15.3.2.1等边三角形的性质与判定-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕等边三角形的性质（三边相等、三角60°、三线合一、三条对称轴）与判定（定义法、三角相等、有60°角的等腰三角形）展开，通过回顾等腰三角形性质与判定，结合三角形按边分类引出等边三角形是特殊等腰三角形，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于采用探究式教学，如通过“顶点运动”引导发现等边三角形，培养几何直观与空间观念，证明性质判定时强化推理能力，对比表格清晰呈现等腰与等边三角形异同。练习题结合生活情境（衣架问题）和综合证明，提升应用意识，助力学生构建知识体系，也为教师提供系统教学资源与易错点指导。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十五章 轴对称 15.3.2.1等边三角形的性质与判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/29 15.3.2.1 等边三角形的性质与判定 专项练习 一、核心知识点梳理 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形，是特殊的等腰三角形，因此具备等腰三角形的所有性质，同时拥有自身专属特殊性质。等边三角形是轴对称图形，是初中几何角度计算、线段证明、特殊三角形综合题型的高频考点。 等边三角形的性质：第一，三边全部相等；第二，三个内角完全相等，且每一个内角均为60°；第三，拥有三条对称轴，分别为三条边上的垂直平分线；第四，满足三线合一，每条边上的中线、高线、所对内角的平分线互相重合。 等边三角形的判定：第一，定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形；第二，角判定法：三个角都相等的三角形是等边三角形；第三，特殊判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，此定理是考试最常用、最高效的判定方法。 二、重难点与易错点总结 1. 从属关系混淆：等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。2. 判定定理误用：只有等腰三角形且有一个角为60°，才可判定为等边三角形，普通三角形一个角60°无法判定。3. 角度误区：等边三角形内角固定为60°，无钝角、直角情况。4. 对称轴易错：等边三角形有三条对称轴，而非一条。5. 性质混用：切勿将等边三角形特殊性质，套用在普通等腰三角形上。 三、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 等边三角形的每个内角度数为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 下列关于等边三角形说法正确的是（） A. 仅有一条对称轴 B. 不属于等腰三角形 C. 三边相等，三角相等 D. 内角可以是钝角 3. 有一个角是60°的（）一定是等边三角形 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 4. 下列条件不能判定三角形为等边三角形的是（） A. 三边全部相等 B. 三角全部相等 C. 两个角为60° D. 一个角为60°的普通三角形 5. 等边三角形的对称轴数量为（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 （二）填空题（每题4分，共20分） 6. 等边三角形的三条边________，三个内角都是________度。 7. 有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。 8. 等边三角形是特殊的________三角形，拥有________条对称轴。 9. 判定等边三角形最简单的方法：等腰三角形+________=等边三角形。 10. 等边三角形每条边上的中线、高线、________互相重合。 （三）解答证明题（共60分） 11.（20分）已知△ABC是等边三角形，求证：∠A=∠B=∠C=60°。 12.（20分）已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形。 13.（20分）已知△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，求证：AB=BC=AC。 四、参考答案与详细解析 选择题解析：1.B（等边三角形内角固定为60°）；2.C（等边三角形三边、三角均相等，是特殊等腰三角形，有三条对称轴）；3.C（核心判定定理，60°的等腰三角形为等边三角形）；4.D（普通三角形单个60°角无法判定等边）；5.C（三条边对应三条对称轴）。 填空题答案：6.相等、60；7.60°；8.等腰、3；9.一个60°角；10.角平分线。 解答题解析： 11. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC。根据等边对等角，可得∠A=∠B，∠B=∠C，即∠A=∠B=∠C。又∵三角形内角和为180°，∴每个内角为180°÷3=60°，即∠A=∠B=∠C=60°。 12. 证明：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形。又∵∠A=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形。 13. 证明：∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−60°−60°=60°。三角全部相等，∴三边对应相等，即AB=BC=AC，△ABC为等边三角形。 本节核心掌握等边三角形的专属性质与三大判定方法，理清等边三角形与等腰三角形的从属关系，重点牢记“60°等腰必等边”的高频判定定理。熟练区分普通等腰三角形与等边三角形的性质差异，规避判定定理乱用、对称轴数量记错等易错点，熟练完成角度计算与形状判定，为后续几何综合题型、动点问题夯实基础。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 类比等腰三角形的研究经验，探索等边三角形的性质和判定. 能够利用等边三角形的性质和判定进行计算和证明，提升推理能力. 名称 图形 性质 判定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 　　1．等腰三角形的性质和判定 情境导入 3 　　2．三角形按边的相等关系分类 　　三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形． 情境导入 4 探究点一： 等边三角形的性质 思考：顶点 A 在边 BC 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 AB 的长度等于 BC ，△ABC 会变成什么三角形？ 等边三角形 点击视频观看 探究新知 等边三角形的定义： 是三边都_____的三角形，是特殊的等腰三角形. 相等 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形与等边三角形的关系： 探究点一： 等边三角形的性质 探究新知 思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 由定义可知：等边三角形的三条边都相等. 如图，∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC = AC. 等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用 A B C 探究点一： 等边三角形的性质 探究新知 （第1题） 1. 如图，直线， 是等边三角 形， ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下. 等腰三角形 等边三角形 AB = AC ∠B = ∠C AB = AC = BC ∠A，∠B，∠C ? 探究点一： 等边三角形的性质 探究新知 已知：AB ＝AC ＝BC ，求证：∠A = ∠B = ∠C= 60°. 证明：∵AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C (等边对等角). 同理 ∠A = ∠C， ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∵ ∠A + ∠B + ∠C =180°， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 角都等于 60°. 探究点一： 等边三角形的性质 探究新知 （第2题） 2. 由于木质的衣架没有 柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操 作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻 易收拢，然后套进衣服后松开即可，如 B A. B. C. D. 以上都不对 图①，衣架杆 .若衣架收拢时， ，如图②，则此时， 两点间的距离是( ) 返回 举一反三 11 问题3：从“三线合一 ”的角度比较两者，等边三角形的“三线 ”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” ．等边三角形有三条对称轴. 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 A B C A B C 探究点一： 等边三角形的性质 探究新知 根据前面的探究结果完成下表. 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是 60° 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 探究点一： 等边三角形的性质 探究新知 思考1：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证. 探究点二：等边三角形的判定 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 探究新知 思考2：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ 通过上面性质的学习，我们很容易联想到： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 探究新知 已知：如图，在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C. 求证：△ABC 是等边三角形. 证明：∵∠A = ∠B ， ∴ BC = AC . ∵∠B = ∠C ， ∴ AB = AC . ∴ AB = AC = BC . ∴ △ABC 是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 探究新知 3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ， ，分别是，，边上一点，且 ,则 的形状是____________. 等边三角形 （第3题） 举一反三 17 （第3题） 【点拨】 为等边三角形，且 ，， .在 与 中， .同理证 得 是一个等边三角形. 返回 举一反三 18 论证： 已知：如上图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若∠A ＝60°，求证：△ABC 是等边三角形. 猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°， 那么它是等边三角形吗？ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明： ∵AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C. ∵ ∠A +∠B +∠C＝180°，∠A＝60°， ∴ 60° + 2∠B ＝180°. ∴ ∠B＝60°. ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∴△ABC 是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 A B C 探究新知 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 从角看 两条边相等的三角形是等腰三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定. 探究点二：等边三角形的判定 探究新知 例1 如图，△ ABC 是等边三角形 ，DE∥BC，分别交AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C. ∴∠A = ∠ADE = ∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 探究点二：等边三角形的判定 探究新知 例2 如图，等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，∠BDE =∠CDF = 60°，图中有哪些与 BD 相等的线段？ 与 BD 相等的线段有： DC，DE，DF，AE， BE，AF，CF. 探究点二：等边三角形的判定 探究新知 （第4题） 4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示 的方式放置，已知 ，点， 表示的 刻度分别为1，3，则线段的长为___ . 2 【点拨】 直尺的两对边相互平行， 是等边三角形. . .易知 ，. 返回 举一反三 23 5.如图，六边形的六个角都是 ，边长 ，,, ，则这个六边 形的周长是____ . 15 （第5题） 举一反三 24 6.［2025常州期中］如图， 是等边三角形， 点在的外部，且，连接 交 于点 . （1）求证：垂直平分 ； 【证明】是等边三角形， . 又， 点,在线段 的垂直平分线上. 垂直平分 . 举一反三 25 （2）在上取点，连接，交于点，若 ， 试判断 的形状，并说明理由. 举一反三 26 【解】 为等边三角形.理由如下： 是等边三角形， . ， . ， . . . 为等边三角形. 返回 举一反三 27 等边三角形 等腰三角形 腰和底相等 三边相等 性质 三个角都相等，并且每一个角都等于60° “三线合一” 有一个角是60°的等腰三角形 判定 三边相等 三个角都相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $