4.2.1 指数函数的概念 课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 课时分层作业聚焦指数函数概念，通过基础辨析、情境应用、抽象推理三层设计，实现从概念理解到数学建模的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|指数函数定义辨析（题1-3）|以概念判断为主，强化抽象能力（如题1辨析指数函数特征）| |应用层|解析式求解与简单应用（题4-7）|结合生活情境，培养运算能力（如题4复利计算问题）| |提升层|实际情境建模与抽象函数推理（题8-10）|融入跨学科问题，发展模型意识（如题8牛奶保鲜建模）|

课时分层作业(二十九)　指数函数的概念 说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共58分 一、选择题 1．下列是指数函数的是(　　) A．y＝－3x　 B．y＝2x2－1 C．y＝ax+1　 D．y＝πx 2．若指数函数f (x)的图象过点(4，81)，则f (x)的解析式为(　　) A．f (x)＝x3　 B．f (x)＝3x C．f (x)＝　 D．f (x)＝ 3．已知函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f (1)＝(　　) A．8　 B． C．4　 D．2 4．按复利计算利息的一种储蓄，本息和y(单位：万元)与储存时间x(单位：月)满足函数关系y＝2kx+b(k，b为常数)．若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，则在第39个月时本息和是(　　) A．60万元　 B．48万元 C．36万元　 D．30万元 5．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝ax(a>0，且a≠1)，如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是(　　) A．－18　 B．－15 C．15　 D．18 二、填空题 6．若指数型函数f (x)＝b·ax满足f (1)＝6，f (3)＝24，则f (x)＝________． 7．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”由此可以得出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是________． 三、解答题 8．(13分)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时? 9．已知定义域为R的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)f (y)；②f ＝4．则满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝________． 10．(教材P115练习T2改编)已知函数y＝f (x)，x∈R，且f (0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，则函数y＝f (x)的一个解析式为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(二十九) 1．D　[根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a>0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D．] 2．B　[设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)， 由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f (x)＝3x．] 3．D　[∵函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数， ∴2a－3＝1，解得a＝2，∴f (x)＝2x， ∴f (1)＝2．故选D．] 4．B　[由函数y＝2kx+b知，若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，即 解得226k＝4，则213k＝2， 所以当x＝39时，y＝239k+b＝239k·2b＝23×6＝48， 即在第39个月时本息和是48万元． 故选B．] 5．A　[因为加密密钥为y＝ax(a>0，且a≠1)，且“3”通过加密后得到密文“2”， 所以a3＝2， 若接收方接到密文“”， 则ax＝， 所以ax＝＝2-6＝(a3)-6＝a-18， 所以x＝－18， 即若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是－18． 故选A．] 6.3×2x　[由指数型函数f (x)＝b·ax，得a>0且a≠1，由解得所以f (x)＝3×2x．] 7．y＝，x∈N，且x≥1　[由题意可得第二天截取的长度是前一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为， 剩余量y关于x的函数关系式是y＝，x∈N，且x≥1．] 8．解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)． 所以解得 所以y＝100， 所以当x＝10时，y＝100×＝64． 故在10 ℃的冰箱中保鲜时间是64小时． 9.8x　[由f (x＋y)＝f (x)f (y)，可知符合该性质的函数可以为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，又因为f ＝4，解得a＝8，所以满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝8x．] 10．f (x)＝3×　[当x增加1时函数值都以的衰减率衰减， ∴函数f (x)为指数衰减型函数模型， 令f (x)＝kx(k≠0)，又f (0)＝3， ∴k＝3，∴f (x)＝3×x．] $