26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册
26.2 二次函数的图象和性质
26.2.1 二次函数 y = ax2 的图象和性质
【学习目标】
1.通过画图，了解二次函数 y = ax²（a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上（或向下），掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题，
2.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式 y = ax²（a≠0）与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题.
学习重点：画出二次函数 y = ax²的图象，根据函数的图象分析其性质..
学习难点：用描点法准确画出二次函数的图象
【复习导入】
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
追问1：你是怎么想到的？
追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？
【合作探究】
探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质
问题1：二次函数 y = ax² + bx + c 定义中系数 a≠0，b、c 呢？
问题2：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的图象和性质？
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
(1) 自变量 x 的取值范围是什么？
(2) 函数值 y 的取值范围是什么？
(3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？可以猜测图象的对称性吗？
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探究2：用“描点法”法作图
1. 列表：在 y=x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值：
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y=x2 | … |
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| … |
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
(能用直线连接吗？)
思考：二次函数y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑)
(1) 你能描述图象的形状吗？
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
典例精析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数
，
的图象．
思考
(1) 函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2) 当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
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知识要点：对于抛物线 y = ax2 (a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即 | a |越大，抛物线的开口越小.
归纳总结
y = ax2 | a＞0 |
开口方向与大小 |
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对称性 |
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顶点与最值 |
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增减性 |
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练一练
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，
顶点是抛物线的最 点；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ；
点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________.
点 B(3，36) 关于对称轴的对称点的坐标是_________.
向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 16 (−3，36)
链接中考
1.已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( )
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1
C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
C
探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质
合作探究
小组讨论，如何归纳总结出下表？
y = ax2 | a＜0 |
开口方向与大小 |
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对称性 |
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顶点与最值 |
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增减性 |
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