3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的应用（一）”，核心是利用一次、二次、分段等函数类型解决实际问题。课堂导入先回顾已学函数模型，搭建从函数概念到实际应用的学习支架，梳理变量关系建立模型的思路。 以个税计算、汽车行驶路程等真实问题为载体，通过思维导图梳理数据逻辑、图象分析提取信息，发展数学建模与数据分析素养。任务分层设计，帮助学生提升问题解决能力，为教师提供清晰教学路径，落实核心素养培养。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.4 函数的应用（一） 设计时间 授课时间 课标要求 能利用已知的函数类型解决实际问题，体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 教材分析 函数的应用（一）是在前面学习了函数概念与性质以及幂函数后的一节内容，旨在将现实生活中的问题抽象为数学问题，寻找变量关系，建立恰当的函数模型，再利用函数的图象与性质，求解模型，最后解决实际问题. 解决实际问题的一个重要方面是如何建立恰当的函数模型.本单元首先回顾了已经学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、分段函数模型，明确有哪些模型可以选择，在全面分析题干后，建立起变量之间的关系，比较不同模型的特点，然后再确定最佳模型．如例1应纳税所得额有不同的区间，例2中汽车分段匀速行驶，两者都选择分段函数作为模型进行建模求解.“熟悉模型特点一比较模型一建立模型一求解模型”的过程，对后面继续学习基本初等函数的应用具有指导作用.数据整理、数据分析是建立模型的关键环节.实际问题中的信息量往往比较大，学生需要仔细阅读背景材料，抓住题干，提取文字、图表、符号中的有效信息，建立数据间的逻辑关系，并明确变量之间的函数关系，从而建立模型．例1中通过识别表格数据，梳理出数据间的流程图来厘清思路；例2中通过识别图象提取有效信息来领会题意，然后分析数据的逻辑关系建立模型，过程中都充分体现了整理数据、分析数据、应用数据思维的培养. 本单元通过函数的简单应用，引导学生用数学知识处理实际问题，重点培养数学建模素养.在提炼文字信息的过程中，发展数学抽象、数据应用等素养，在建模与求模的过程中，发展逻辑推理、数学运算等素养，增强学生分析问题、解决问题的能力. 学情分析 学生虽然已经学习了函数的概念与思想方法，同时也熟悉了一次函数、二次函数、幂函数等函数模型，但是在把现实问题抽象为数学问题时，学生比较缺乏经验.因为生活阅历、数学应用的训练不足，学生对实际问题中的各种关系把握不准，导致对函数类型的选择比较盲目．如例1中，将个税税额写成综合所得收入额的函数需要分段表述，难点在于如何将自变量x进行分段，当x在什么范围内可以使t落在相应区间，从而确定税率与速算扣除数，这对学生有较大的挑战性. 本节课的函数应用需要处理较为复杂的数据信息.这些数据信息有的用文字表达，有的在图表中显示，如何将这些数据信息与已知的函数类型关联起来，对学生又是一个较大的挑战. 单元课时分配 本单元1课时 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能分析实际问题中的变量和变量关系，并会用数学符号语言表达结果，能用已知的函数类型刻画简单实际问题的变化规律. 拓展性目标：★★ 通过任务二，总结用函数模型解决实际问题的基本步骤，熟练应用已知的函数类型求解简单实际问题. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，归纳理解图形的要点，发展学生的数学建模，数据分析的数学核心素养. 课时学习重难点 1.教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系，且能够根据背景材料，选择恰当的函数模型，解决实际问题. 2.教学难点：将实际问题抽象为数学问题，找到变量的关系，用恰当的函数类型解决实际问题. 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 一、创设情境，提出问题： 问题：面对实际问题，我们需要选择合适的函数类型刻画其中的变化规律．我们学过哪些类型的函数？ 答： （1）一次函数：f(x)=k+b (k,b为常数,k≠0); （2）反比例函数：k为常数，k≠0)； （3）二次函数：c为常数，≠0)； （4）幂函数：为常数）； （5）分段函数. 2、 目标一：学生能分析实际问题中的变量和变量关系，并会用数学符号语言表达结果，能用已知的函数类型刻画简单实际问题的变化规律. 例1: 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与教科书3.1.2的例8相同，全年综合所得收入额为 （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为（单位：元）. （1）求 关于 的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 任务一：能分析实际问题中的变量和变量关系 思考：（1）教材3.1.2节例8与本题中有哪些变量，数据之间又有怎样的逻辑关系？ （2） 根据（1）可以得到怎样的函数关系式？ 答： （1）3个关键变量，分别是全年的综合所得收入额为x、应缴纳综合所得个税税额为y，以及全年应纳税所得额t. 整理为思维导图： （2）关系式1：由于对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，因此应纳税所得额 ＝综合所得收入额x—基本减除费用60000—专项扣除x(8%+2%+1%+9%)—专项附加扣除52800—依法确定的其他扣除4560得 =g(x).所以 -60000-(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8-117360. 关系式2：又由于每个应纳税所得额都有唯一的税率和速算扣除数与之相对应，因此个税税额 y=应纳税所得额税率-速算扣除数得 （教材第71页已求，只需拿来用即可）． 关系式3：所以对于任意一个综合收入所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应，即将 代入到 即可得到 的函数. 评估一：会用数学符号语言表达结果，能用已知的函数类型刻画简单实际问题的变化规律. 问题:（1）根据函数关系式可以 是分段函数，对 解析式有怎样的启示？在书写时需要注意什么？ （2）当0< <146700时， 应为多少？当在什么范围内时可以使 落到相应的区间，从而确定税率和速算扣除数？ 书写出求 关于 的函数解析式。 （3）代入到对应的区间求解例1第（2）问,当综合所得由189600元增加到249600元，应缴纳个税增加，你能解释一下其实际意义吗？ 答：（1） 也应该分段表示，需要代入到相应的区间求解。注意：①结果不重不漏，严谨全面；②符号表达要规范，书写要工整. （2）； ②当t=0，即0≤≤146700时， y=0; 当0<≤36000 ，即146700<≤191700时， y=t×3%=0.024-3520.8; 当>960000，即>1346700时， y=×45%-181920=0.36-234732. ③ （3） 当x=249600时，y=0.08×249600-14256=5712,解释实际问题的结果：这里综合所得由189600元增加到249600元，应缴纳个税由1029.6元增加到5712元，其个税大幅提升，可见收入越高社会责任越大，体现了个税政策的合理性. 三、目标二：总结用函数模型解决实际问题的基本步骤，熟练应用已知的函数类型求解简单实际问题. 任务二：总结用函数模型解决实际问题的基本步骤 问题: 回顾例1的求解过程，你能总结利用函数模型解决实际问题的基本步骤吗？ 答：①阅读审题 ②建立模型 ③求解模型 ④还原实际问题. 例2. 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率（单位：km/h）与时间（单位：h）的关系如图3.4-1所示． （1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 评估二：熟练应用已知的函数类型求解简单实际问题. （小组讨论）思考： （1）由图3.4-1可以得出汽车行驶过程中有怎样的规律？ （2）图3.4-3中阴影部分面积表示什么，如何求图中阴影部分的面积？（回答例2（1）） （3）当0≤t<1时，汽车行驶的路程s1与时间t有怎样的关系？拓展到整个时间段上，汽车行驶的路程s总与与时间t有怎样的函数关系？写出相应的函数表达式. （4）里程读数s与时间t又有怎么样的关系？你能作出该函数的图象吗？（回答例2（2）） 答： （1）汽车在时间段［0，1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5］内行驶的平均速率分别为50km/h,80km/h,90km/h,75km/h，65km/h，因此在每个时间段内，里程读数s与时间t也不一样，需要表示成分段函数． （2）横坐标为时间 t，纵坐标为平均速率 ， 小矩形面积=长×宽=，所以面积的和代表了行驶的路程总和. 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360，阴影部分的面积表示汽车在这 5h内行驶的路程为 360km． （3）当0≤t<1时， （4） 图3.4-3 四、目标三：归纳理解图形的要点，发展学生的数学建模，数据分析的数学核心素养. 任务三：归纳理解图形的要点 问题: 对比识图、画图的过程，谈谈如何理解图形？ 答：①识别图形类型，是折线图、条形图还是饼图，如图3.4-1中分段函数代表速度，图3.4-3中折线图代表了里程读数，图形的本质还是不同类型的函数； ②抓住横、纵坐标指代的内容以及对应横、纵坐标内容的乘积得到的面积. 学生思考后全班交流，教师对学生的回答进行整理、点评. 学生阅读例1与教科书3.1.2节例8，回答问题 教师提问，学生独立思考后全班交流，教师在学生回答基础上引导出思维导图 教师引导学生分析题意，学生独立思考，在研究对应关系时，教师引导应纳税所得额t在整个逻辑关系中的“桥梁”作用，厘清变量指代的内容，根据题意的提示，逐步探索出变量之间的关系，整理、辨析出需要的函数模型. 教师点名同学提问，学生思考后回答，教师点评 教师提问，学生发言，通过建模结果还原实际问题，并合理解释实际问题的结果. 学生自主思考，提出想法，全班讨论，教师总结，形成思维导图. 学生观察图象，独立思考，然后小组合作，讨论形成最后小组的答案，上台展示 教师提问，学生独立思考后进行全班交流，教师在学生回答后归纳步骤 教师提问，学生思考后回答，教师点评后总结 明确有哪些类型的函数可以选择，为后面模型的应用做好铺垫.由于现实生活中的很多问题具有分类的特点，需要用分段函数来刻画，所以引导学生熟悉分段函数模型. 这一部分主要从实际问题中抽象出变量之间的关系，由于题目篇幅较长，信息错综复杂，这里引导学生从“数据对象一变量与数据一变量关系一函数解析式一模型”的过程感知抽象的过程. 在分类讨论时需做到条理清晰，不遗漏、不多写等号；在书写时，逗号的位置要规范，书写要准确.在问题解决过程中，促使学生养成严密的逻辑思维和规范的符号表达习惯. 这部分是建模后，应用模型解决实际问题的部分，第一问建立起了分段函数模型，第二问需要根据第一问中区间的不同，代入到相应的区间才能得到，最后还原实际问题并解释个税政策的合理性、也让学生体会到数学来源于生活、服务于生活的理念，彰显了数学教学立德树人的宗旨. 引导学生识图，从横纵坐标入手，理解图形中函数、面积、累计面积分别指代什么. 引导学生利用图形中的信息及问题中的数据建立函数模型，然后再根据建立的函数模型画出图象，让学生体会到数学建模不仅可以通过研究函数的性质获得实际问题中的变化规律，还可通过画出函数图象直观地看到变化规律.画图时，若数据比较大，可以隐藏起始部分的坐标轴，使画出的图象更简洁. 课堂小结 1.函数模型解决实际问题的步骤； 2.理解图形的要点； 3.将实际问题抽象成数学问题的方法. 学生作业 1.基础性作业：教科书第95页练习第2、3题; 答案： 2.设矩形广告牌的长为xｍ (0<x<) ,则其宽为ｍ, ∴Ｓ＝ =—+ =—()2+ ∴ 当ｘ＝ 时,广告牌的面积Ｓ最大,且Ｓmax= 3.(１)由题意可得 ｙ１＝150+0.25ｘ(ｘ≥０),ｙ２＝+0.25x(ｘ>０), ｙ３ ＝0.35ｘ(ｘ≥０), ｙ４ ＝0.35ｘ－(150＋0.25ｘ)＝0.1ｘ－150(ｘ≥０). (２)画出ｙ４ ＝0.35ｘ－(150＋0.25ｘ)＝0.1ｘ－150(ｘ≥０). 的图象如图 由图象可知,当 ０≤ｘ<1500时,该公司亏损, 当ｘ＝1500时,该公司不赔不赚, 当ｘ>1500时,该公司赢利. 2.提升性作业：第95~96页习题3.4第1、2、3题； 答案： 1. 函数图象为 函数图象为 2.设水池底的长、宽分别为xｍ、yｍ,总造价为元, x , ∵ 底面积为200ｍ２ , 侧面积为 =12(ｘ＋ｙ)ｍ２ , ∴ 总造价ｗ＝12(ｘ＋ｙ)×９５＋200×135 =1140(＋27000(ｘ>０). 要使总造价 ｗ<70000, 则1140(＋27000<70000 ∵ ｘ>０, ∴ 57ｘ２ －2150ｘ＋11400<０, ∴ 6.4<ｘ<31.3. ∴ 水池的长在( 6.4,31.3)范围内变化时,总造价可控制在7万元以内. 3.设每户每月用水量为xｍ３ ,需交纳的水费为元,则 若该居民交纳的水费为48元,那么用水量x ∈(１２,１８], 令36＋６(ｘ－１２)＝48,得ｘ＝ 14, ∴ 该居民本月用水量为14ｍ３ . 3.拓展性作业:第96页习题3.4第4、5题. 答案： 4.(１) 根据题图(1) 可得,点A的实际意义为当乘客量为0时,亏损1(单位),点Ｂ的实际意义为当乘客量为1.5(单位)时,收 支持平,射线 ＡＢ 上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损,当乘客量大于1.5时公司将赢利. (２)题图(２)的建议是降低成本且保持票价不变,题图(３)的建议是提高票价且保持成本不变. 5.由题中表格画出散点图,如图所示.由图可考虑以 Ｆ＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)作为刻画长度与拉力的函数模型. 取两组数据(１４.２,１),(５７.５,４), 有⟹ ∴Ｆ＝ｘ＋. 将已知数据代入解析式，或作出图象，可以发现，这个模型与已知数据拟合程度较好，说明它能较好地反映弹簧伸长长度与拉力的关系. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $