26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，引导学生掌握抛物线的画法、开口方向、对称轴及顶点坐标，通过前置补偿复习二次函数定义和作图步骤，类比一次函数k的作用猜想a的影响，搭建前后知识联系的学习支架。 以“画图探究—对比分析—归纳总结”为主线，学生经历描点连线、小组互查质疑等过程，培养几何直观和推理意识，分层作业设计满足不同学习需求，助力学生理解a对抛物线的影响及数形结合思想，提升数学思维与表达能力。

26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质导学案解析版】 【学习目标】 1. 知识与技能：会用描点法画最简单二次函数 y=ax²(a≠0) 的图象，认识抛物线，准确说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。 2. 过程与方法：类比一次函数 y=kx+b (k≠0) 中比例系数 k 的作用，经历列表、描点、画图、观察对比、归纳性质完整过程，体会数形结合、类比思想。 3. 情感态度：能由系数 a 的正负、|a | 大小判断抛物线变化，会利用性质解决简单比较函数值问题，落实课本探究编排逻辑。 学习重点：画 y=ax² 的图象；归纳抛物线 y=ax² 图象性质。 学习难点：理解系数 a 对抛物线开口方向、开口宽窄的影响；体会由特殊到一般的探究思想。 【前置补偿】 1. 二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0），其中 a≠0。 1. 画函数图象的三步骤：列表、描点、连线。 2. 回忆一次函数 y=kx+b (k≠0) ①图象是一条直线； ②比例系数 k 决定直线倾斜方向：k>0，直线从左向右上升；k<0，直线从左向右下降； ③|k | 越大，直线倾斜程度越陡。 思考：一次函数中 k 决定直线升降与陡峭程度，猜想二次函数 y=ax² 中系数 a 会对函数图象产生怎样的影响？ 答：猜想 a 正负决定抛物线开口方向，|a | 大小决定抛物线开口宽窄。 【学生自学 】 阅读课本，遵循课本编者思路：先研究最简单特殊二次函数 y=x²，再研究 y=1/2x²、y=2x²；接着研究 y=-x²、y=-2x²，最后归纳得到一般 y=ax²(a≠0) 的图象性质。 探究一：画二次函数 y=x² 的图象 步骤 1：列表，计算填写下表 表格 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x² … 9 4 1 0 1 4 9 … 步骤 2：描点：在空白平面直角坐标系中，把表格每一组 (x,y) 对应的点描出来。 步骤 3：连线：用平滑的曲线，按照自变量由小到大顺序，顺次连接描出的各点，得到函数 y=x² 的图象。 观察你自己画出 y=x² 图象，独立完成填空： ①函数图象形状叫做抛物线； ②开口方向：向上； ③对称轴：直线 x=0（y 轴）； ④顶点坐标：(0，0)； ⑤当 x=0 时，y 取得最小值，这个值是 0； ⑥增减性：当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小。 【小组互查质疑】 小组同学互相查看画图成果，交流纠错： 1. 列表计算 y 值计算是否出错； 2. 描点位置是否准确； 3. 连线是否使用平滑曲线，禁止画成折线； 4. 对称轴、顶点观察结论是否正确。 本组发现的典型错误记录： 参考常见错误：对称轴只写 y 轴；连线画成折线；函数值计算错误。 探究二：继续画图，对比研究 y=1/2x²、y=2x² 在同一个空白平面直角坐标系内，仿照上面的方法，画出 y=1/2x² 与 y=2x² 的图象。 思考课本问题： 1. 这两个函数图象开口方向向上，对称轴都是直线 x=0，顶点都是 (0,0)。 2. 对比 y=x²，y=1/2x²，y=2x² 三个图象，|a | 变大，抛物线开口变窄。 探究三：对比研究 y=-x²、y=-2x² 再在同一个空白平面直角坐标系，画出 y=-x² 与 y=-2x² 图象。 思考问题： 1.a 为负数，抛物线开口向下。 2.|a | 增大，开口同样变窄。 【知识点归纳】 综合上面三组画图探究，得到一般二次函数 y=ax²(a≠0) 图象与性质： 1. 图象名称：y=ax²(a≠0) 的图象叫做抛物线。 2. 对称轴：直线 x=0（y 轴）；顶点坐标：(0，0)。 3. 当 a>0： 抛物线开口向上；顶点是抛物线的最低点； x=0 时，y 取得最小值，值为 0； x>0，y 随 x 增大而增大； x<0，y 随 x 增大而减小。 4. 当 a<0： 抛物线开口向下；顶点是抛物线的最高点； x=0 时，y 取得最大值，值为 0； x>0，y 随 x 增大而减小； x<0，y 随 x 增大而增大。 5. 系数 a 的作用（类比一次函数 k） ①a 的正负决定：抛物线开口方向； ②|a | 大小决定：|a | 越大，抛物线开口越窄；|a | 越小，抛物线开口越宽。 思考类比迁移：一次函数 | k | 越大直线越陡；二次函数 | a | 越大抛物线开口越窄，体会两个函数之间异同。 答：二者都是系数绝对值影响图象陡峭 / 宽窄；k 决定直线升降；a 正负决定抛物线开口朝向。 【自学感悟】 例 在同一直角坐标系中，画出函数 y=2x² 与 y=-2x² 的图象，分别说出开口方向、对称轴、顶点坐标。 y=2x²：开口方向向上；对称轴直线 x=0（y 轴）；顶点坐标 (0，0)。 y=-2x²：开口方向向下；对称轴直线 x=0（y 轴）；顶点坐标 (0，0)。 思考：y=2x² 与 y=-2x² 两个图象有怎样位置关系？ 答：两个图象关于 x 轴对称。 【自学小测】 1. 抛物线 y=-3x²，开口方向向下，对称轴直线 x=0 (y 轴)，顶点坐标 (0,0)；当 x=0，函数有最大值，等于 0。 2. 已知抛物线 y=5x²，x₁=-2，x₂=3，比较 y₁与 y₂大小：y₁＜y₂。 解：y₁=5×(-2)²=20，y₂=5×3²=45，20＜45。 【合作学习 课堂研讨】 1. 画抛物线的时候，为什么必须用平滑曲线连接，不能连成折线？ 答：二次函数自变量 x 可以取任意实数，函数点连续变化，图象是光滑曲线，折线会歪曲图象。 2. 对比 a>0 和 a<0 两种情况，抛物线增减性有什么不同？结合自己画图象说明。 答：a>0：x<0 递减，x>0 递增；a<0：x<0 递增，x>0 递减。 3. 结合一次函数 y=kx+b，说一说 y=ax² 中 a 起到什么作用。 答：a 正负定开口方向；|a | 定开口宽窄；类似 k 正负定直线升降，|k | 定直线陡峭程度。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 对称轴写完整：直线 x=0（y 轴），不能只写 y 轴；顶点写有序数对 (0,0)。 2. a>0 开口向上，有最小值；a<0 开口向下，有最大值，最值都在顶点处。 3. |a |只改变开口大小，不改变对称轴、顶点坐标。 4. 画图：自变量 x 取值兼顾负数、0、正数，描点之后平滑曲线连接。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 探究路径：y=x²（特殊）→y=1/2x²、y=2x²；y=-x²、y=-2x²→y=ax²(a≠0)（一般），数学思想：由特殊到一般、数形结合、类比迁移。 2. y=ax²(a≠0)：抛物线，对称轴直线 x=0，顶点 (0,0)。 3. a>0 开口向上；a<0 开口向下；|a | 越大开口越窄。 4. 增减性分 x>0、x<0 两段描述，结合图象记忆。 【课内自测】 1. 抛物线 y=1/4x²，开口方向向上，对称轴直线 x=0 (y 轴)，顶点坐标 (0,0)；x=0，y 有最小值 = 0。 2. 抛物线 y=ax² 开口向下，则 a 取值范围：a＜0。 3. 抛物线 y=-2x²，x₁=-1，x₂=2，比较 y₁与 y₂大小：y₁＞y₂。 解：y₁=-2，y₂=-8，-2＞-8。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 填空：抛物线 y=-5x²，开口方向向下，对称轴直线 x=0 (y 轴)，顶点坐标 (0,0)，当 x=0，函数取得最大值为 0。 2. 抛物线 y=3x²，说出 x>0、x<0 时，y 随 x 的变化情况。 解：x>0，y 随 x 增大而增大；x<0，y 随 x 增大而减小。 B 组【能力提升・选做】 3.已知抛物线 y=(m-2) x^{m²-3} 是开口向上的二次函数，求 m 的值。 解： {m²−3=2 {m−2>0 m²=5，m=√5 或 m=−√5；又 m>2，∴m=√5。 4.点 A (-3,y₁)，B (-1,y₂) 都在抛物线 y=1/2x² 上，比较 y₁、y₂大小。 解：y₁=1/2×(-3)²=9/2，y₂=1/2×(-1)²=1/2；∴ y₁＞y₂。 C 组【拓广探索・培优】 5. 抛物线 y=ax² 经过点 A (-2,-8)，求抛物线解析式。 解：代入 x=-2，y=-8，-8=4a，a=-2；解析式：y=−2x²。 6. 对于抛物线 y=ax²，自变量 x 从 2 增加到 3，函数值增大 5，求 a 的值。 解：x=2，y₁=4a；x=3，y₂=9a；9a−4a=5，5a=5，a=1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数 y=ax² 的图象，知道二次函数图象是抛物线。 2. 掌握二次函数y=ax² 的图象性质：开口方向、对称轴、顶点坐标。 3. 理解系数a 对抛物线 y=ax² 的影响，a 的正负决定开口方向，|a | 决定开口大小。 4. 能够利用 y=ax² 的图象性质比较函数值大小，体会数形结合思想。 学习重点：画 y=ax² 的图象；掌握 y=ax² 图象与性质。 学习难点：理解a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响；利用图象性质比较函数值。 【前置补偿】 1.什么叫二次函数，写出二次函数的一般形式：________________________________ 2.画函数图象的三个步骤是什么？ 3. 回忆一次函数 y=kx+b (k≠0)： ①一次函数图象是________； ②其中比例系数k决定直线的倾斜方向：当 k＞0 时，直线从左向右____；当 k＜0 时，直线从左向右____； ③|k | 越大，直线倾斜程度越 。 思考：一次函数中 k 决定直线倾斜方向与陡峭程度，猜想二次函数中系数 a 会对抛物线产生什么影响？ 【学生自学】 （阅读课本 26.2.1 二次函数 y=ax² 的图象和性质） 1、 情境引入 探究一：画二次函数 y=x² 的图象 我们先来研究最简单的二次函数 y=x² 的图象。 步骤 1：列表，选取若干 x 的值，计算对应的 y 值，填写表格。 步骤 2：描点：在平面直角坐标系中描出上面每一组 (x，y) 对应的点。 步骤 3：连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到 y=x² 的图象。 观察 y=x² 图象： ①图象形状是________； ②开口向________； ③对称轴是________； ④顶点坐标是________； ⑤当 x 取何值时，y 有最小值，最小值是多少？ 【小组互查质疑】 小组交换导学案互相检查： ①列表取值计算有没有错误；②描点连线是否用平滑曲线，不要画成折线； ③顶点、对称轴观察是否准确。 把本组发现错误点写下来： 探究二：继续画图，对比研究 y= x²、y=2x² 在同一个空白平面直角坐标系内，仿照上面的方法，画出 y= x² 与 y=2x² 的图象。 思考课本问题： 1. 这两个函数图象开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2. 对比 y=x²，y= x²，y=2x² 三个图象，观察 | a | 变大，抛物线的开口发生怎样变化？ 探究三：继续画图，对比研究 y=-x²、y=-2x² 再在下图同一个空白平面直角坐标系中，画出 y=-x² 与 y=-2x² 图象。 思考问题： 1.a为负数时，抛物线开口方向发生什么改变？ 2. 对比 y=-x²、y=-2x²，|a | 增大，开口大小如何变化？ 【知识点归纳】 综合上面三组画图探究，总结一般二次函数 y=ax²(a≠0) 图象与性质： 1. 图象名称：y=ax²(a≠0) 的图象叫做________。 2. 对称轴： ； 3. 顶点坐标： 。 4. 当 a>0： 抛物线开口向____；顶点是抛物线的最____点； x= 时，y取得最____值，值为 ； x>0，y 随x增大而________； x<0，y随x增大而________。 5. 当 a<0： 抛物线开口向____；顶点是抛物线的最____点； x= 时，y取得最____值，值为 ； x>0，y 随x增大而________； x<0，y随x增大而________。 点睛： 系数a的作用（类比一次函数 k） ①a 的正负决定：__________________； ②|a | 大小决定：|a| 越大，抛物线开口越__；|a | 越小，抛物线开口越。 思考类比迁移：一次函数 | k | 越大直线越陡；二次函数 | a | 越大抛物线开口越 ，体会两个函数之间异同。 【自我感悟】 例 在同一直角坐标系中，画出函数 y=2x² 与 y=-2x² 的图象，分别说出开口方向、对称轴、顶点坐标。 回答：y=2x²：开口方向________；对称轴________；顶点坐标________。 y=-2x²：开口方向________；对称轴________；顶点坐标________。 思考：y=2x² 与 y=-2x² 两个图象有怎样位置关系？ 【自学小测】 1. 抛物线 y=-3x²，开口方向________，对称轴________，顶点坐标________；当 x= ，函数有最____值，等于 。 2. 已知抛物线 y=5x²，x₁=-2，x₂=3，比较 y₁与 y₂大小：________________。 【合作学习 课堂研讨】 1. 画抛物线的时候，为什么必须用平滑曲线连接，不能连成折线？ 2. 对比 a>0 和 a<0 两种情况，抛物线增减性有什么不同？结合自己画图说明。 3. 结合一次函数 y=kx+b，说一说 y=ax² 中 a 起到什么作用。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 对称轴写完整：直线 x=0（y 轴），不能只写 y 轴；顶点写有序数对 (0,0)。 2. a>0 开口向上，有最小值；a<0 开口向下，有最大值，最值都在顶点处。 3.|a | 只改变开口宽窄，不改变对称轴、顶点坐标。 4. 画图：自变量 x 取值兼顾负数、0、正数，描点之后平滑曲线连接。 课堂笔记： 【总结提升】 （课本知识体系梳理） 1. 探究路径：y=x²（特殊）→y=x²、y=2x²；y=-x²、y=-2x²→y=ax²(a≠0)（一般），数学思想：由特殊到一般、数形结合、类比迁移。 2. y=ax²(a≠0)：抛物线，对称轴直线 x=0，顶点 (0,0)。 3. a>0 开口向上；a<0 开口向下；|a | 越大开口越窄。 4. 增减性分 x>0、x<0 两段描述，结合图象记忆。 【课内自测】 1. 抛物线 y=x²，开口方向____，对称轴________，顶点坐标________； x= ，y有最___值 = 。 2. 抛物线 y=ax² 开口向下，则a 取值范围：________。 3. 抛物线 y=-2x²，x₁=-1，x₂=2，比较 y₁与 y₂大小：________。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 填空：抛物线 y=-5x²，开口方向________，对称轴________，顶点坐标________，当 x= ，函数取得最____值为。 2. 抛物线 y=3x²，说出 x>0、x<0 时，y 随 x 的变化情况。 B 组【能力提升・选做】 3. 已知抛物线 y=(m-2) 是开口向上的二次函数，求 m 的值。 4. 点 A (-3,y₁)，B (-1,y₂) 都在抛物线 y=y=x²上，比较 y₁、y₂大小。 C 组【拓广探索・培优】 5. 抛物线 y=ax² 经过点 A (-2,-8)，求抛物线解析式。 6. 对于抛物线 y=ax²，自变量 x 从 2 增加到 3，函数值增大 5，求 a 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $