1.1 集合的概念（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的列举法、描述法及综合应用，通过“地球上的四大洋”“方程的根”等思考问题导入，衔接集合概念第一课时，以具体实例为支架，引导学生从元素特征理解两种表示方法的构建过程。 其亮点在于采用“思考-典例-练习-归纳”教学链，通过对比列举法与描述法的优缺点（如表格总结）培养数学思维，结合含参数方程解集等综合应用提升数学眼光的抽象能力，规范数学语言表达。助力学生构建知识体系，教师可高效实施概念教学。

1.1集合的概念（第二课时） 第一章 集合与常用逻辑用语 一、列举法 1 二、描述法 2 三、集合表示法的综合应用 3 课时作业（二）　集合的表示 4 一、列举法 思考1：地球上的四大洋 组成的集合如何表示？ 【提示】可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}. 思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合 又如何用列举法表示呢？ 【提示】 {-1,-2} 一、列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 元素 确定 无序 互异 注意： 元素间要用逗号隔开. 大括号不能缺失 一、列举法 a与{a}有什么区别？ 是一个元素 是一个集合 思考： 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合. （2）方程x2=x的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. （2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}. 【例题解析】 【总结提升】由于元素完全相同的两个集合相等， 而与列举的顺序无关，因此集合可以 有不同的列举方法.例如， 例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0} 一、列举法 【典例1】　用列举法表示下列给定的集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合A； [解]　（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}. （2）小于8的质数组成的集合B； [解]　（2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}. （3）方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； [解]　（3）方程2x2－x－3＝0的实数根为－1， ，所以C＝{－1， }. 一、列举法 （4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. [解]　（4）由 得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为（1，4），所以D＝{（1，4）}. 一、列举法 [解题感悟] 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素. （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. （3）用花括号括起来. 一、列举法 【练习1】　用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有正整数组成的集合； 解：（1）设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}. （2）方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合； 解：（2）设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}. （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 解：（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），故交点组成的集合是{（0，1）}. 二、描述法 思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？ 由于小于10的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来， 因此这个集合不能用列举法表示． 但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都小于10. （2） 集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作: 二、描述法 我们可以把奇数集合表示为 又如所有偶数的集合怎样表示？ x=2k , k∈Z x∈Z | { } 还可以把奇数集合表示为 二、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 {xϵA|P(x)} 这种表示集合的方法叫做描述法 {xϵA|P(x)} 注意：x∈R 可以省略，只写元素x. 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合. 方程x2-2=0有两个实数根为 ，因此，用列举法 表示为A={ }. 解：(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件 x2-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}. 【例题解析】 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为 B={x∈Z∣10<x<20}. B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. (2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件 x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为 【例题解析】 (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 解： 二、描述法 【典例2】　用描述法表示下列集合： （1）不等式2x－3＜1的解集组成的集合A； [解]　（1）集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3＜1，则A＝{x｜2x－3＜1}，即A＝{x｜x＜2}. （2）C＝{2，4，6，8，10}； [解]　（2）设偶数为x，则x＝2n，n∈Z. 但元素是2，4，6，8，10， 所以x＝2n，n≤5，n∈N*. 所以C＝{x｜x＝2n，n≤5，n∈N*}. （3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. [解]　（3）平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y＞0，故第二象限内的点的集合为D＝{（x，y）｜x＜0，y＞0}. 二、描述法 [解题感悟] 用描述法表示集合的3个步骤 （1）写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一组有序实数对表示. （2）明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围. （3）用花括号括起来：一般格式为{x｜p（x）}或{x∈A｜p（x）}.其中p（x）为元素x所具有的性质或限制条件. 思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？ 优点 缺点 列举法 直观、明了 不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示 描述法 把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点 不易看出集合的具体元素 【归纳升华】 三、集合表示法的综合应用 【典例3】　已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}. （1）若A中只含有一个元素，求a的值； [解]　（1）当a＝0时，方程变为－3x＋2＝0，解得x＝ ，符合题意；当a≠0时，由Δ＝9－8a＝0，解得a＝ .故a＝0或 . 三、集合表示法的综合应用 [解]　（2）当a＝0时，－3x＋2＝0，解得x＝ ，符合题意； 当a≠0时，由题意得 即 解得a≤ 且a≠0. 所以a的取值范围是{a｜a≤ }. （2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围. 三、集合表示法的综合应用 解：由题意得 即 解得a＞ ，即a的取值范围是 . 【思维变式1】　（变条件）若本典例A中不含任何元素，求a的取值范围. 【思维变式2】　（变条件）若本典例A中至多有一个元素，求a的取值范围. 解：当A中只含有一个元素时，a＝0或 ；当A中不含任何元素时，a＞ .所以当A中至多有一个元素时，a的取值范围是{a｜a＝0或a≥ }. 三、集合表示法的综合应用 [解题感悟] 　　关于方程的解集问题，首先要确定方程的类型，如果最高次项的系数中含有字母，则需要对系数是否为0进行讨论，然后进一步求解. 【练习3】　如果集合A＝{x｜ax2＋4x＋6＝0}中最多有一个元素，则实数a的值构成的集合是 　 　. 解析：当a＝0时，易知A中只有一个元素，A＝ ；当a≠0时，得Δ＝16－24a≤0，解得a≥ ，此时二次方程无实根或有两个相等的实数根，故实数a的值构成的集合是{a｜a＝0或a≥ }. 　 1. （多选）下列对象能构成集合的是（　ACD　） ACD 快练　基本能力点 A. {1，2，3，4} B. {1，2，3，4，5} C. {0，1，2，3，4，5} D. {0，1，2，3，4} 解析：解不等式得x＜5，又x∈N，∴x是小于5的自然数，∴表示为{0，1，2，3，4}. 2. 集合{（x，y）｜y＝2x－1}表示（　D　） A. 方程y＝2x－1 B. 点（x，y） C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合 解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D. D 3. （多选）下面说法正确的是（　AB　） A. 10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C. 方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1} D. 0与{0}表示同一个集合 解析：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A说法正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都可以表示由1，2，3组成的集合，故B说法正确；方程x2－2x＋1＝0的解集应为{1}，故C说法错误；由集合的表示方法知“0”不是集合，故D说法错误.故选AB. AB 4. 用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； 解：（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体. 解：（2）{－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}或{x∈Z｜－3.5＜x＜12.8}. 课堂小结 集合的表示方法： 1.列举法 2.描述法 第29页 课时作业（二）　集合的表示 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 [基础巩固] 1. 下列四个集合中，不同于另外三个的是（　B　） A. {y｜y＝2} B. {（2，2）} C. {2} D. {x｜x2－4x＋4＝0} 解析：集合{（2，2）}表示的是由点（2，2）组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 2. 把集合{x｜x2－4x－5＝0}用列举法表示为（　D　） A. {x＝－1，x＝5} B. {x｜x＝－1或x＝5} C. {x2－4x－5＝0} D. {－1，5} 解析：根据题意，解方程x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 3. 由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　D　） A. {x∈Z｜－3＜x＜11} B. {x｜－3＜x＜11} C. {x｜－3＜x＜11，x＝2k} D. {x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} 解析：由题意可知，满足题设条件的只有选项D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 4. 设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由于集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，因为0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，所以B＝{0，1，2}.故集合B中元素的个数为3. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 5. （多选）下列命题中正确的是（　AD　） A. 集合{x∈R｜x2＝1}中有两个元素 B. 集合{0}中没有元素 C. ∈{x｜x＜2 } D. {1，2}与{2，1}是同一个集合 解析：{x∈R｜x2＝1}＝{－1，1}；集合{0}中有一个元素，这个元素是0；{x｜x＜2 }＝{x｜x＜ }， ＞ ，故 ∉{x｜x＜2 }；根据集合中元素的无序性可知，{1，2}与{2，1}是同一个集合.所以选AD. AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 6. （多选）下列说法错误的是（　BCD　） A. 在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{（x，y）｜xy＞0} B. 方程x2－4＝0的解集为{（－2，2）} C. 集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}是相等的 D. 若A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A BCD 解析：对于选项A，因为xy＞0，所以 或 所以集合{（x，y）｜xy＞0}表示平面直角坐标系内第一、三象限的点的集合，故A正确.对于选项B，方程x2－4＝0的解集为{2，－2}，故B错误.对于选项C，集合{（x，y）｜y＝1－x}表示直线y＝1－x上的点，集合{x｜y＝1－x}表示函数y＝1－x中x的取值范围，故集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}不相等，故C错误.对于选项D，A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 7. 集合{x｜x＝2m－3，m∈N*，m＜5}用列举法表示为 　{－1，1，3，5}　. 解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m＜5， 则满足条件的x值：m＝1，x＝－1；m＝2，x＝1；m＝3，x＝3；m＝4，x＝5. 则集合用列举法表示为{－1，1，3，5}. 8. 用列举法表示集合A＝{n∈N ∈N，n≤5}为 　{2}　. 解析：分别令n＝0，1，2，3，4，5，代入 得－2，－ ，0， ， ， ，只有当n＝2时符合题意，所以集合A＝{2}. {－1，1，3，5}　 {2}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 9. 用适当的方法表示下列集合： （1）方程组 的解集； 解：（1）解方程组 得 故解集可用描述法表示为{（x，y）｜ }，也可用列举法表示为{（4，－2）}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 （2）所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； 解：（2）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}. （3）平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合； 解：（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为{（x，y）｜x＞0且y＜0}. （4）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合； 解：（4）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点（x，y），其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x，y）｜y＝x2＋2x－10}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 （5）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 解：（5）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y｜y＝x2＋2x－10}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 10. 已知集合{x｜x2＋ax＋b＝0}＝{2，3}，求a，b的值. 解：∵{x｜x2＋ax＋b＝0}＝{2，3}， ∴方程x2＋ax＋b＝0有两实根x1＝2，x2＝3. 由根与系数的关系得a＝－（2＋3）＝－5，b＝2×3＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 [更上层楼] 11. 当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有“孤立元素”组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为 　{5}　. 解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的“孤立元素”，必须满足集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一检验A中的元素即可.0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}. {5}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 解：（1）因为 ＝2－ ∈A， 所以2＋ ∈B； 因为 ＝ ＝ ∉A，所以3－ ∉B； 因为0没有倒数，所以0∉B； 因为 ＝ ＝7－4 ∈A，所以7＋4 ∈B. 综上可得2＋ ∈B，7＋4 ∈B. 12. 已知集合A＝{x｜x＝m＋ n，m∈Z，n∈Z}，集合B＝{x｜x∈A且 ∈A}. （1）判断2＋ ，3－ ，0，7＋4 中的哪些元素属于B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 （2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B. 解：（2）证明：先证明若x∈A，y∈A，则xy∈A； 设x＝s＋ t，y＝p＋ q，s，t，p，q为整数. 所以xy＝（s＋ t）（p＋ q）＝sp＋3tq＋ （sq＋tp）. 由于sp＋3tq，sq＋tp都是整数，所以xy∈A. 当x∈B，y∈B时， ∈A， ∈A，所以 · ＝ ∈A，所以xy∈B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 谢 谢 观 看 $