2.2基本不等式（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖基本不等式12个知识点，从直接应用到高考链接，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直接应用、凑项凑系数等基础知识点|选择填空为主，基础题占比高，强化概念理解| |B组|综合应用、实际生活应用|解答题为主，情境化题型，提升问题解决能力| |C组|推广、证明|创新题型，多步骤推理，发展逻辑思维| |拓展|高考真题|高考原题，考点对应，衔接升学需求|

分层作业 2.2基本不等式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 基本不等式的直接应用 知识点02 凑项、凑系数 知识点03 分离或裂项 知识点04 常数代换 知识点05 消元法 知识点06 构建目标不等式 知识点07 基本不等式的综合应用 知识点08 基本不等式的几何关系 知识点09 基本不等式的推广 知识点10 用基本不等式证明不等式 知识点11 基本不等式的实际生活中的应用 知识点12 基本不等式的几何图形中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )基本不等式的直接应用 1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）若，，，则的最小值为_______． 3．（25-26高一上·河南·期末）已知，则的最大值为______. 4．（24-25高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ( 知识点0 2 )凑项、凑系数 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知则的最小值为（ ） A． B．0 C．4 D． 3．（2026·广西崇左·一模）若，则的（ ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 4．（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 ( 知识点0 3 )分离或裂项 1．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（ ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 2．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（ ）． A． B． C．5 D．8 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是________________. ( 知识点0 4 )常数代换 1．（25-26高一上·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．72 B．57 C．50 D．64 2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_________． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知正数、满足，则的最小值为______________. ( 知识点0 5 )消元法 1．（25-26高一上·山西晋城·期末）若正数满足，则的最小值是（ ） A．7 B．12 C．15 D．16 2．（25-26高一上·福建泉州·期末）若，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知满足，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为______. 5．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． ( 知识点0 6 )构建目标不等式 1．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D． 4．（25-26高一上·广东清远·期末）已知，且，则有（ ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 ( 知识点0 7 )基本不等式的综合应用 1．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 2．（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A．9 B．1 C． D．4 3．（25-26高三上·安徽·期末）（多选）已知正数，，满足，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（25-26高一上·福建莆田·期末）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列说法正确的有（ ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 ( 知识点0 8 )基本不等式的几何关系 1．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·安徽黄山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 4．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ） A． B． C． D． ( 知识点09 )基本不等式的推广 1．（22-23高一上·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______________． 2．（25-26高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 4．（25-26高一上·河北保定·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 5．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. ( 知识点10 )用基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 3．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). ( 知识点11 )基本不等式的实际生活中的应用 1．（25-26高一上·黑龙江·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（ ）． A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．与物品价格有关 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为mg，则（ ） A． B． C． D．以上都有可能 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(InternetofThings，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. ( 知识点12 )基本不等式的几何图形中的应用 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m. 2．（25-26高一上·广东佛山·期末）如图，矩形的周长为24，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则面积的最大值为___________． 3．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 4．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 一、单选题 1．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．3 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 4．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ） A． B．12 C． D． 5．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）无字证明即无需语言的证明（proofwithoutwords），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·期中）旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 二、多选题 7．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 8．（25-26高二下·江苏无锡·期末）已知正实数a、b满足，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 三、填空题 9．（24-25高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为________________． 10．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 四、解答题 11．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 12．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 1．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）（多选）已知，，，下列说法正确的是（ ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 6.求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知、、均为正实数，且，求的最小值； (2)已知、、、均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（2001·北京·高考真题）若实数，满足，则的最小值是（ ） A．18 B．6 C． D． 4．（2004·湖北·高考真题）已知，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 5．（2006·陕西·高考真题）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2008·浙江·高考真题）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 7．（2005·重庆·高考真题）若是正数，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．（2012·浙江·高考真题）若正数满足，则的最小值是（ ） A． B． C．5 D．6 9．（2010·重庆·高考真题）已知,，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C． D． 10．（2011·重庆·高考真题）已知，，则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 11．（2011·重庆·高考真题），在处取最小值，则（ ） A． B． C．3 D．4 12．（2009·重庆·高考真题）已知，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 13．（2011·上海·高考真题）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 14．（2010·四川·高考真题）设，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．5 15．（2013·山东·高考真题）设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 16．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 17．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 18．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 19．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为__________． 20．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 21．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 22．（2017·山东·高考真题）若直线过点，则的最小值为________． 23．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 24．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______． 25．（2019·天津·高考真题）设，，，则的最小值为__________. 26．（2015·山东·高考真题）定义运算“”：（）.当时，的最小值是_______. 27．（2014·陕西·高考真题）设，且，则的最小值为________. 28．（2011·浙江·高考真题）已知实数满足，则的最大值为___________． 29．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）若,且 （1）求的最小值； （2）是否存在，使得，并说明理由. 30．（2013·新课标Ⅱ·高考真题）设均为正数，且，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2基本不等式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 基本不等式的直接应用 知识点02 凑项、凑系数 知识点03 分离或裂项 知识点04 常数代换 知识点05 消元法 知识点06 构建目标不等式 知识点07 基本不等式的综合应用 知识点08 基本不等式的几何关系 知识点09 基本不等式的推广 知识点10 用基本不等式证明不等式 知识点11 基本不等式的实际生活中的应用 知识点12 基本不等式的几何图形中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )基本不等式的直接应用 1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由基本不等式得： ， 当且仅当时取等号， 则的最小值是. 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）若，，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由得到，代入，利用基本不等式求解. 【详解】，，， ，，， 当且仅当，即时，此时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·河南·期末）已知，则的最大值为______. 【答案】 【分析】直接由基本不等式即可求解 【详解】， 当且仅当时，等号成立． 即的最大值为， 故答案为： 4．（24-25高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. ( 知识点0 2 )凑项、凑系数 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 2．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知则的最小值为（ ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 3．（2026·广西崇左·一模）若，则的（ ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 4．（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】，根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. ( 知识点0 3 )分离或裂项 1．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（ ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 2．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（ ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是________________. 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： ( 知识点0 4 )常数代换 1．（25-26高一上·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．72 B．57 C．50 D．64 【答案】D 【分析】应用基本不等式计算求解最小值. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为． 2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 4．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知正数、满足，则的最小值为______________. 【答案】/ 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正数、满足，则. 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. ( 知识点0 5 )消元法 1．（25-26高一上·山西晋城·期末）若正数满足，则的最小值是（ ） A．7 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意可得：，代入中化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 故选：A． 2．（25-26高一上·福建泉州·期末）若，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出，于是得出，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】由可得，由于，，则，可得， 所以，故， 当且仅当时，即当时，此时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知满足，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】令，则，化简，利用基本不等式即可 【详解】由，得． 令，则，解得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 故选：D． 4．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 5．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由条件等式求得，将所求式变形用的代数式表示，借助于换元，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，x，y均为正实数，可得，解得， 因， 则，设，则，且， 则， 因，当且仅当时等号成立， 故，即当时，的最小值为. 故答案为：. ( 知识点0 6 )构建目标不等式 1．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合基本不等式可得，，进而可得最小值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 3．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 4．（25-26高一上·广东清远·期末）已知，且，则有（ ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 【答案】A 【分析】等式可化为，再利用基本不等式代入求解即可． 【详解】， 即， ，，当且仅当时取等， ， 解得，当且仅当时取等， 则有最大值，无最小值． 故选：A． ( 知识点0 7 )基本不等式的综合应用 1．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 2．（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 3．（25-26高三上·安徽·期末）（多选）已知正数，，满足，则（ ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于ABC，利用基本不等式即可判断；对于D，根据消元，结合二次函数的最值即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确． 对于C，， ， 当且仅当即时，等号成立，故C正确． 对于D，， ，， 当时有最小值，故D正确． 故选：BCD. 4．（25-26高一上·福建莆田·期末）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据基本不等式判断A、B、C，根据，利用二次函数性质判断D． 【详解】对于A，由，则， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，由，则， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，所以 所以， 当时，取得最小值，最小值为，故D错误． 5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列说法正确的有（ ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. ( 知识点0 8 )基本不等式的几何关系 1．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 2．（22-23高一上·安徽黄山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以， 故选：D. 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 4．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. ( 知识点09 )基本不等式的推广 1．（22-23高一上·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______________． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 2．（25-26高一上·山西太原·期中）将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】利用两次基本不等式求出的最小值，再建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】若，则恒成立， 令，则可化为， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时， 则，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得（负根舍去）， 代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足， 即，可得，解得. 故答案为： 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解； （3）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解； 【详解】（1），由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （3）由，，由， 知； 当且仅当时，取到最小值. 4．（25-26高一上·河北保定·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)36；(3). 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. ( 知识点10 )用基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 3．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）． 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）略 （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. ( 知识点11 )基本不等式的实际生活中的应用 1．（25-26高一上·黑龙江·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（ ）． A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．与物品价格有关 【答案】D 【分析】设两次购买此种商品的单价分别为，，方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y，再结合基本不等式计算方案二的平均单价的最大值，即可判断. 【详解】设两次购买此种商品的单价分别为，， 方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y， 其中，，x，y均为正数， ∴方案一的平均单价为； 方案二的平均单价为， 当且仅当时取等号， 所以当相等时，两种方案一样， 当时，第二种购买方案更实惠． 综上，哪种购买方案更实惠与物品价格有关. 故选：D． 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为mg，则（ ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：A 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(InternetofThings，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， ( 知识点12 )基本不等式的几何图形中的应用 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m. 【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 2．（25-26高一上·广东佛山·期末）如图，矩形的周长为24，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设，，则可得，又设，根据勾股定理解出x关于a、b的表达式，再代入面积公式，最后结合基本不等式即可求解最大值． 【详解】设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，解得， 因此的面积， 又， 所以， 又，当且仅当即时取等号，此时满足， 所以，面积的最大值为． 故答案为． 3．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 4．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 【答案】(1)，． (2)最大值为，此时． 【分析】（1）设，则，设，则，，根据勾股定理得出，可得出关于的关系式，再利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合题意可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件可求出对应的的值. 【详解】（1）设，则． 设，则，， 由勾股定理得，得， 可得，则， 三角形面积， 由，得，所以取值范围是． （2）因为，所以， 即的最大值为． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 一、单选题 1．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可． 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时，故的最小值为3. 故选：D. 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确,D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】设直角三角形两直角边长为，斜边长为，则. 因为，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 又，则， 所以该直角三角形的周长，即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 5．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）无字证明即无需语言的证明（proofwithoutwords），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 6．（25-26高一上·江苏南通·期中）旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价：， 当且仅当时取等号； 第二种方案的均价：， 因，则， 故，当且仅当时取等号. 综上，第一种方案的均价不低于第二种方案的均价（当且仅当时取等号）.结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化，此时第二种方案更划算． 故选：B． 二、多选题 7．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 8．（25-26高二下·江苏无锡·期末）已知正实数a、b满足，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 三、填空题 9．（24-25高二下·北京怀柔·期末）当时，函数的最小值为________________． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 10．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 四、解答题 11．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 12．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 1．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件将，进而得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】由，，，所以 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时的最小值为. 故选：B 2．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先由基本不等式常数代换法求出的最小值情况，再由恒成立即可得解. 【详解】、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 故选：C 3．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 4．（2026·河南·模拟预测）（多选）已知，，，下列说法正确的是（ ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 6.求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知、、均为正实数，且，求的最小值； (2)已知、、、均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当时，取最小值 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【详解】（1）解：因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. （2）证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2001·北京·高考真题）若实数，满足，则的最小值是（ ） A．18 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式进行求解最小值 【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6 故选：B 4．（2004·湖北·高考真题）已知，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 【答案】D 【分析】先对函数进行化简变形，然后利用均值不等式即可求出结果. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 故有最小值1， 故选：D. 5．（2006·陕西·高考真题）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可. 【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可， ， ， 当且仅当即时等号成立，， 或舍去，即 所以正实数a的最小值为4. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 6．（2008·浙江·高考真题）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】范围可直接由基本不等式得到，可先将平方再利用基本不等式关系． 【详解】由，，且， ，当且仅当时取等号 而，当且仅当时取等号 . 故选：C． 【点睛】该题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题目，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方． 7．（2005·重庆·高考真题）若是正数，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到，再利用基本等式求最小值即可. 【详解】 当且仅当或时取等号. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题. 8．（2012·浙江·高考真题）若正数满足，则的最小值是（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 9．（2010·重庆·高考真题）已知,，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又， 10．（2011·重庆·高考真题）已知，，则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】试题分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值． 解：∵， ∴ ∴（当且仅当时等号成立） 故选C 点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则． 11．（2011·重庆·高考真题），在处取最小值，则（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值． 解： 当x﹣2=1时，即x=3时等号成立． ∵x=a处取最小值， ∴a=3 故选C 点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力． 12．（2009·重庆·高考真题）已知，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立． 考点：均值定理 13．（2011·上海·高考真题）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 14．（2010·四川·高考真题）设，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案. 【详解】解：， ， 当且仅当，即时取等号， ， 当且仅当取等号，即，取最小值， 可得的最小值：4， 故选B. 【点睛】本题主要考查基本不等式和实数的性质，属于中档题. 15．（2013·山东·高考真题）设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当且仅当时成立，因此所以 【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想.基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值，本题通过得以实现. 16．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 17．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 18．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 19．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为__________． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 20．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 21．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 22．（2017·山东·高考真题）若直线过点，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：因为直线过点，所以， 因为 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8 故答案为：8 【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 23．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 24．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 25．（2019·天津·高考真题）设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 26．（2015·山东·高考真题）定义运算“”：（）.当时，的最小值是_______. 【答案】 【详解】由新定义运算知，，因为，， 所以，，当且仅当时，的最小值是. 考点：1.新定义运算；2.基本不等式. 27．（2014·陕西·高考真题）设，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】构造不等式即可求得的最小值. 【详解】由，(当且仅当时等号成立) 可得 即，得 所以， 故答案为： 28．（2011·浙江·高考真题）已知实数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】法八：利用基本不等式，即可求解. 【详解】[方法一]：（代换，用判别式法） 设，则，代入， 得，由得，因此. [方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法） 设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此. [方法三]：（构造向量法） 令，. 则，即的最大值为. [方法四]：（待定系数法） 令 则解得故，化简得. ［方法五］：（代换消项结合放缩法） 令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值. 由的几何意义得，即得.即. ［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解） 令则. 即，即，则. . 故. ［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解） 令代入条件方程得. 则. 故. 故答案为：． ［方法八］：【最优解】基本不等式 ， 即，(当且仅当，即时，取等号) 故答案为：． 【整体点评】法一：换元利用判别式法求出； 法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出； 法三：构造向量利用求出； 法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出； 法五：代换利用椭圆的几何性质求出； 法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式； 法七：利用三角代换结合基本不等式求出； 法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解． 29．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）若,且 （1）求的最小值； （2）是否存在，使得，并说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在. 【分析】（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在． 【详解】（1）由，得，且当时取等号． 故，且当时取等号． 所以的最小值为； （2）由（1）知，． 由于，从而不存在，使得成立． 【考点定位】基本不等式． 30．（2013·新课标Ⅱ·高考真题）设均为正数，且，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）. 【答案】（Ⅰ）由，，得： ， 由题设得， 即， 所以，即. （II）因为，，， 所以， 即， 所以. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2基本不等式 参考答案 ( 知识点0 1 )基本不等式的直接应用 1．C；2．；3． 4．【答案】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. ( 知识点0 2 )凑项、凑系数 1．A；2．B；3．B；4．B ( 知识点0 3 )分离或裂项 1．D；2．D；3．A；4．；5． ( 知识点0 4 )常数代换 1．D；2．B；3．D；4．；5．/ ( 知识点0 5 )消元法 1．A；2．C；3．D；4．/；5． ( 知识点0 6 )构建目标不等式 1．A；2．A；3．A；4．A ( 知识点0 7 )基本不等式的综合应用 1．C；2．D；3．BCD；4．BC；5．BD ( 知识点0 8 )基本不等式的几何关系 1．A；2．D；3．C；4．D ( 知识点09 )基本不等式的推广 1．8；2． 3．【答案】（1），由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （3）由，，由， 知； 当且仅当时，取到最小值. 4．【答案】（1）证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 5．【答案】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. ( 知识点10 )用基本不等式证明不等式 1．【答案】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 2．【答案】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 3．【答案】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 4．【答案】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. ( 知识点11 )基本不等式的实际生活中的应用 1．D；2．A 3．【答案】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 4．【答案】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， ( 知识点12 )基本不等式的几何图形中的应用 1．；2． 3．【答案】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 4．【答案】（1）设，则． 设，则，， 由勾股定理得，得， 可得，则， 三角形面积， 由，得，所以取值范围是． （2）因为，所以， 即的最大值为． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 一、单选题 1．D；2．D；3．C；4．C；5．A；6．B 二、多选题 7．ABD；8．ABD 三、填空题 9．；10．16 四、解答题 11．【答案】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 12．【答案】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 1．B；2．C；3．D；4．BD 5．【答案】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 6.【答案】（1）因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. （2）证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．B；2．C；3．B；4．D；5．B；6．C；7．C；8．C；9．B；10．C；11．C；12．C 13．D；14．B；15．C；16．BC；17．/；18．4；19．12；20．；21． 22．8；23．4；24．；25．.；26．；27．；28． 29．【答案】（1）由，得，且当时取等号． 故，且当时取等号． 所以的最小值为； （2）由（1）知，． 由于，从而不存在，使得成立． 【考点定位】基本不等式． 30．【答案】（Ⅰ）由，，得： ， 由题设得， 即， 所以，即. （II）因为，，， 所以， 即， 所以. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $