4.1函数分层作业 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以C/B/A分层设计，通过基础概念理解→实际问题应用→综合实践分析的路径巩固函数知识，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |C基础巩固|函数定义、自变量取值范围|结合教材随堂练习，通过实际情境（如捐助笔记本）强化概念辨析| |B能力提升|函数关系应用、函数值计算|联系物理情境（电流热量问题），深化实际问题的数学表达| |A思维拓展|函数模型综合分析、图像应用|通过帐篷实践数据补全与图像绘制，培养数据意识与创新思维|

4.1 函数 分层作业 【知识点】 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值. 即：如果y是x的函数， 当x=a时，y=b， 那么b称为当x=a时的函数值. 函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值. 类型 特点 自变量的取值范围 举例 整式型 等式右边是关于自变量的整式 全体实数 分母型 等式右边的自变量在分母的位置上 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是开平方的式子 使被开方数不小于0的实数 零次幂、负整数次幂型 等式右边是关于自变量的零次幂或负整数次幂 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 使各部分都有意义的实数的公共部分 【练习题】 C 基础巩固 1.（1）现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数 y 和学生数 x（名）之间的关系式________________________________________， （2）自变量 x 的取值范围_______________________. 2.【教材 P77 随堂练习】下列各题中分别有几个变量？其中某个变量能看成另一个变量的函数吗？若能，请写出自变量的取值范围. （1）北京市某天气温的变化情况如图所示； （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 s m，一般地，有经验公式 s＝ ，其中 v 表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）； （3）在国内，将质量在100 g以内的普通信函投寄到外埠，应付邮资见下表： 信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100 邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 3.下列图像中表示是的函数的是（        ） A. B. C. D. B 能力提升 4.电流通过导线会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知电阻为的导线1s时间产生20J的热量，则电流的值是_______A． 5.一桶纯净水原有水量36升，日常饮用每小时消耗3升． (1)写出桶内剩余水量Q（升）与饮用时间t（小时）的函数解析式，并求出自变量t的取值范围； (2)当连续饮用5小时后，桶中还剩多少升水？ A 思维拓展 6.在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线l1旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线l1上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线l2上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度h1（单位：m）和h2（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 (1)补全表格（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 1.y = 500－ 5x （且 x 为整数） 2.（1）解：有气温和时间两个变量，可将气温T看成时间t的函数，0＜t ≤24； （2）解：有滑行距离s和刹车前汽车的速度v两个变量，可将s看成v的函数，v>0； （3）解：有信件质量m和邮资y两个变量，可将y看成m的函数，0<m≤100。 3.A 4.2 5.(1) 解：剩余水量原有水量消耗水量 函数解析式： 总用时：（小时）， 自变量取值范围： (2) 解：将代入解析式：（升） 答：连续饮用 5 小时后，桶中还剩 21 升水。 【答案】 (1) 补全表格如下：2.70 (2) 根据表格数据描点，连线，画图如下： (3) ①；② 【解析】 (1) 解：观察表格可知：为定值， 当时，； 补全表格如上。 故答案为： (2) 略 (3) ①由图象可知：当时，， 当时，， 他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ②由图象可知，随着x的增加而增加，且增加的速度越来越慢， 当增加的高度相同时，自变量的差值变得越来越大， ，且， 甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：。 学科网（北京）股份有限公司 $