26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过复习导入衔接上节课二次函数概念，以“研究哪一方面”“怎么研究”的问题链引导学生类比已学函数研究方法，搭建从概念到图象性质的学习支架。 资料以描点法作图为基础，通过合作探究中的问题链培养学生几何直观和推理意识，结合典例、练一练及中考链接实现梯度训练，突出数形结合思想，助力学生发展数学思维与应用意识。

第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数 y = ax2 的图象和性质 【学习目标】 1.通过画图，了解二次函数 y = ax²（a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上（或向下），掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题， 2.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式 y = ax²（a≠0）与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题. 学习重点：画出二次函数 y = ax²的图象，根据函数的图象分析其性质.. 学习难点：用描点法准确画出二次函数的图象 【复习导入】 问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？ 追问1：你是怎么想到的？ 追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？ 【合作探究】 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 问题1：二次函数 y = ax² + bx + c 定义中系数 a≠0，b、c 呢？ 问题2：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的图象和性质？ 操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 自变量 x 的取值范围是什么？ (2) 函数值 y 的取值范围是什么？ (3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？可以猜测图象的对称性吗？ 探究2：用“描点法”法作图 1. 列表：在 y=x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． (能用直线连接吗？) 思考：二次函数y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑) (1) 你能描述图象的形状吗？ (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 典例精析 例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 思考 (1) 函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ (2) 当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 知识要点：对于抛物线 y = ax2 (a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即 | a |越大，抛物线的开口越小. 归纳总结 y = ax2 a＞0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 练一练 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ， 顶点是抛物线的最 点； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ； 点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________. 点 B(3，36) 关于对称轴的对称点的坐标是_________. 向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 16 (−3，36) 链接中考 1.已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( ) A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 C 探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质 合作探究 小组讨论，如何归纳总结出下表？ y = ax2 a＜0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 想一想 (1) 在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象． 观察图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？ (2) 当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即 | a |越大，抛物线的开口越小. 问题 观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？ 归纳总结 y = ax2 a＞0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？ 例2 已知二次函数y＝ax2. (1) 若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”) (2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”) (3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. 当堂反馈 1.二次函数y＝x2的图象的顶点坐标是(　　) A.(1，0) B.(0，0) C.(－1，0) D.(0，) 2.如果抛物线y＝(m－1)x2的开口向上，那么m的取值范围是(　　) A.m＞1 B.m≥1 C.m＜1 D.m≤1 3.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是(　　) A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 4.已知抛物线y＝ax2的图象如图所示，下列说法错误的是(　　) A. a＜0 B. y的最大值为0 C. 抛物线有最高点 D. a越大，抛物线开口越小 5.已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是　 　. 6.已知抛物线y＝ax2经过点A(－1，－3). (1)判断点B(1，－3)是否在此抛物线上； (2)若点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标. 参考答案 探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质 操作与思考： 探究1：(1) 全体实数 (2) y≥0 (3) 相等. 如： x =±2 时， y = 4. 猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等. 探究2：解：列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点，连线，如图所示. 思考：(1) 二次函数y = x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线y = x2 . (2) 图象是轴对称图形.这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴. (3)观察图象可以发现： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. (4)对称轴与抛物线的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0). 例1 解：列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 描点、连线，如图所示： 思考 （1） 共同点是开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点也是抛物线的最 低点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小 （2）当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 归纳总结 练一练 1. 向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 16 (−3，36) 链接中考 1. C 探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质 合作探究 如图所示： 思考 （1）共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小. （2）当a＜0时，a越小，抛物线开口越小. 问题：从二次函数y = -x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，为 (0，0). 归纳总结 想一想：二次项系数互为相反数，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称. 例2 （1）< （2）＜ （3）y1＞y2＞y3 当堂反馈 1.B　 2.A　 3.B　 4.　D　 5.　m＜3　. 6.解：(1)∵点A(－1，－3)在抛物线上， ∴由对称性可知点B在此抛物线上. (2)由题意得a＝－3，∴抛物线的解析式为y＝－3x2. 将点P(m，－6)代入，得－3m2＝－6，解得m1＝， m2＝－，∴点P的坐标为(，－6)或(－，－6). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $