故选D． 4．如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（        ） A．△ABC三边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角平分线的交点 C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【答案】A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置． 【详解】解：∵点P到点A，B，C的距离相等， ∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心：外心到三个顶点的距离相等． 也考查了线段垂直平分线的性质．掌握三角形的外心及线段垂直平分线的性质是解题关键． 5．如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 7．尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，的长为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，的长为半径作弧交于点E；③连接与，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．由作图可知：，，利用等边对等角和三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】解：由作图可知：，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 8．小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　） A． B． C． D．选择哪块都行 【答案】C 【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】A块和B块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； C块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．则应带C去． 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定的应用，这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 9．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 10．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④；⑤连接，平分其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】先由等腰直角三角形的判定即可得证①正确；由角平分线定义、结合等腰三角形性质得到，再由外角性质及等角对等边得证②正确；由题中条件，结合全等三角形的判定得证、，再由全等性质即可得证③正确；由的性质，结合即可得证④正确；连接，如图所示，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，再由三角形外角性质判定，即可得证⑤正确；综上所述即可得到答案． 【详解】解：，， 在中，， 则，故①正确； ，平分， ， ， 由等腰三角形三线合一性质可知，是的角平分线， 则， 是的一个外角，是的一个外角， ，， ，故②正确； ，平分， ，，， 则， ， 在和中，，， 由三角形内角和定理可得， 在和中， ， ，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 连接，如图所示： 在中，点是中点，则是斜边的中线， ， ，则， ， ，则， 平分，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是①②③④⑤，共5个， 故选：A． 【点睛】本题考查几何综合，涉及垂直定义、等腰直角三角形性质、角平分线定义、等腰三角形性质、三角形外角性质、角平分线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、垂直的判定等知识，熟记相关几何性质，并能灵活运用求证是解决问题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．等腰一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为________． 【答案】40°或140° 【分析】由于等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不符合题意，分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；求出顶角∠BAC的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥AC，AB＝AC， ∴∠A＋∠ABD＝90°， ∵∠ABD＝50°， ∴∠A＝90°−50°＝40°； ②若∠A＞90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB＝90°−50°＝40°， ∴∠BAC＝180°−40°＝140°； 综上所述，顶角的度数为40°或140°， 故答案为：40°或140°． 【点睛】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 12．如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为________． 【答案】15 【分析】本题考查最短路径问题，以及中垂线的性质，首先连接，由中垂线的性质可得，由于的周长为，长度固定，则只要最小即可，此时可推出P、A、B三点共线，即，由此计算即可． 【详解】解：如图，连接， 则由中垂线的性质可得， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴要使得的周长最小，使得最小即可， ∵两点之间线段最短， ∴当P、A、B三点共线时，最小此时，P点即在边上，， ∴最小值为10， ∴的周长最小为：， 故答案为：15． 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，交于点，连结．若，则的大小为____________． 【答案】/29度 【分析】本题考查了作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由作图得垂直平分，则，可得，再由三角形内角和定理得，则． 【详解】解：由题意可得，垂直平分， ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，的中垂线交于点D，且于点E，于点F，相交于点G．若，则________． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形性质及判定．根据题意连接，先证，，再证，继而得到本题答案． 【详解】解：连接， ∵的中垂线交于点D， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、20、21每题8分，18题每题9分，19题每题10分，22、23每题12分。 16计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对各分母因式分解，统一分母符号后通分，再约分得到结果； （2）先因式分解化简第一个分式，再通分合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17已知是等边三角形，点分别在上，且， （1）求证：≌； （2）求出的度数． 【答案】(1)详见解析；（2）为等腰直角三角形,理由详见解析. 【分析】(1)    根据等边三角形的性质可得,,根据可以推出 ≌. (2)    根据≌可得,根据三角形外角性质求出的度数． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， , 在与中 ≌. （2）解： ≌. 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质,灵活掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键. 18．已知：如图，，M是BC的中点，DM平分． （1）求证：AM平分； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由； （3）线段CD、AB、AD间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】（1）作于E，根据角平分线的性质得到ME=MC，再根据M是BC的中点，可得MC=MB，由此可得ME=MB，再根据角平分线的判定定理即可判定AM平分； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质定理可得∠1+∠3=90°，由此可得，即可证明； （3）证明Rt△DCM≌Rt△DEM可得ED=DC，同理可证AE=AB，由此可证CD+AB=DE+AE=AD． 【详解】证明：作于E， ，，MD平分， ， 为BC中点， ， 又， ， 又，， 平分 解：， 理由是：平分，AM平分， ，， ， ， ， ， 即； 解：， 理由是：，， ， 在和中 ≌， ， 同理， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行线的性质定理．（1）中掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题的关键；（2）理解有两个内角互余的三角形是直角三角形是解题关键；（3）掌握证明直角三角形全等的HL定理是解题关键． 19．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）： ___________． (3)的面积为___________，（直接写答案）． (4)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 【答案】(1) 如图： (2) (3) (4) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图即可； （2）根据作出的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：； （3）解：的面积为； （4）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求， 由轴对称的性质可得：， ∴，即此时的值最小， 由图可得，此时点的坐标为． 20．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． (2)解：， 证明：过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 21.定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 【答案】(1) (2)证明：∵，互为倒数， ∴， ∴， ， ∴分式与互为“阶分式”． (3) 或 【分析】（1）将两个分式求和，根据结果判断即可； （2）由倒数的意义可得，再与求和即可； （3）根据题意可得分式方程，求解得，结合整数的性质可得或，排除其中无意义的根即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“阶分式”； （2）略 （3）解：∵分式与互为“阶分式”， ∴， 解得， ∵、都是整数， ∴是的因数，即或， 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，或． 22．如图，在等腰直角三角形中，，，D为的中点，，垂足为点E，过点B作交DE的延长线于点F，连接．交于点G，交于点M，连接． (1)求证： (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：为等腰直角三角形，    ∵ ∴   即平分． 且．   垂直平分， ． D为中点． ． ． 在和中    ． , ∴， ∴ ； (2) 证明：由（1）得垂直平分， ∴， 又， ∴       ； (3) 为等腰三角形，理由： 垂直平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等腰直角三角形的性质得出垂直平分，证明，然后利用直角三角形的性质即可得出结论； （2）借助（1）证明，利用得出相等的角，即可得出结论； （3）借助于线段垂直平分线和全等三角形得出相等的边即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又∵， ， ． ． ， （3）或或； 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）略 （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $