2.2 基本不等式 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式同步练，适配新授课，分层设计从基础理解到综合拓展，通过选择、填空、解答题梯度强化运算能力与模型意识，构建完整知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一不等式性质判断|选择题1直接考查概念，培养抽象能力| |灵活应用|条件最值求解|填空题12结合a>0,b>0设计，发展推理能力| |综合拓展|多变量综合应用|解答题15含实际情境，提升模型意识与应用能力|

2.2 基本不等式 【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.下列不等式中正确的是(　　) A.当x＞0时，＋≥2 B.当x≥2时，x＋的最小值为2 C.≥ D.a2＋b2≥4ab 【答案】A 【解析】对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定，三相等”； 对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2； 对于C，当a＞0，b＞0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误．故选A． 2.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）若，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，，得，从而，化简得. 代入整理得. 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立. 故选：D. 3.已知a>0，b>0且a≠b，x＝，y＝，则x，y的大小关系是(　　) A.x<y B.x>y C.x＝y D.视a，b的值而定 【答案】A 【解析】x2＝≤＝<a＋b＝y2，又因为a>0，b>0，所以x>0，y>0，所以x<y.故选A. 4.若a≥b>0，则下列不等式成立的是(　　) A.a≥b≥≥ B.a≥≥b≥ C.≥a≥≥b D.a≥≥≥b 【答案】D 【解析】若a≥b>0， 由不等式性质可知a≥，≥b， 由基本不等式可得≥，当且仅当a＝b时取等号. 则a≥≥≥b. 5.（2025-2026·湖南衡阳高一上期中）设，，且，则的最小值为（） A.10 B. C. D.18 【答案】D 【解析】由基本不等式得, 因为,且, 故, 当且仅当即时等号成立, 所以的最小值为. 答案为D. 6.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知实数满足，则的最小值为（） A.9 B.18 C.27 D.36 【答案】C 【解析】由<,得. 因为, 所以. 由基本不等式,得, 当且仅当时取等号. 由,得, 结合、,解得. 故. 答案为C. 7.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知两个正数，满足，则的最小值为（） A. B.2 C. D. 【答案】C 【解析】由得. 故, 即. 因为,所以. 故. 当且仅当且时等号成立, 即. 答案为C. 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南永州高一上期中）设正实数满足，则（） A.的最小值为 B.的最大值为 C.的最大值为 D.的最小值为 【答案】ABC 【解析】对于选项A： 由,得, 因为, 所以, 当且仅当时等号成立, 故的最小值为,A正确. 对于选项B： 由,得, 当且仅当时等号成立, 故的最大值为,B正确. 对于选项C： 由, 又,得, 故, 当且仅当时等号成立,C正确. 对于选项D： 由, 又得, 故, 即的最小值为,D错误. 答案为ABC. 10.（2025-2026·河北衡水高二下期末）已知正实数，满足，则（） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】取，，满足， 计算得，故选项A错误. 由不等式得，结合， 化简得，当且仅当时等号成立，故选项B正确. 取，，满足，计算得，故选项C错误. 由基本不等式得， 结合，得， 当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：，由基本不等式得， 故，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：由题意得， 则， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知，则的最小值为                   . 【答案】 【解析】由,得 由上式展开得 因为, 所以. 由等号成立条件, 解得或, 又, 故时等号成立.. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 【答案】4 【解析】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 14.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知，且，则的最小值是                   . 【答案】8 【解析】由及, 得. 因为,所以, 由基本不等式得,故. 当且仅当且时, 解得,此时等号成立. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高一上期中）(1)已知，，求，求的最小值. (2)，求的最大值. 【答案】解：(1)由且, 得； 因为, 所以； 由与联立, 解得, 即的最小值为. (2)由,得； 由, 当且仅当即时取等号, 故的最大值为. 16.（2025-2026·河北衡水高二下期末）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】解：(1)由得， 变形得， 由均值不等式得，当且仅当即时等号成立. 故的最大值为. (2)由得，变形得， 由均值不等式得，从而原式. 当且仅当即时等号成立，故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.下列不等式中正确的是(　　) A.当x＞0时，＋≥2 B.当x≥2时，x＋的最小值为2 C.≥ D.a2＋b2≥4ab 2.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）若，则的最小值为（） A. B. C. D. 3.已知a>0，b>0且a≠b，x＝，y＝，则x，y的大小关系是(　　) A.x<y B.x>y C.x＝y D.视a，b的值而定 4.若a≥b>0，则下列不等式成立的是(　　) A.a≥b≥≥ B.a≥≥b≥ C.≥a≥≥b D.a≥≥≥b 5.（2025-2026·湖南衡阳高一上期中）设，，且，则的最小值为（） A.10 B. C. D.18 6.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知实数满足，则的最小值为（） A.9 B.18 C.27 D.36 7.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知两个正数，满足，则的最小值为（） A. B.2 C. D. 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南永州高一上期中）设正实数满足，则（） A.的最小值为 B.的最大值为 C.的最大值为 D.的最小值为 10.（2025-2026·河北衡水高二下期末）已知正实数，满足，则（） A. B. C. D. 11．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知，则的最小值为                   . 13．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 14.（2025-2026·湖南永州高一上期中）已知，且，则的最小值是                   . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高一上期中）(1)已知，，求，求的最小值. (2)，求的最大值. 16.（2025-2026·河北衡水高二下期末）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 学科网（北京）股份有限公司 $