15.3.2.1 等边三角形的性质与判定（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质（三边相等、三角60°、三线合一、3条对称轴）与判定（三边相等、三角相等、等腰+60°角），通过回顾等腰三角形的定义、性质及判定，引出等边三角形是特殊等腰三角形，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式问题引导学生推理（如“等腰三角形有60°角是否为等边三角形”的证明），培养数学思维，通过对比表格明晰等腰与等边三角形的联系与区别，提升抽象能力，结合生活情境题（衣架设计）增强应用意识。结构化小结帮助学生系统掌握知识，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月8日 15.3.2.1 等边三角形的性质与判定 第十五章 轴对称 15.3.2.1 等边三角形的性质与判定 练习题 本套练习题针对人教版八年级上册15.3.2.1等边三角形的性质与判定专项编写。等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时拥有专属特性。本节核心重点：掌握等边三角形的边角性质、三大判定方法，区分等腰三角形与等边三角形的性质及判定差异，熟练解决含60°角的三角形证明与角度计算问题，题型贴合课本考点，适配课后巩固、随堂检测。 一、核心知识点梳理 1. 等边三角形的性质 ① 三条边全部相等；② 三个内角都相等，且都等于60°；③ 是轴对称图形，有3条对称轴；④ 具备等腰三角形“三线合一”的所有性质，每条边上的中线、高、顶角平分线互相重合。 2. 等边三角形的判定 ① 三边都相等的三角形是等边三角形；② 三个角都相等的三角形是等边三角形；③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最常用、最高频考点）。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 等边三角形的每个内角度数为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 下列关于等边三角形的说法错误的是（） A. 三边相等 B. 三条对称轴 C. 每个角都是60° D. 不具备三线合一性质 3. 下列条件中，不能判定三角形为等边三角形的是（） A. 三边对应相等 B. 三个内角都相等 C. 有一个角是60°的三角形 D. 有一个角是60°的等腰三角形 4. 等腰三角形中有一个角为60°，则这个三角形是（） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 普通等腰三角形 D. 无法判定 5. 等边三角形的对称轴条数为（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 等边三角形的三个内角都相等，且每一个角都等于________°。 2. 有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。 3. 等边三角形是________图形，有________条对称轴。 4. 等边三角形每条边上的中线、________、________互相重合。 5. 三个角都相等的三角形是________三角形。 四、解答题（共60分） 1.（20分）已知：在△ABC中，AB=BC=AC。求证：∠A=∠B=∠C=60°。 2.（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°。求证：△ABC是等边三角形。 3.（20分）已知：△ABC是等边三角形，点D在BC边上，求证：∠B=60°。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：等边三角形三内角相等，均为60°。 2. D 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，完全具备三线合一的性质。 3. C 解析：仅有一个角为60°，无法判定，必须是60°的等腰三角形才可判定为等边三角形。 4. B 解析：含60°角的等腰三角形，无论该角是顶角还是底角，都可判定为等边三角形。 5. C 解析：等边三角形三条高所在直线均为对称轴，共3条。 二、填空题 1. 60 2. 60 3. 轴对称、3 4. 高线、顶角平分线 5. 等边 三、解答题 1. 证明：∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形。根据等边三角形性质，三角形内角和为180°，三个内角相等，∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°。 2. 证明：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C。∵三角形内角和为180°，∠A=60°，∴∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°。∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形。 3. 证明：∵△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，三个内角均为60°，∴∠B=60°。 本节易错总结 1. 普通三角形一个角为60°≠等边三角形，必须满足等腰+60°角才可判定。 2. 等边三角形有3条对称轴，区别于等腰三角形的1条对称轴。 3. 等边三角形所有边角、对应线段全部相等，是最特殊的等腰三角形。 掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系. 探索等边三角形的性质和判定． 能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 回顾导入 名称 图形 定义 性质 判定 等 腰 三 角 形 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 等腰三角形 两腰相等 两边相等的三角形 等边对等角 等角对等边 三线合一 轴对称图形 A B C 回顾导入 A B C 等腰三角形： A B C 特殊的等腰三角形 等边三角形 三条边都相等 探究新知 1. 等边三角形的性质 探 究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 1. 从边的角度比较，等边三角形的三条边有什么数量关系？ A B C 等边三角形的三条边都相等 如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC = AC . 几何语言： 1. 等边三角形的性质 2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？ A B C AB = AC AB = BC = AC ∠B =∠C ？ ∵AB = BC，∴∠B =∠C (等边对等角). 同理∠A =∠C，∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？ A B C 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°. 如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 几何语言： 1. 等边三角形的性质 3. 从“三线合一”的角度比较，等边三角形的“三线”有什么关系？ A B C 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形有三条对称轴. 1. 等边三角形的性质 对比：等腰三角形与等边三角形的性质 等腰三角形 等边三角形 图形 性质 两条边相等 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线重合 1条对称轴 三个角都相等，且都等于60° 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3条对称轴 三边都相等 探 究 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 2. 等边三角形的判定 1. 从边的角度判断： A B C 三条边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵AB = BC = AC， ∴△ABC 是等边三角形. 几何语言： 2. 等边三角形的判定 2. 从角的角度判断： A B C 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A =∠B =∠C， ∴△ABC 是等边三角形. 几何语言： 你能证明它吗？ 2. 等边三角形的判定 已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形. A B C 证明：∵∠B =∠C ， ∴AB = AC (等角对等边). 同理 AB = BC ， ∴AB = BC = AC. ∴△ABC 是等边三角形. 2. 等边三角形的判定 3. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？ A B C 60° 如图，当 AB = BC 时，∠B =∠C = 60°. ∴∠A = 180° –∠B –∠C = 60°. ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 当 AC = BC 时，∠A =∠B = (180° – 60°)÷2 = 60°. ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 2. 等边三角形的判定 3. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？ A B C 60° 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB = AC，∠C(或∠A，∠B) = 60°， ∴△ABC 是等边三角形. 几何语言： 对比：等腰三角形与等边三角形的判定 等腰三角形 等边三角形 图形 判定 两条边相等的三角形 有两个角相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是 60°的等腰三角形 三边都相等的三角形 教材P82例题 例4 如图，△ABC 是等边三角形， DE // BC，分别交 AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C . ∵DE // BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. A B C D E 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O 1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° B 基础巩固题 课堂检测 随堂练习 3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. A C B D E 12 B 课堂检测 随堂练习 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于点F．求证：△AEF≌△BEC． 证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°. ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°–90°–30°=60°. ∴∠FAE=∠EBC． ∵E为AB的中点，∴AE=BE． 又∵ ∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC（ASA）． 课堂检测 随堂练习 如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A,O,D三点共线， ∴∠DOB=∠COA=120°. ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴∠AEB=∠AOB=60°. C B O D A E F 能力提升题 课堂检测 随堂练习 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 图① 图② 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 （第1题） 1. 如图，直线， 是等边三角 形， ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 22 （第2题） 2. 由于木质的衣架没有 柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操 作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻 易收拢，然后套进衣服后松开即可，如 B A. B. C. D. 以上都不对 图①，衣架杆 .若衣架收拢时， ，如图②，则此时， 两点间的距离是( ) 返回 考试考法 23 3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ， ，分别是，，边上一点，且 ,则 的形状是____________. 等边三角形 （第3题） 考试考法 24 （第3题） 【点拨】 为等边三角形，且 ，， .在 与 中， .同理证 得 是一个等边三角形. 返回 考试考法 25 （第4题） 4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示 的方式放置，已知 ，点， 表示的 刻度分别为1，3，则线段的长为___ . 2 【点拨】 直尺的两对边相互平行， 是等边三角形. . .易知 ，. 返回 考试考法 26 课堂小结 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. A B C $