3.1.2函数的表示法课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 课时分层作业聚焦函数表示法，通过基础应用、中档综合到提升拓展的三级分层，实现从单一知识点到综合能力的巩固路径，培养数学抽象、几何直观与运算推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|表格法、解析法（定义域）、函数方程|如1题邮资表格应用，2题解析式定义域确定，强化概念理解| |中档层|图象分析、二次函数解析式、系数关系|如3题行程图象分段分析，4题顶点式求解析式，培养几何直观| |提升层|复合函数、图象性质综合、恒成立问题|如5题换元法求解析式，8题图象分析单调性与值域，发展推理能力|

课时分层作业(十八)　函数的表示法 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共60分 一、选择题 1．国内某快递公司快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表： 运送距离x/km 0<x≤500 500<x≤1 000 1 000<x≤1 500 … 邮资y/元 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在北京通过该快递公司邮寄800 g的包裹到距北京1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　) A．5.00元　 B．6.00元 C．7.00元　 D．无法确定 2．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，用解析法将y表示成x的函数为(　　) A．y＝6x B．y＝6x(x∈R) C．y＝6x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝6x(x∈{1，2，3，4，5，6}) 3．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图所示表示甲同学从家出发步行到乙同学家走过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家到公园的时间是30 min B．甲同学从家出发到乙同学家步行用了60 min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x D．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 4．二次函数图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(　　) A．y＝－x2＋1　 B．y＝x2－1 C．y＝4x2－16　 D．y＝－4x2＋16 5．(多选)已知f (2x＋1)＝4x2，则(　　) A．f (1)＝4　 B．f (－1)＝4 C．f (x)＝x2　 D．f (x)＝(x－1)2 二、填空题 6．若函数f (x)满足f (x)－3f ＝x－，则f (2)＝________． 7．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为________． 三、解答题 8．(13分)已知函数f (x)＝－x2＋2x＋3，画出函数f (x)的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x1<x2<1，比较f (x1)与f (x2)的大小； (3)求函数f (x)的值域． 9．已知函数f (x)＝x2－1，g(x)＝(x＋1)2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则(　　) x f (x) g(x) f (g(x)) m 8 4 n A．m＝3，n＝15　 B．m＝－3，n＝15 C．m＝3，n＝81　 D．m＝－3，n＝81 10．若函数f (x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f (3)＝3，且f (x)≥x恒成立，则f (x)的解析式为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(十八) 1．C　[根据题意，知x＝1 200．因为1 000<1 200<1 500，所以他应付的邮资y＝7.00元．故选C．] 2．D　[题中已给出自变量的取值范围为x∈{1，2，3，4，5，6}，结合选项知D正确．] 3．ACD　[由图象知，甲同学从家到公园的时间是30 min，A正确； 由已知得，甲在公园休息的时间是10 min， 所以甲同学从家出发到乙同学家步行了50 min，B错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k， 解得k＝，C正确； 甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长，而距离相等， 所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确． 故选ACD．] 4．B　[设二次函数解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，将(0，－1)代入解析式，可得c＝－1，故二次函数的解析式为y＝ax2－1(a≠0)，故可以为y＝x2－1，ACD选项均不符合要求．故选B．] 5．BD　[令t＝2x＋1，则x＝，因为f (2x＋1)＝4x2，所以f (t)＝42＝(t－1)2，所以f (x)＝(x－1)2， 所以f (1)＝(1－1)2＝0，f (－1)＝(－1－1)2＝4．故选BD．] 6．　[依题意可得 解得f (2)＝．] 7．－1　[若a>0，即图象开口向上，故排除图①和图③，∵b>0， ∴对称轴x＝－<0，故排除图②和图④，则没有符合条件的图象；若a<0，即图象开口向下，排除图②和图④，∵b>0，∴对称轴x＝－>0，故函数图象为图③． 由图象知函数过点(0，0)，∴a2－1＝0， ∴a＝－1(a＝1舍去)． 8．解：函数f (x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R， 列表： x －1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图象如图． (1)根据图象，得f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，当x1<x2<1时，有f (x1)<f (x2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线， 因此，函数的值域为(－∞，4]． 9．B　[由表知，f (m)＝m2－1＝8，g(m)＝(m＋1)2＝4，解得m＝－3，又因为f (g(m))＝f (4)＝16－1＝15＝n，所以m＝－3，n＝15．故选B．] 10．f (x)＝x2－5x＋9　[由f (3)＝3，得b＝－3a－9． 由f (x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立， 所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0， 所以a＝－6，b＝9． 所以f (x)＝x2－5x＋9．] $