4.1 函数 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“函数”同步练，分两课时构建“知识梳理+基础训练”三阶巩固路径，适配新授课分层教学，强化抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解层|常量变量、函数定义、表示方法|知识梳理配易错警示，夯实概念辨析能力| |基础应用层|函数判断、自变量取值范围、函数值计算|选择填空聚焦单一考点，强化推理意识| |综合实践层|实际问题建模、图象信息解读|解答题结合生活情境，发展模型应用能力|

北师大版数学八年级上册 第四章　一次函数 1　函数　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第四章第 1 节“函数”编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　函数的概念、自变量与因变量； 第 2 课时　函数的三种表示方法、自变量的取值范围与函数值。 说明：本节只研究“变量之间的对应关系”，一次函数的表达式 及其图象与性质将在第 2、3 节学习，本作业不涉及；求自变量取值范围时，只出现整式、分式与二次根式三种最基本的情形。 1　函数　　第 1 课时　函数的概念与自变量、因变量 一、知识梳理 1．常量与变量　在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；数值发生变化的量叫做变量。 例如在 中， 是常量， 与 是变量。 2．函数的概念　一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个值，变量 都有唯一确定的值与它对应，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 3．判断“ 是不是 的函数”的关键　看“一个 是否只对应一个 ”： （1）一个 对应一个 　→　是函数； （2）一个 对应两个或多个 　→　不是函数； （3）不同的 对应同一个 　→　仍然是函数（如 ）。 4．用图象判断是否为函数　在图象上，过 轴上任意一点作 轴的平行线，若与图象最多只有一个交点，则 是 的函数。 判断下列图象中 是否为 的函数 5．函数值　对于自变量 的一个确定的值 ，因变量 所对应的值叫做当 时的函数值。求函数值就是代入并计算。 【易错警示】 ① 函数研究的是两个变量之间的关系，常量不是函数的自变量。 ② “唯一确定”是关键： 中 是 的函数；但由 得 ，一个正数 对应两个 ，此时 不是 的函数。 ③ 自变量与因变量不能颠倒：说“ 是 的函数”，则 是自变量。 ④ 圆的周长公式 中， 和 都是常量，只有 与 是变量。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 在圆的面积公式 中，下列说法正确的是（　　） A．、、 都是变量　　　　　　B． 是常量，、 是变量 C． 是常量，、 是变量　　　D． 是常量，、 是变量 2． 汽车以 的速度匀速行驶，行驶路程 （）与时间 （）之间的关系是 ，其中自变量是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 与 3． 下列关系中， 不是 的函数的是（　　） A．　　B．　　C．（）　　D． 4． 下列图象中， 是 的函数的是（　　） 第 4 题图 A．图 ①、图 ②　　B．图 ②、图 ③　　C．图 ③、图 ④　　D．图 ①、图 ④ 5． 已知函数 ，当 时，函数值 等于（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做＿＿＿＿＿＿，数值发生变化的量叫做＿＿＿＿＿＿。 7． 某种苹果每千克售价 元，购买 千克应付 元，则 与 之间的关系式是 ＿＿＿＿＿＿，其中自变量是＿＿＿＿。 8． 一个三角形的底边长为 ，高为 ，面积为 ，则 与 之间的关系式是 ＿＿＿＿＿＿。 9． 已知函数 ，当 时，＿＿＿＿；当 时，＿＿＿＿。 10． 如图，长方形的周长是 ，一边长为 ，与它相邻的一边长为 ，则 与 之间的关系式是 ＿＿＿＿＿＿。 第 10 题图 （三）解答题（共 60 分） 11．（14 分）指出下列各变化过程中的常量与变量，并说明谁是自变量、谁是因变量。 （1）小明骑车的速度是 ，行驶路程 （）与时间 （）满足 ； （2）正方形的面积 与边长 满足 ； （3）一根蜡烛原长 ，每小时燃烧 ，剩余长度 （）与燃烧时间 （）满足 。 12．（14 分）判断下列各式中 是否是 的函数，并说明理由。 （1）；　　（2）；　　（3）（）；　　（4）。 13．（16 分）某水果店销售一种水果，每千克 元。设购买量为 （千克），应付款为 （元）。 （1）写出 与 之间的关系式； （2）指出其中的常量与变量，并说明谁是自变量； （3）求当 时的函数值，并说明它的实际意义； （4）若某顾客付款 元，他买了多少千克水果？ 14．（16 分）如图是某地某天气温 （）随时间 （时）变化的图象。 第 14 题图 （1）这个变化过程中有哪两个变量？谁是自变量？ （2）当 时，气温是多少？当气温是 时， 是多少？ （3）这一天的最高气温和最低气温分别是多少？分别出现在什么时刻？ （4）由这个图象能说明 是 的函数吗？为什么？ 1　函数　　第 2 课时　函数的表示方法与自变量的取值范围 一、知识梳理 1．函数的三种表示方法 （1）列表法：用表格列出自变量的值和对应的函数值。优点是对应值一目了然，缺点是只能列出有限个值。 （2）关系式法（解析法）：用等式表示两个变量之间的关系，如 。优点是简明、便于计算。 （3）图象法：用图象直观地表示两个变量之间的关系。优点是变化趋势直观，缺点是读数往往是近似值。 2．自变量的取值范围　使函数有意义的自变量的全体取值。常见的三种情形： （1）关系式是整式：自变量可以取全体实数，如 ； （2）关系式是分式：分母不能为 ，如 中 ； （3）关系式含二次根式：被开方数为非负数，如 中 。 （4）实际问题中还要符合实际意义，如时间、长度、人数等一般要求非负，人数还必须是整数。 3．由图象获取信息　看图象要抓三点：横轴、纵轴各表示什么量；关键点（起点、拐点、终点）的坐标；图象上升、下降或水平各表示什么实际意义。 【易错警示】 ① 求自变量取值范围时，若同时含分式与二次根式，两个条件必须同时满足。 ② 实际问题中不要忘记“符合实际意义”这一条，如人数不能为负数或小数。 ③ 图象中水平的线段表示因变量保持不变，不是“停止变化的时间为 ”。 ④ 函数值是因变量的值，求“函数值”与求“自变量的值”是两个方向相反的问题。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 函数 中，自变量 的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2． 函数 中，自变量 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 下列表示函数的方法中，最能直观反映变化趋势的是（　　） A．列表法　　B．关系式法　　C．图象法　　D．三种都一样 4． 一个长方形的周长是 ，一边长为 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 已知函数 ，则当 时的函数值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 函数的三种表示方法分别是＿＿＿＿法、＿＿＿＿法和＿＿＿＿法。 7． 函数 中，自变量 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 8． 函数 中，自变量 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 9． 函数 中，自变量 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 10． 某班共有 名同学，其中男生 名，女生 名，则 ＿＿＿＿＿＿，自变量 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（共 60 分） 11．（14 分）求下列函数中自变量 的取值范围。 （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 12．（14 分）某种练习本每本 元，小华买了 本，共花费 元。 （1）用关系式法表示 与 的关系，并写出自变量 的取值范围； （2）用列表法列出 分别取 、、、、 时 的值； （3）若小华共花了 元，他买了多少本？ 13．（16 分）如图是小明从家骑车去图书馆的路程 （千米）与时间 （分）的函数图象。 第 13 题图 （1）自变量与因变量分别是什么？自变量的取值范围是什么？ （2）小明家到图书馆的路程是多少千米？他一共用了多少分钟？ （3）图中有一段水平线段，它表示什么实际意义？这段时间有多长？ （4）小明出发后前 分钟的平均速度是多少千米/分？ 14．（16 分）一个圆柱形容器中原有水 ，现以每分钟 的速度向外放水，设放水时间为 （分），容器中剩余水量为 （）。 第 14 题图 （1）写出 与 之间的关系式； （2）求自变量 的取值范围； （3）列表表示当 取 、、、 时 的值； （4）多长时间后容器中的水恰好放完？ 参考答案与解析 第 1 课时　函数的概念与自变量、因变量 一、选择题 1．B　【解析】在 中， 是一个固定的数，属于常量；面积 随半径 的变化而变化，两者都是变量。 2．C　【解析】路程 随时间 的变化而变化，所以 是自变量， 是因变量， 是常量。 3．C　【解析】由 得 ，例如当 时， 或 ，一个 对应了两个 ，不满足“唯一确定”，所以 不是 的函数。 A、B、D 中每取一个 ， 都只有一个值，都是函数。 4．A　【解析】图 ① 是一条直线，图 ② 是抛物线，过 轴上任意一点作 轴的平行线，与它们都只有一个交点，所以 是 的函数； 图 ③ 是竖直的直线，一个 对应无数个 ；图 ④ 中一个 对应两个 ，都不是函数。 5．A　【解析】把 代入，得 。 二、填空题 6． 常量；　变量 7． ；　 【解析】总价 单价 数量，所以 ，购买量 是自变量。 8． 【解析】三角形的面积等于底与高的乘积的一半，。 9． ；　 【解析】当 时，； 当 时，，，解得 。 10． 【解析】长方形周长等于相邻两边和的 倍，所以 ，即 ，所以 。 三、解答题 11．（14 分） （1）常量是 ；变量是 与 。时间 是自变量，路程 是因变量。 （2）没有常量（指数 不是变化过程中的量）；变量是 与 。边长 是自变量，面积 是因变量。 （3）常量是 与 ；变量是 与 。燃烧时间 是自变量，剩余长度 是因变量。 【方法总结】在关系式中，具体的数通常是常量，用字母表示且会变化的量是变量；“谁随谁变”就说明谁是自变量。 12．（14 分） （1）是。对于 的每一个值， 都只有一个确定的结果，所以 是 的函数。 （2）是。每取一个 ， 的值唯一确定。（注意：不同的 可能对应同一个 ，如 与 时 都是 ，这并不影响它是函数。） （3）不是。由 得 ，例如 时 或 ，一个 对应两个 。 （4）是。无论 取什么值， 都等于 ，仍然是“唯一确定”，这样的函数叫做常函数。 13．（16 分） （1）。 （2）常量是 ；变量是 与 。购买量 是自变量，应付款 是因变量。 （3）当 时，。 它的实际意义是：买 千克这种水果需要付款 元。 （4）由 得 ，所以他买了 千克水果。 14．（16 分） （1）两个变量是时间 与气温 ，其中时间 是自变量，气温 是因变量。 （2）由图象，当 时，；当 时，（时）。 （3）最高气温是 ，出现在 时；最低气温是 ，出现在 时。 （4）能。因为对于每一个确定的时刻 ，都有唯一确定的气温 与它对应，符合函数的定义。 【方法总结】读函数图象要“三看”：一看横轴、纵轴表示什么；二看关键点（最高点、最低点、转折点）；三看图象的升降表示因变量怎样变化。 第 2 课时　函数的表示方法与自变量的取值范围 一、选择题 1．B　【解析】分式的分母不能为 ，所以 ，即 。 2．B　【解析】二次根式的被开方数必须非负，所以 ，解得 。 易错点：这里能取到 ，因为 有意义。 3．C　【解析】图象法能直观地反映因变量随自变量变化的趋势，这是它最大的优点。 4．B　【解析】周长 ，则相邻两边的和为 ，另一边长为 。 由边长为正得 且 ，所以 。 5．A　【解析】把 代入，得 。 二、填空题 6． 列表；　关系式（解析）；　图象 7． 全体实数（ 为任意实数） 【解析】关系式是整式， 取任何实数都有意义。 8． 【解析】由 得 。 9． 【解析】由 得 ，解得 。 10． ；　 且 为整数 【解析】男、女生人数之和为 ，所以 。因为人数不能为负且必须是整数，所以 取 到 之间的整数。 三、解答题 11．（14 分） （1）关系式是整式，所以 可以取全体实数。 （2）分母不能为 ，由 得 。 （3）被开方数非负，由 得 。 （4）两个条件必须同时满足：由 得 ；由 得 。 所以自变量的取值范围是 且 。 【方法总结】求取值范围口诀：分母不为零，根号内非负，实际要合理；多个条件同时出现时取公共部分。 12．（14 分） （1），其中 是购买的本数，所以 取非负整数（若必须买，则 取正整数）。 （2）列表如下： （本） （元） （3）由 得 ，所以他买了 本。 13．（16 分） （1）自变量是时间 （分），因变量是路程 （千米）。由图象可知 的取值范围是 。 （2）由图象最高点 可知，小明家到图书馆的路程是 千米，一共用了 分钟。 （3）水平线段表示路程没有增加，即小明在这段时间内停留（休息）了。这段时间从第 分到第 分，共 （分）。 （4）前 分钟行驶了 千米，平均速度为 （千米/分）。 【方法总结】在路程—时间图象中，线段越陡表示速度越快，水平线段表示停止不动。 14．（16 分） （1）已放出的水量为 ，所以 。 （2）水量不能为负，由 得 ；又时间非负，所以 。 （3）列表如下： （分） （） （4）当 时，，解得 ，所以 分钟后水恰好放完。 【学后反思】本节的两条主线：一条是概念——判断 是不是 的函数，只看“一个 是否只对应一个 ”；另一条是方法——列表、关系式、图象三种表示各有长处，解题时常常需要在三者之间来回转换。求自变量取值范围时，既要看式子（分母、根号），也要看实际背景（非负、整数）。 学科网（北京）股份有限公司 $