以圆为背景的定值问题、定点问题期末专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

以圆为背景的定值问题、定点问题专项训练 以圆为背景的定值问题、定点问题专项训练 考点目录 以圆为背景的定值问题 以圆为背景的定点问题 考点一 以圆为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【详解】（1）设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. 例2．（25-26高二上·湖北·月考）已知双曲线的离心率为2，点是双曲线上的点，是双曲线的左､右顶点，为双曲线的左､右焦点，点是双曲线右支上不同于点的一个动点，直线分别交直线于点，点为线段中点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与以线段为直径的圆相切于点； (3)在（2）的结论下，过点作圆的另一条切线且与圆相切于点，其中点不与点重合，求证：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得. 所以双曲线的方程为. （2）如图： 由题意，，，设（），则. 则直线方程为：，令，则，故； 直线方程为：，令，则，故. 所以点坐标为， 因为. 所以. 所以. 又. 所以，所以在以为直径的圆上. ，，, 所以. 所以直线与以线段为直径的圆相切于点. （3）连接，则直线的方程为即， 因为点到直线的距离为： . 所以直线与圆相切，设切点为. 根据双曲线的定义，，又， 所以为定值. 例3．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， （2）由题意知，， 因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 例4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)138 (3)存在，点，定值为 【详解】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值.    变式1．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. (1)直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设AB的中点为，若，求的面积； (3)设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或9； (3)是定值，. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， ，由，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，由，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． （3）由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 变式2．（25-26高二上·河北沧州·月考）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，5 【详解】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 变式3．（25-26高二上·重庆·期中）已知点，，动点在以为直径的圆上，记其轨迹为E，E与y轴交于C点，过P（异于C点）作直线的垂线l. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)记A到l的距离为，B到l的距离为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意的中点坐标为，， 因为曲线E的轨迹是以为直径的圆的一部分， 所以曲线E的轨迹方程为 （2）证明：由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在， 在第一象限运动时，显然， 如下图，不妨设，则， 到的距离为，到的距离为， 令且，则，故， 所以，，则， 综上，，为定值. 考点二 以圆为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知圆，直线． (1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 【答案】(1) (2)直线CD经过定点 【详解】（1）由圆，得圆心，半径， 又，所以，所以，所以， 即：弦AB所在直线的方程为. （2）直线l与圆O相离，令，线段OQ中点， 因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆， 所以CD是圆O与圆K的相交弦，故． 即，由且，得直线CD经过定点． 例2．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. (1)求圆C的方程； (2)设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1） 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. （2） 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. （3） 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 例3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 例4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知圆过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)过动点作圆的两条切线，，切点分别为，． （i）记四边形的面积为，求的最小值； （ii）求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设圆的一般方程为：， 因为圆经过点，，， 代入得到，整理得， 解得，所以圆的一般方程变为： 化为标准方程为， 因此，圆的标准方程为： （2）（i）圆心，半径. 设点到圆心的距离d：则， 所以切线长， 四边形由两个直角三角形和组成， 所以， 当且仅当时取等号，所以四边形的面积的最小值为. （ii）以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即，即， 因为圆的一般方程为， 两圆方程相减得，即， 由，解得，所以直线恒过定点. 变式1．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； (3)过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆． (2) (3)证明见解析，定点． 【详解】（1）设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． （2）设圆，将点代入圆的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，所以，所以，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为． （3）如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点．    变式2．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，定点. 【详解】（1）已知双曲线的离心率为，且与轴交于点. 则，， 则， 所以双曲线的标准方程是：； （2）如图所示：    ①由，得， 则恒成立， 且，. 设，，由，得，即. 则，. 即. 即. 解得（舍）或，即直线的方程是. ②设经过，，三点的动圆方程， 将代入，得， 设，，则， 消去得， 由，得， 即， 即，. 所以，，. 所以圆的方程为， 即， 令，（舍）或 所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点. 变式3．（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，动点与两定点，的距离之比为，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知，两点均在轨迹上，且点在第三象限内，点在第四象限内. （i）若延长与轨迹交于另一点，延长与轨迹交于另一点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值； （ii）若，，点为直线上一动点，直线，分别与轨迹交于，两点，若直线与直线不重合，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【详解】（1）设动点，由题意可知，， 整理得，. 故轨迹的方程为. （2）如图， （i）设，，直线AC的方程为， 由，得， 则，，所以. 设，，直线BD的方程为，同理得. 由，则， 所以，则，即. 设，， 因为A，G，D三点共线，所以，则， 又，，所以， 因为B，H，C三点共线，同理得， 所以，则，故. （ii）证明：将圆向上平移2个单位长度，得到圆. 此时，，直线，分别与轨迹交于，两点， 设，，， 则，，所以， 则，即， 又，， 所以，， 则，整理得. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，， 所以，整理得，， 则，解得或， 当时，直线的方程为，此时直线恒过点. 当时，直线的方程为），此时直线恒过点，此时与重合，不合题意，所以直线恒过点. 当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解得或（舍去）， 此时直线的方程为，则直线恒过点， 综上可知，直线恒过点， 根据平移知识可知，直线PQ恒过定点. 变式4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． (1)求点所在圆的方程． (2)设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)①或；②证明见解析 【详解】（1），，即， ，设点， ，即， 整理得，即圆的方程为． （2） ①设为的中点，，． 又，，即圆心到直线的距离为1． 圆心到直线l的距离，又点在直线上，即， 联立，解得或． 直线的方程为或，即或． 直线的方程为或． ②证明：设，，， 联立直线l与圆的方程得， ，， ， ， 直线方程为，令，解得， 直线过定点，命题得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以圆为背景的定值问题、定点问题专项训练 以圆为背景的定值问题、定点问题专项训练 考点目录 以圆为背景的定值问题 以圆为背景的定点问题 考点一 以圆为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 例2．（25-26高二上·湖北·月考）已知双曲线的离心率为2，点是双曲线上的点，是双曲线的左､右顶点，为双曲线的左､右焦点，点是双曲线右支上不同于点的一个动点，直线分别交直线于点，点为线段中点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与以线段为直径的圆相切于点； (3)在（2）的结论下，过点作圆的另一条切线且与圆相切于点，其中点不与点重合，求证：是定值. 例3．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 例4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. (1)直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设AB的中点为，若，求的面积； (3)设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·河北沧州·月考）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 变式3．（25-26高二上·重庆·期中）已知点，，动点在以为直径的圆上，记其轨迹为E，E与y轴交于C点，过P（异于C点）作直线的垂线l. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)记A到l的距离为，B到l的距离为，证明：为定值. 考点二 以圆为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知圆，直线． (1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 例2．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. (1)求圆C的方程； (2)设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 例3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 例4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知圆过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)过动点作圆的两条切线，，切点分别为，． （i）记四边形的面积为，求的最小值； （ii）求证：直线恒过定点． 变式1．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； (3)过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 变式2．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 变式3．（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，动点与两定点，的距离之比为，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知，两点均在轨迹上，且点在第三象限内，点在第四象限内. （i）若延长与轨迹交于另一点，延长与轨迹交于另一点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值； （ii）若，，点为直线上一动点，直线，分别与轨迹交于，两点，若直线与直线不重合，证明：直线恒过定点. 变式4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． (1)求点所在圆的方程． (2)设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $