15.3.2.1等边三角形的性质与判定（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形判定（等角对等边）与等边三角形性质及判定，通过类比等腰三角形研究经验导入，以性质与判定互逆对照、常见模型总结为支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是采用对比表格梳理性质判定、归纳“平行+角平分线”等模型，结合规范几何语言培养推理意识，例题融入生活情境（如衣架设计）。学生能提升逻辑推理能力，教师可高效开展培优教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 15.3.2.1等边三角形的性质与判定 第十五章 轴对称 15.3.1.2 等腰三角形的判定 同步精讲练习题 一、核心知识点精讲 1. 判定定理（必考核心） 定理内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 简记：等角对等边 适用前提：同一个三角形中（重中之重） 2. 标准几何语言（考试规范写法） ∵ 在△ABC中，∠B=∠C ∴ AB=AC（等角对等边） ∴ △ABC是等腰三角形 3. 性质与判定互逆对照（必须分清） 性质：等边对等角   边相等 → 推出角相等（已知等腰，求角度） 判定：等角对等边   角相等 → 推出边相等（证等腰三角形） 4. 等腰三角形两种判定方法 ① 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； ② 定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 5. 常见隐含等腰模型（考试秒杀套路） ① 平行线+角平分线 → 等腰三角形（最常考模型） 原理：平行得内错角相等，角分线得两角相等，等量代换得等角→等边。 ② 对顶角相等、公共角、同角的余角/补角相等，可构造等角证等腰。 6. 高频易错点 ① “等角对等边”只能在同一个三角形中使用，跨三角形不能用； ② 必须是相等的角所对的边相等，不要找错对应边； ③ 不要混淆性质和判定：求角用性质，证三角形是等腰用判定； ④ 三个角都相等的三角形是等边三角形（特殊等腰）。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 在三角形中，有两个角分别为70°、70°，则这个三角形是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法判断 2. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是（） A. ∠A=30°，∠B=60° B. ∠A=50°，∠B=80° C. ∠A=40°，∠B=90° D. ∠A=60°，∠B=60° 3. “等角对等边”的前提是（） A. 两个三角形 B. 同一个三角形 C. 直角三角形 D. 任意图形 （二）填空题 4. 等腰三角形的判定定理：________。 5. 在△ABC中，∠A=∠B，则________=________，△ABC是等腰三角形。 6. 平行线+角平分线组合，可构造________三角形。 （三）基础证明题 7. 已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。 8. 已知：AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。 三、能力提升题 9. 如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，求证：△ACE是等腰三角形。 10. 已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AB，求证：△CDE是等腰三角形。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：两角相等，根据等角对等边，三角形为等腰三角形。 2. B 解析：A选项三角30°、60°、90°；B选项∠C=50°，∠A=∠C，等腰；D选项为等边三角形。 3. B 解析：等角对等边、等边对等角均仅限同一个三角形。 （二）填空题 4. 在同一个三角形中，等角对等边 5. BC、AC 6. 等腰 （三）基础证明题 7. 证明：∵在△ABC中，∠B=∠C ∴ AB=AC（等角对等边） 8. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD ∵AD∥BC，∴∠BAD=∠B，∠CAD=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。 （四）能力提升题解析 9. 证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠DCE ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE ∴∠A=∠ACE ∴AE=CE（等角对等边），∴△ACE是等腰三角形。 10. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角） ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B ∴∠EDC=∠C ∴DE=CE（等角对等边），∴△CDE是等腰三角形。 五、本节满分总结 1. 判定核心：等角对等边（同三角形）； 2. 性质：边等→角等；判定：角等→边等，切勿混用； 3. 必考模型：平行+角分线=等腰三角形，考试高频秒杀模型； 4. 证等腰三角形优先找两角相等，步骤最简。 类比等腰三角形的研究经验，探索等边三角形的性质和判定. 能够利用等边三角形的性质和判定进行计算和证明，提升推理能力. 名称 图形 性质 判定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 　　1．等腰三角形的性质和判定 3 　　2．三角形按边的相等关系分类 　　三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形． 4 你从中发现了哪个公共的几何图形？ 它有什么特殊性？ 探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ A B C 知识点1 等边三角形的性质 A B C 问题1 已知AB=AC=BC，你可以得到什么结论呢？ 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C.(等边对等角) 同理，∠A=∠C. ∴∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 由等腰三角形的性质，可以得到： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C 符号语言： 如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°. A B C 问题2 等边三角形也有“三线合一”的性质吗? 等边三角形有几条对称轴？ A B C 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 1条对称轴 3条对称轴 由等腰三角形的性质，可以得到： 等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”. A B C D 符号语言：如图，在△ABC中， ①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC且BD=CD. ②∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC且BD=CD. ③∵△ABC为等边三角形，BD=CD， ∴AD平分∠BAC且AD⊥BC. 等腰三角形 等边三角形 边 角 “三线合一” 对称轴 每条边上的中线、高及这条边所对角的平分线重合 三个角都相等，且都是60º 3条对称轴 1条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线重合 两条边相等 三条边都相等 等腰三角形和等边三角形的性质归纳总结 例1 如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA延长线上的点，且CD=AE，连接AD，BE，求证：AD=BE. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB， ∴∠EAB=∠ACD=180°-60°=120°. 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD(SAS)， ∴AD =BE. 跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( ) A.105° B.100° C.95° D.85° C 探究 反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形吗？ A B C 已知：∠A=∠B=∠C， 求证：△ABC是等边三角形. ∵∠A=∠B，∴AC=BC. 又∠B=∠C，∴AB=AC. ∴AB=AC=BC， 即△ABC是等边三角形. 知识点2 等边三角形的判定 由等腰三角形的判定，可以得到： 三个角都相等的三角形是等边三角形. A B C 符号语言： 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形. 探究 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 顶角60°； 底角60°. A B C 60° A B C 60° A B C 60° 已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°， 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=60°， ∴∠B=∠C= (180°-60°)=60°. ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形. A B C 60° 已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°， 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∠B=60°， ∴∠B=∠C=60°. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=180°-60°-60°=60°. ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形. 可以得到： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言： 如图，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60° 或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形. A B C 例2 如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形. A B C D E 跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形. 证明：方法一 ∵ AB∥DC，∠A=60°， ∴∠ADC=120°. ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠ADC=60°. ∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=60°. ∴∠ABD=∠ADB=∠A. ∴△ABD是等边三角形. 跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形. 证明：方法二 ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB. ∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB， ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. 又∠A=60°. ∴△ABD 是等边三角形 方法 等腰三角形 等边三角形 定义法 判定定理法1 判定定理法2 归纳总结 有两边相等的三角形 是等腰三角形. 有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）. 三边都相等的三角形 是等边三角形. 三个角都相等的三角形 是等边三角形. 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形. （第1题） 1. 如图，直线， 是等边三角 形， ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 24 （第2题） 2. 由于木质的衣架没有 柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操 作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻 易收拢，然后套进衣服后松开即可，如 B A. B. C. D. 以上都不对 图①，衣架杆 .若衣架收拢时， ，如图②，则此时， 两点间的距离是( ) 返回 中考考法 25 3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ， ，分别是，，边上一点，且 ,则 的形状是____________. 等边三角形 （第3题） 中考考法 26 （第3题） 【点拨】 为等边三角形，且 ，， .在 与 中， .同理证 得 是一个等边三角形. 返回 中考考法 27 （第4题） 4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示 的方式放置，已知 ，点， 表示的 刻度分别为1，3，则线段的长为___ . 2 【点拨】 直尺的两对边相互平行， 是等边三角形. . .易知 ，. 返回 中考考法 28 5.如图，六边形的六个角都是 ，边长 ，,, ，则这个六边 形的周长是____ . 15 （第5题） 中考考法 29 【点拨】如图，分别作，， 的延长线 和反向延长线，使它们交于点，， 六边 形的六个角都是 ， 它的每一个 外角是 . 易得，， ， 都是等边三角形. ， . 六边形 的周长为 . 返回 中考考法 30 6.［2025常州期中］如图， 是等边三角形， 点在的外部，且，连接 交 于点 . （1）求证：垂直平分 ； 【证明】是等边三角形， . 又， 点,在线段 的垂直平分线上. 垂直平分 . 中考考法 31 （2）在上取点，连接，交于点，若 ， 试判断 的形状，并说明理由. 中考考法 32 【解】 为等边三角形.理由如下： 是等边三角形， . ， . ， . . . 为等边三角形. 返回 中考考法 33 （第7题） 7. 如图是由若干个相同的 小等边三角形组成的图形，小明在该图形中 建立了平面直角坐标系,并测得点 的坐标是 ,点的坐标是 ，由此可知点 的坐标是( ) A A. B. C. D. 中考考法 34 （第7题） 【点拨】由点的坐标是 可知，每个 小等边三角形的高是3,由点 的坐标是 可知,每个小等边三角形的边长为 .易知点是由点 向右平移 个单位长度,向上平移3个单 位长度得到的. 点的坐标是 . 返回 中考考法 35 （第8题） 8. 如图，是等边三角形，点 在 内，，将绕点 逆时 针旋转得到，则 的长等于 ( ) A A. 4 B. C. 2 D. 中考考法 36 （第8题） 【点拨】 是等边三角形， ， . 将 绕 点逆时针旋转得到 ， ， ， 即 . 是等 边三角形. . 返回 中考考法 37 （第9题） 9. ［2025德州期中］如图，已知 ，点，，， 在射线 上，点，，， 在射线 上， ，，， 均为 D A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 等边三角形，若，则 的边长为( ) 中考考法 38 （第9题） 【点拨】 是等边三角形， , .又 , 易得 . 是等边 三角形， ， .又 , 易得 . .同理可证 .以此类推,的边长为 , 的边长为 . 返回 中考考法 39 10. 如图, ,平分,且.若点, 分别在,上,且 为等边三角形,则满足上述条件的 有( ) D （第10题） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 中考考法 40 等边三角形 等腰三角形 腰和底相等 三边相等 性质 三个角都相等，并且每一个角都等于60° “三线合一” 有一个角是60°的等腰三角形 判定 三边相等 三个角都相等 $