八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 因式分解～第2章 分式）

**基本信息** 聚焦因式分解与分式，融合智能机器人采购、日历规律探究等真实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，检测抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式性质、因式分解定义、三角形形状判断|结合多地区期末真题，考查概念辨析与逻辑推理| |填空题|6/18|分式方程解、完全平方公式应用|设置开放性问题（如添加单项式构成完全平方式）| |解答题|9/72|分式方程求解、因式分解应用、实际问题建模|含阅读理解（友好分式）、数形结合（图形面积与因式分解）、跨情境应用（机器人采购费用计算）|

八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） 的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式值为0、无意义的条件求，确定分式后求解，再计算． 【详解】解：∵当时，分式值为0， ∴，且， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴分式为， ∵当时，分式值为， ∴， ， ， ， ， ∵当时，分式值为b， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·四川达州·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． 5．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】先对原式通分化简，再根据分式值为整数的条件判断选项，找出不符合要求的值． 【详解】首先对原式变形整理 ∵ ，，分式分母不为0，得 ∴ 原式 通分后计算分子得： ∴ 原式 将选项依次代入验证： A． 时， 是整数，符合要求； B． 时， 是整数，符合要求； C． 时， 是整数，符合要求； D． 时， 不是整数，不符合要求． 因此的值不能是7． 6．（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义运算：对于任意实数、、 ，有 ．若关于的分式方程 有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算将原方程转化为常规分式方程，再利用增根的性质求解的值． 【详解】解：根据新定义运算，原方程可化为． 整理得． 两边同乘去分母，得． 分式方程有增根， ，即． 将代入整式方程，得． 解得． 8．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是做题的关键．将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得三边关系，从而可以判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ， ∴是等边三角形． 故选：D． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解__________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，先展开乘积，再合并常数项，最后应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·广东茂名·期末）已知是分式方程的根，则实数的值为________． 【答案】 【分析】把代入分式方程即可求解． 【详解】解：把代入分式方程得， ， ． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中），则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，那么的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再根据分式乘法计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： 又∵， ∴ 原式的值为， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【答案】或或 【分析】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【详解】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（6分）（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解： 去分母，得， 解得． 检验：当时，． ∴原分式方程的解为． 19．（6分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）下面是小华同学分解因式的过程，请认真阅读，并解答下列问题． 解：原式………………① …………………………………………② ……………………………………………③ (1)以上解答过程从第 步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解： ； 【分析】（1）根据合并同类项法则判断即可． （2）按照分解因式的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：第二步合并同类项计算第二个括号时结果错误，因此解答过程从第②步开始出现错误． （2）略． 20．（8分）（25-26八年级下·重庆巫山·期末）随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 【答案】(1)每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元 (2)优惠后每台B型机器人的单价是4000元 【分析】（1）设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元，根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元； （2）解：设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：优惠后每台B型机器人的单价是 4000元． 21．（8分）（25-26八年级下·江西吉安·期末）我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 【答案】(1)不是的“友好分式”，计算如下： ， ∵， ∴C不是D的“友好分式”． (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】（1）根据“友好分式”的定义计算，化简后判断结果是否等于2即可判断； （2）根据定义列等式求出E，化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值，再计算其和即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵P是Q的“友好分式”， ∴， ∴， ∴，化简得：， ∴， ∵有意义， ∴， ∵是整数， ∴的值为、， ∴或2或或3， ∵， ∴或2或3， ∴所有符合条件的的值之和为． 22．（9分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图2面积为，也可以表示为， (2)26 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． （2）解：由图可知，大长方形的周长， ． ，， ， ， ∴阴影部分面积． 23．（9分）（25-26八年级下·江西抚州·期末）【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ______ ______ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)否，是； (2)． 【分析】根据“关联数对”定义分别判断即可； 根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴数对不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程， ，解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴分式方程的解为， ∵， ∴数对是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：否，是； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴，解得． 24．（10分）（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：． ． 解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是______分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)若是整数，且的值也为整数，求的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，再化为，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵的次数为0，的次数为1， ∴是真分式． （2）解： . （3）解： ， ∵与x均为整数， ∴或或1或， ∴或或0或， ∵ ，，，， ∴，0，，1． ∴． 25．（10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11． (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 【分析】（1）按顺序计算出结果再开方即可； （2）将变形为含的完全平方公式即可解答； （3）根据题意列方程，结合日历的数据特点即可解答． 【详解】（1）解： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 因式分解~第2章 分式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） 的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川达州·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 6．（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义运算：对于任意实数、、 ，有 ．若关于的分式方程 有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解__________． 12．（25-26八年级下·广东茂名·期末）已知是分式方程的根，则实数的值为________． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中），则的值为______． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，那么的值是________． 15．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 18．（6分）（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 19．（6分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）下面是小华同学分解因式的过程，请认真阅读，并解答下列问题． 解：原式………………① …………………………………………② ……………………………………………③ (1)以上解答过程从第 步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程． 20．（8分）（25-26八年级下·重庆巫山·期末）随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 21．（8分）（25-26八年级下·江西吉安·期末）我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 22．（9分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 23．（9分）（25-26八年级下·江西抚州·期末）【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ______ ______ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 24．（10分）（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：． ． 解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是______分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)若是整数，且的值也为整数，求的值． 25．（10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $