八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第2章 特殊三角形）

**基本信息** 八年级数学浙教版培优卷，聚焦三角形与特殊三角形，25题覆盖全等、直角三角形等核心知识，解答题如第25题几何旋转综合题，考查推理能力与几何直观，适配月考培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、直角三角形判定|第10题多结论判断，融合折叠与等腰直角三角形，考查逻辑推理| |填空题|6/18|角平分线性质、等边三角形规律探究|第14题通过等边三角形序列，培养创新意识与空间观念| |解答题|9/72|全等证明、几何旋转、折叠应用|第25题分层设问，结合旋转转化思想，体现几何直观与模型意识，贴近中考命题趋势|

八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第2章 特殊三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26八年级下·云南红河·期末）以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=(   ) A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 12．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，已知分别是和的角平分线，若，，，则的周长为_________． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 14．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 15．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 18．（6分）（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．杰杰同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形的面积． （1）请在正方形网格中画出格点△ABC； （2）求出这个三角形的面积． 19．（6分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 21．（8分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 22．（9分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 23．（9分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 24．（10分）（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 25．（10分）（25-26八年级下·福建泉州·期末）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在中，，，点，在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)【问题解决】将上述解题过程补充完整． (2)刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点，分别在边，上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，，分别与对角线交于，两点．探究，，的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图④，在矩形中，点，分别在边，上，且．探究，，的数量关系：（直接写出结论，不必证明）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·云南红河·期末）以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，求解即可． 【详解】解：A．最长边为，，，得，符合要求； B．最长边为，，，，故，不符合要求； C． 最长边为6，，，，故，不符合要求； D． 最长边为，，，，故，不符合要求． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可. 【详解】解：∵平分交于点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 6．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，准确分析证明是解题的关键． 根据已知条件证明，得到，再根据三角形面积计算即可； 【详解】解：是边上的高， ， ， ， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出与的关系． 【详解】由题意知， 由三角形内角和定理得，    ∵点是三条内角平分线的交点 ∴ ∴ 故答案选A. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解： ，， ， 由折叠得， ， ． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证得，推出，，即可判断①②；由，，得到，进而推出，求得，，由，得到，，从而得到，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 12．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，已知分别是和的角平分线，若，，，则的周长为_________． 【答案】30 【分析】根据分别是和的角平分线，可以推出ABG和ACF都是等腰三角形，得出AB=BG，AC=CF，由已知条件可求得结果． 【详解】∵，BD是的角平分线， ∴∠ADB=∠GDB=90°，∠ABD=∠GBD， 又∵BD=BD， ∴ABD≌GBD（ASA）， ∴AB=BG， 同理可证：AC=CF， ∵，，， ∴ABC的周长为：AB+BC+AC=BG+BC+CF =BF+FG+BF+FG+GC+FG+GC =2+6+2+6+4+6+4 =30， 故答案为：30． 【点睛】考查了等腰三角形性质和判定，理解掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 15．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（6分）（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．杰杰同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形的面积． （1）请在正方形网格中画出格点△ABC； （2）求出这个三角形的面积． 【答案】（1）作图见解析；（2）. 【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可； （2）根据三角形的面积=正方形的面积-三个角上三角形的面积即可得出结论． 试题解析：（1）如图所示： ； （2）S△ABC=3×3-×1×2-×1×3-×2×3 =9-1--3 =． 19．（6分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1) 解：， 理由如下： 是等边三角形， ，， 在与中，， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． (1)由等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； (2)由全等三角形的性质可得，可得，利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)知， ， ， 即， ． 即． 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理进行求解； （2）设，根据正方形的性质得出直角和相等的边，表示出相关线段的长度，根据翻折的性质得出相等的边和角，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得； （2）解：设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为． 21．（8分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 22．（9分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 23．（9分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 【答案】(1) (2)证明：在中，，， ， 由翻折可得，， ， ， ， ， ． (3)的度数为，或 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求解； （2）根据翻折可得，再利用垂直可得，即可证明； （3）分类讨论，当时、时，当时，结合三角形的内角和和外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图1， 当时， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为、或． 24．（10分）（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴探险者所用时间为，探险者所用时间为， ∵， ∴探险者与不能同时到达藏宝点处． 【分析】（1）先计算出的运动时间，再求出的速度即可； （2）先计算出提速后的速度，再计算出、的路程，根据运动时间相等列出分式方程，求解并检验即可； （3）利用勾股定理的逆定理可判断，使用面积法可计算出，再使用勾股定理求出，则，分别计算、的运动时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为， ∴的速度为； （2）解：根据题意，速度提高后，的速度为， ∵， ∴，， 由运动时间相等可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解； （3）略 25．（10分）（25-26八年级下·福建泉州·期末）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在中，，，点，在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)【问题解决】将上述解题过程补充完整． (2)刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点，分别在边，上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，，分别与对角线交于，两点．探究，，的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图④，在矩形中，点，分别在边，上，且．探究，，的数量关系：（直接写出结论，不必证明）． 【答案】(1)解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即， ． 在和中， ， ． 又， 在中，． ，， ； (2)； 证明：如图③，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， 由旋转的性质可得，，， 由题意可得， ． 在和中， ， ， ． 为正方形的对角线， ． ， ． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ． 在中，由勾股定理得， ； (3)； 【分析】（1）由旋转的性质可得，进而证明可得，再说明、，再运用勾股定理即可解答； （2）由旋转的性质以及题意可得，再证明可得，再结合正方形的性质可证得，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答； （3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线于点O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：； 如图④，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交延长线于点， ， ，． ∵，， 为等腰直角三角形， ． 由【知识迁移】可得， ，， 由勾股定理得， ． ，，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $