专题08 圆的方程十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以圆心半径为核心，通过解题通法引领、10类题型系统归纳、压轴挑战提升，构建“原理-方法-应用”三层逻辑体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|强调圆心半径优先、几何法优先代数法为辅，明确检验原则|以圆的方程概念为起点，关联四大核心要素（标准方程、一般方程、位置关系）| |题型归纳|10题型（每题型1典例+3变式）|针对求方程、轨迹、定点等题型提炼“直接法”“定义法”等具体策略，形成题型-方法对应模型|从基础计算到综合应用，覆盖直线与圆、圆与圆位置关系全场景| |压轴挑战|选择/填空/解答题共20题|综合运用几何直观与代数运算，强化参数讨论与临界分析|融合跨知识点应用，提升复杂问题解决能力，体现模型意识|

专题08 圆的方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求圆的方程 题型六、切点弦方程 题型二、与圆有关的轨迹方程 题型七、圆上的点到直线距离为定值的个数问题 题型三、圆过定点的问题 题型八、直线和圆相交时韦达定理的应用 题型四、圆外一点与圆上动点的距离最值问题 题型九、圆与圆的位置关系求参数 题型五、直线与圆相交的弦长面积问题 题型十、求两个圆的公切线方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的方程是平面解析几何核心重难点 所有题型均围绕圆标准方程、一般方程、直线与圆位置关系、圆与圆位置关系四大核心展开 解题贯穿两条底线原则 一是圆心与半径是处理圆问题的核心要素优先求出圆心坐标与半径 二是几何法优先代数法为辅涉及参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求圆的方程 典例1 （24-25高二上·四川南充·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可，由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【详解】设圆的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、， 则，解得， 即圆的方程为， 所以，圆的标准方程为． 圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线对称， 则有，解得，即． 所以，圆的标准方程为． 题型模版 1.特征：标准方程圆心半径 一般方程圆心半径（） 2.方法：1.已知圆心半径直接选用标准方程 2.已知圆上多点坐标选用一般方程列方程组求解 3.利用垂直平分线找圆心圆心到各点距离相等 4.注意检验半径满足正数条件剔除无效解 变式1-1（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 变式1-2（22-23高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________． 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，结合圆心在上，列出方程组，求出圆心和半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 由题意得：，解得：， 故所求圆的方程为，即． 故答案为：． 变式1-3（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 类型二、与圆有关的轨迹方程 典例2 （25-26高三·全国·一轮复习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，结合已知条件用点的坐标表示出点的坐标，再利用点与圆的关系，即可求解． 【详解】如图，设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标是，且是线段的中点，所以，． 于是有，， 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．    ② 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为． 题型模版 1.特征：轨迹上任意动点满足等量几何关系可转化为坐标等式 2.方法：1.直接法写出动点满足的几何条件直接化简得到方程 2.定义法满足圆定义直接写出圆方程 3.相关点法找到动点与已知曲线上点坐标关系代入曲线方程 4.消参法消去参数得到x,y关系式 5.根据题意剔除不符合条件的点 变式2-1（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）利用中点公式表示的坐标，代入曲线的方程求解即可. 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 变式2-2（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)．（除两点）. 【分析】（1）求线段中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）设坐标，由中点坐标公式得到点与点坐标的关系式，由题意可知点在（1）中的圆上，从而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 变式2-3（25-26高二上·湖北·阶段检测）若动点满足（其中点A，B是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足. (1)求点的轨迹方程并指出点的轨迹形状； (2)若直线过点且与点的轨迹相切，求直线的方程. 【答案】(1)，点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. (2)或 【分析】（1）设，利用距离公式得到方程，整理即可得解； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】（1）设，因为，，点满足， 所以， 平方化简得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. （2）当直线的斜率不存在，即直线的方程为时， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线的方程为，即； 综上所述，直线的方程为或 题型三、圆过定点的问题 典例3 （25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为． (1)当切线的长度为时，求点的坐标； (2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)圆过定点，． 【分析】（1）首先根据圆的方程求解圆心坐标及其半径，然后根据题意设，最后根据勾股定理求解参数，进而求解点的坐标； （2）设，根据，可得：经过三点的圆以为直径，进而求解其方程，最后整理化简方程并求解其所过定点坐标即可. 【详解】（1）由题意知，圆的半径，，设， 是圆的一条切线，， ，解得，， 或． （2）设，，经过三点的圆以为直径， 其方程为， 即， 由，解得或， ∴圆过定点，． 题型模版 1.特征：含参数圆方程整理为参数式子+不含参数式子 联立方程组解得定点坐标 2.方法：1.将圆方程按参数进行分组分离参数 2.令参数系数与常数项同时等于零联立求解 3.所得解代入原方程验证确保恒成立 4.多个参数可代入特殊值先求出定点再验证 变式3-1（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）证明：圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 变式3-2（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 变式3-3（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 题型四、圆外一点与圆上动点的距离最值问题 典例4 （25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 题型模版 1.特征：设圆心半径定点|PC|为定点到圆心距离 最大值 最小值 2.方法：1.先求出定点到圆心距离|PC| 2.连接定点与圆心连线和圆交点即为取得最值的动点 3.区分点在圆内圆上圆外不同情况 4.可结合两点间距离公式代数求最值辅助验证 变式4-1（2026高二·全国·专题练习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 【答案】64 【分析】根据斜率关系确定点的轨迹，结合目标式的几何意义求解即可. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：， 当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 变式4-2（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 变式4-3（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 题型五、直线与圆相交的弦长面积问题 典例5 （2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此。解得，所以的值为. 题型模版 1.特征：弦长公式，为圆心到直线距离 三角形面积 满足几何关系 2.方法：1.优先几何法计算圆心到直线距离 2.利用勾股定理求弦长 3.面积最值问题转化为弦长或距离最值求解 4.注意直线斜率不存在的特殊情况不要遗漏 变式5-1（25-26高二下·天津南开·期末）若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据条件得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 变式5-2（2026·湖北武汉·模拟预测）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 【分析】由圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，得到，进而得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接，则， 又因为，所以，即， 即，即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. 变式5-3（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 题型六、切点弦方程 典例6 （2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    题型模版 1.特征：圆圆外一点 切点弦方程 圆圆外一点 切点弦方程 2.方法：1.熟记切点弦标准形式区分切线方程与切点弦方程 2.切点弦直线是两个切点连线 3.可联立圆方程验证交点即为切点 4.注意点必须在圆外才有切点弦 变式6-1（25-26高三上·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【分析】设，得出直线方程，通过分析得出直线过定点, 点在以为直径的圆上，点到直线的距离等于点到直线的距离 减去圆的半径. 【详解】依题意，将圆化为标准式：， ，，设， 则直线为： 直线恒过点 ，点在以为直径的圆上， ，，：， 点到直线的距离为， 点到直线的距离． 变式6-2（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 【答案】 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】如图：    因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 变式6-3（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 【答案】 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 题型七、圆上的点到直线距离为定值的个数问题 典例7 （24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即， 则半径的取值范围是. 题型模版 1.特征：圆心到直线距离圆半径比较与、定值的大小关系判定点个数 作与已知直线平行距离等于的平行线判断平行线与圆交点总数 2.方法：1.计算圆心到已知直线距离 2.构造两条平行直线使其与已知直线距离等于定值 3.判断平行线与圆交点数量总和即为满足条件点个数 4.临界位置相切时交点个数单独讨论 变式7-1（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为圆的半径为，则劣弧的中点到直线的距离为， 故到直线的距离为1的点共有4个.    变式7-2（2026·河北·模拟预测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，再设出直线斜率，写出的方程，利用圆上到直线距离等于1的点有且仅有4个列出的不等式，求解的范围. 【详解】直线可化为，联立，解得，故直线l过定点. 设直线l的斜率为，则直线的方程为，即. 依题意，圆心到直线l的距离为，解得. 变式7-3（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 题型八、直线和圆相交时韦达定理的应用 典例8 （2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； （3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值． 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）略 （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 题型模版 1.特征：直线与圆联立消元得到一元二次方程 相交前提 2.方法：1.联立直线与圆方程整理为一元二次方程 2.相交前提必须满足 3.弦中点斜率向量数量积面积等问题使用韦达整体代换 4.优先考虑几何法复杂计算再选用代数联立 变式8-1（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 变式8-2（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）先由圆的一般方程通过配方得到圆心坐标，然后代入直线方程求出，从而得圆的方程； （2）根据斜率设直线方程，联立方程组，将“以AB为直径的圆恰好经过坐标原点”等价于，借助韦达定理进行转化，从而得出直线方程. 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 变式8-3（2025高二上·江苏·专题练习）已知圆C过点，且与直线相切于点 (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求t的值； (3)已知点，在直线AC上是否存在异于的定点，使得对圆C上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)存在，， 【分析】（1）利用圆的切线性质，结合给定条件，列式求出圆心坐标即可得圆的方程. （2）将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示求出值. （3）设出点坐标，利用两点间距离公式列式并化简，借助恒成立建立方程组求解即得. 【详解】（1）过点与直线垂直的直线方程为， 则，解得，依题意，圆的圆心在直线上， 设圆心，则， 解得，因此圆心为，半径，所以圆C的方程为. （2）设，则， 由，得，，解得， 则，， 因此，解得.，所以. （3）假设在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，有（为正常数）， 由点在直线上，设，，设，则， ， 则，而，解得，， 所以存在满足条件的定点，此时. 题型九、圆与圆的位置关系求参数 典例9 （25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． 题型模版 1.特征：设两圆圆心距半径 外离 外切 相交 内切 内含 2.方法：1.求出两圆圆心坐标半径计算圆心距 2.根据位置关系列出对应不等式求解参数 3.区分相切包含外切内切两种临界情况 4.检验半径恒正的隐藏限制条件 变式9-1（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 变式9-2（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 变式9-3（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 题型十、求两个圆的公切线方程 典例10 （25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 题型模版 1.特征：公切线满足圆心到直线距离分别等于各自圆半径 分为外公切线与内公切线两类 2.方法：1.设切线方程斜率存在与不存在分开讨论 2.根据圆心到直线距离等于半径列方程求解参数 3.两圆外公切线内公切线分开求解 4.斜率不存在时单独验证竖直线是否为公切线 变式10-1（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 变式10-2（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 变式10-3（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知、、三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】点在圆上，设，则， 则， ， ， 相加得： . 由于，得，则，即取值范围为. 因此，4、6、8均可取到，而10不在范围内，不可能取到. 2．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 3．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 二、多选题 4．（25-26高二下·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（   ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或 【答案】ABD 【分析】先由切线长公式将表示为的平方根，配方法直接得最小值即可判断A；再由弦长为直径推出直线过圆心，代入方程得从而判断B；接着利用直线与圆的位置关系，不可能出现3个，从而否定C；最后，圆上恰有2个点到直线距离为2，等价于圆心到直线距离满足，代入距离公式解绝对值不等式即可判断D. 【详解】解：由题意，在圆中，，半径， 对于A选项，过作圆的切线，切点为， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； 对于B选项，由中点为，则，所以直线的方程为， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； 对于C选项，圆上有三个点到直线距离等于，由于圆半径是，这等价于圆与两条距离直线为的平行线有三个交点，则两平行直线的距离为2，不可能有一条直线有两个交点，一条直线有一个交点，所以不存在满足题意，故C错误； 对于D选项，因为圆上有且只有两个点到直线的距离都为2， 所以圆心到直线即的距离大于1小于3． 即，解得：或，故D正确． 三、填空题 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】由两点间的距离得，代入，化简即可求解. 【详解】由题意得， 由题意得，则， 整理可得， 化简得， 则动点P的轨迹方程为． 6．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 7．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 8．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 【答案】2 【分析】由圆外一点的切点弦方程得直线，计算弦长及到距离，表示出三角形面积；代入已知值后简化求解. 【详解】圆，外点，根据切点弦方程公式，得的方程为. 与交于，，点到的距离为. 的面积， 代入，得，两边平方得. 令，则，展开得 ，即. 二次式判别式，故，即，（负根舍去）. 因此 .    10．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【分析】先由弦长求出直线方程，再得到，两点坐标，从而求出C，D两点坐标，得到C，D两点的距离. 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】9，（满足即可，答案不唯一） 【分析】根据，可得点P的轨迹方程，又点P在圆C上，所以点P为两圆的交点，根据圆与圆的位置关系，即可得答案. 【详解】因为，， 所以点P的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆， 则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且， 所以，解得. 12．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行求解即可. 【详解】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高二上·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求圆心关于直线的对称点，再分析可知圆上存在点使得其对称点在圆上等价于以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，最后利用两圆位置关系的判定条件列不等式，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】，，，(写一条即可） 【分析】设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即得答案. 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）求经过两点，且圆心C在直线上的圆的标准方程． 【答案】 【分析】解法1：设圆的标准方程为，再利用待定系数法求出圆心和半径，然后得到圆的标准方程；解法2：根据圆心在的垂直平分线，结合圆心C在直线上，联立得到圆心坐标，进而求出半径，然后得到圆的标准方程． 【详解】解法1 ：设该圆的标准方程为． 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ， ，得， 化简、整理，得 ⑤， 联立③⑤解得 ， 代入①，得 ， 故所求圆的标准方程为 （如图（1））． 解法2： 如图（2），连接，作的垂直平分线交于点D， 则圆心C是线段的垂直平分线与直线l的交点． 线段的垂直平分线的方程为． 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组， 解得，即圆心C的坐标为． 又该圆经过点A，则 ， 故所求圆的方程为． 16．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算即可求解； （2）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算，并代入检验即可. 【详解】（1）设点.由， 可得，整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 可得，解得 (舍去)或，所以. 设点，因为， ， 所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 17．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 18．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知点，，. (1)求外接圆的方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解； （2）求出对称点，利用点到直线的距离求解. 【详解】（1）设所求圆的方程为. 则  解得 故所求圆的方程为. （2）因为点关于直线的对称点为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为. 19．（25-26高一下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； (2) (3) 【分析】（1）设 ，将 两边平方，展开后对配方，即可化为圆的标准方程，即可直接读出圆心坐标和半径； （2）利用（1）中所得可得圆C方程，及其圆心坐标与半径，再利用切线性质计算即可得； （3）由题意可得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形性质与点到直线距离公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 20．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【分析】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【详解】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求圆的方程 题型六、切点弦方程 题型二、与圆有关的轨迹方程 题型七、圆上的点到直线距离为定值的个数问题 题型三、圆过定点的问题 题型八、直线和圆相交时韦达定理的应用 题型四、圆外一点与圆上动点的距离最值问题 题型九、圆与圆的位置关系求参数 题型五、直线与圆相交的弦长面积问题 题型十、求两个圆的公切线方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的方程是平面解析几何核心重难点 所有题型均围绕圆标准方程、一般方程、直线与圆位置关系、圆与圆位置关系四大核心展开 解题贯穿两条底线原则 一是圆心与半径是处理圆问题的核心要素优先求出圆心坐标与半径 二是几何法优先代数法为辅涉及参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求圆的方程 典例1 （24-25高二上·四川南充·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为______． 题型模版 1.特征：标准方程圆心半径 一般方程圆心半径（） 2.方法：1.已知圆心半径直接选用标准方程 2.已知圆上多点坐标选用一般方程列方程组求解 3.利用垂直平分线找圆心圆心到各点距离相等 4.注意检验半径满足正数条件剔除无效解 变式1-1（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 变式1-2（22-23高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________． 变式1-3（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 类型二、与圆有关的轨迹方程 典例2 （25-26高三·全国·一轮复习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 题型模版 1.特征：轨迹上任意动点满足等量几何关系可转化为坐标等式 2.方法：1.直接法写出动点满足的几何条件直接化简得到方程 2.定义法满足圆定义直接写出圆方程 3.相关点法找到动点与已知曲线上点坐标关系代入曲线方程 4.消参法消去参数得到x,y关系式 5.根据题意剔除不符合条件的点 变式2-1（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 变式2-2（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 变式2-3（25-26高二上·湖北·阶段检测）若动点满足（其中点A，B是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足. (1)求点的轨迹方程并指出点的轨迹形状； (2)若直线过点且与点的轨迹相切，求直线的方程. 题型三、圆过定点的问题 典例3 （25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为． (1)当切线的长度为时，求点的坐标； (2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：含参数圆方程整理为参数式子+不含参数式子 联立方程组解得定点坐标 2.方法：1.将圆方程按参数进行分组分离参数 2.令参数系数与常数项同时等于零联立求解 3.所得解代入原方程验证确保恒成立 4.多个参数可代入特殊值先求出定点再验证 变式3-1（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 变式3-2（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 变式3-3（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 题型四、圆外一点与圆上动点的距离最值问题 典例4 （25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 题型模版 1.特征：设圆心半径定点|PC|为定点到圆心距离 最大值 最小值 2.方法：1.先求出定点到圆心距离|PC| 2.连接定点与圆心连线和圆交点即为取得最值的动点 3.区分点在圆内圆上圆外不同情况 4.可结合两点间距离公式代数求最值辅助验证 变式4-1（2026高二·全国·专题练习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 变式4-2（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 变式4-3（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 题型五、直线与圆相交的弦长面积问题 典例5 （2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 题型模版 1.特征：弦长公式，为圆心到直线距离 三角形面积 满足几何关系 2.方法：1.优先几何法计算圆心到直线距离 2.利用勾股定理求弦长 3.面积最值问题转化为弦长或距离最值求解 4.注意直线斜率不存在的特殊情况不要遗漏 变式5-1（25-26高二下·天津南开·期末）若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 变式5-2（2026·湖北武汉·模拟预测）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 变式5-3（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 题型六、切点弦方程 典例6 （2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 题型模版 1.特征：圆圆外一点 切点弦方程 圆圆外一点 切点弦方程 2.方法：1.熟记切点弦标准形式区分切线方程与切点弦方程 2.切点弦直线是两个切点连线 3.可联立圆方程验证交点即为切点 4.注意点必须在圆外才有切点弦 变式6-1（25-26高三上·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 变式6-2（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 变式6-3（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 题型七、圆上的点到直线距离为定值的个数问题 典例7 （24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆心到直线距离圆半径比较与、定值的大小关系判定点个数 作与已知直线平行距离等于的平行线判断平行线与圆交点总数 2.方法：1.计算圆心到已知直线距离 2.构造两条平行直线使其与已知直线距离等于定值 3.判断平行线与圆交点数量总和即为满足条件点个数 4.临界位置相切时交点个数单独讨论 变式7-1（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2（2026·河北·模拟预测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-3（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、直线和圆相交时韦达定理的应用 典例8 （2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 题型模版 1.特征：直线与圆联立消元得到一元二次方程 相交前提 2.方法：1.联立直线与圆方程整理为一元二次方程 2.相交前提必须满足 3.弦中点斜率向量数量积面积等问题使用韦达整体代换 4.优先考虑几何法复杂计算再选用代数联立 变式8-1（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式8-2（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 变式8-3（2025高二上·江苏·专题练习）已知圆C过点，且与直线相切于点 (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求t的值； (3)已知点，在直线AC上是否存在异于的定点，使得对圆C上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 题型九、圆与圆的位置关系求参数 典例9 （25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 题型模版 1.特征：设两圆圆心距半径 外离 外切 相交 内切 内含 2.方法：1.求出两圆圆心坐标半径计算圆心距 2.根据位置关系列出对应不等式求解参数 3.区分相切包含外切内切两种临界情况 4.检验半径恒正的隐藏限制条件 变式9-1（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式9-2（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式9-3（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十、求两个圆的公切线方程 典例10 （25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 题型模版 1.特征：公切线满足圆心到直线距离分别等于各自圆半径 分为外公切线与内公切线两类 2.方法：1.设切线方程斜率存在与不存在分开讨论 2.根据圆心到直线距离等于半径列方程求解参数 3.两圆外公切线内公切线分开求解 4.斜率不存在时单独验证竖直线是否为公切线 变式10-1（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 变式10-2（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 变式10-3（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知、、三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（25-26高二下·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（   ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或 三、填空题 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 6．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 7．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 8．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 10．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 12．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 13．（25-26高二上·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 14．（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）求经过两点，且圆心C在直线上的圆的标准方程． 16．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 17．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 18．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知点，，. (1)求外接圆的方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. 19．（25-26高一下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 20．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $