第五章 一元一次方程 单元卷 2026—2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学一元一次方程，通过10道选择、6道填空、8道解答题（72分），覆盖概念辨析、解法应用及实际问题，融合《算法统宗》文化素材与生活情境，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次方程概念、等式性质、新定义运算|第8题以《算法统宗》行程问题体现文化传承，第10题新符号运算考查创新思维| |填空题|6/18|同解方程、利润问题、行程问题|第15题苹果箱问题抽象数量关系，培养模型意识| |解答题|8/72|解方程、纠错、方案优化|24题门票方案比较，融合运算能力与应用意识，23题购物情境强化数据观念|

第五章 一元一次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）； （6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 2、下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 4、列变形属于移项的有（ ） （1）由，得，（2）由，得， （3）由，得，（4）由，得 A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 5、对于有理数，定义一种新运算，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 6、已知代数式比多，则的值为（    ） A. B. C. D. 7、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（ ） A. 赚了40元 B. 赔了40元 C. 赔了60元 D. 不赚不赔 8、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 9、小明在解方程去分母时，方程右边的没有乘以 2，因而求得的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. 0 D. 2 10、对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是关于x的一元一次方程，则________． 12、若代数式的值比的值多3，则的值为__________． 13、关于的两个方程与的解相同，则的值为______． 14、某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 15、 有一些苹果和苹果箱，若每箱装25千克苹果，则剩余40千克苹果；若每箱装30千克苹果，则余下20个苹果箱；设这些苹果箱有个，则可列方程为__________________． 16、某人骑车以每小时12千米的速度由地到地，这样便可以在规定时间到达地，但他因事将原计划出发时间推迟了20分钟，便以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达地，，两地的距离为__________千米． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解下列方程： （1）． （2）． 18、已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 19、下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 20、列方程解应用题 商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少． 21、某学校门口有一个长的长方形电子显示屏，如图所示，学校的有关活动都会在电子显示屏上播出，由于各类活动的名称不同，字数也就不等．为了制作及显示时方便美观，负责播出的教师对有关数据作出了如下规定，边空宽：字宽：字距，请用列方程的方法解决下列问题： 某次活动的字数为15个，求字距是多少？ 22、甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，已知由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用180元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用220元． （1）求加工的这批产品共有多少件？ （2）若由一个加工厂单独加工完成，选用哪个加工厂费用较低？ 23、某校开展校园艺术节系列活动，派王老师到文体商店购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与王老师的对话内容，解答下列问题． 商店老板：如果你再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现在还省17元! 王老师：那就多买一个吧，谢谢! （1）求王老师原计划购买多少个文具袋? （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次该商店老板全部给予八折优惠，合计272元．求王老师购买的钢笔和签字笔各有多少支? 24、七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． （1）已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）； （6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 2、下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【详解】解：A、若，则，选项错误，不符合题意； B、若，则，选项正确，符合题意； C、若，且，选项错误，不符合题意； D、若，则，选项错误，不符合题意． 3、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【详解】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1， 可得：a-2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 4、列变形属于移项的有（ ） （1）由，得，（2）由，得， （3）由，得，（4）由，得 A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】A 【详解】解：（1）由，得，是属于移项； （2）由，得，原来的式子不属于移项； （3）由，得，只是在等号的右边改变位置，不属于移项； （4）由，得，是系数化1，不属于移项；只有1个。 5、对于有理数，定义一种新运算，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【详解】解：规定， ∴， ∴， 解得，， 6、已知代数式比多，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 7、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（ ） A. 赚了40元 B. 赔了40元 C. 赔了60元 D. 不赚不赔 【答案】B 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 8、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】B 【详解】解：设第一天的路程为里 ∴ 解得 ∴第三天路程为 9、小明在解方程去分母时，方程右边的没有乘以 2，因而求得的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【详解】解：按照小明的错解方法如下所示： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得，系数化为1得：， 错解的结果为， ， 原方程为， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得，系数化为1得：， 10、对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ， 解得， ∵， ∴不符合题意． ∴方程的解为． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是关于x的一元一次方程，则________． 【答案】 【详解】解：根据题意：且， ∴， 故答案为：． 12、若代数式的值比的值多3，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：； 故答案为：. 13、关于的两个方程与的解相同，则的值为______． 【答案】9 【详解】解：解方程得， 即方程的解也是， 代入得：， 解得：， 故答案为：． 14、某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 【答案】八 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%， 解得：x=8． 故商店应打八折． 故答案为：八． 15、 有一些苹果和苹果箱，若每箱装25千克苹果，则剩余40千克苹果；若每箱装30千克苹果，则余下20个苹果箱；设这些苹果箱有个，则可列方程为__________________． 【答案】 【详解】解：根据题意，有 ； 故答案为： 16、某人骑车以每小时12千米的速度由地到地，这样便可以在规定时间到达地，但他因事将原计划出发时间推迟了20分钟，便以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达地，，两地的距离为__________千米． 【答案】24 【详解】解：设A、B两地间距离为x千米，由题意得： ， 解方程得：x=24． 答：A、B两地间距离为24千米． 故答案为：24. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：原方程可变为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18、已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 19、下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 【答案】问题1：等式的性质2；乘法分配律；问题2：三；移项没变号；问题3：见详解 【详解】解：问题1：∵第一步是等式两边同时乘上6， ∴第一步是依据等式的性质2进行变形的； ∵第二步去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， ∴第二步是依据乘法的分配律进行变形的； 故答案为：等式的性质2；乘法分配律； 问题2：观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； 故答案为：三；移项没变号； 问题3： 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 20、列方程解应用题 商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少． 【答案】该商品每件的原价是元． 【详解】解：设该商品每件的原价是元， ∴， 解得：， 答：该商品每件的原价是元． 21、某学校门口有一个长的长方形电子显示屏，如图所示，学校的有关活动都会在电子显示屏上播出，由于各类活动的名称不同，字数也就不等．为了制作及显示时方便美观，负责播出的教师对有关数据作出了如下规定，边空宽：字宽：字距，请用列方程的方法解决下列问题： 某次活动的字数为15个，求字距是多少？ 【答案】 【详解】解：设字距为，则边空宽为，字宽为， 根据题意得， 解得：． 经检验，符合题意． 答：这次活动的字距是． 22、甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，已知由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用180元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用220元． （1）求加工的这批产品共有多少件？ （2）若由一个加工厂单独加工完成，选用哪个加工厂费用较低？ 【答案】（1）加工的这批产品有960件；（2）选用乙加工厂费用较低 【详解】解：（1）设加工的这批产品有件，根据题意，得 ， 解这个方程，得：， ∴加工的这批产品有960件； （2）甲单独完成需费用为：（元）， 乙单独完成需费用为：（元）， ∴选用乙加工厂费用较低. 23、某校开展校园艺术节系列活动，派王老师到文体商店购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与王老师的对话内容，解答下列问题． 商店老板：如果你再多买一个，就可以全部打八五折，花费比现在还省17元! 王老师：那就多买一个吧，谢谢! （1）求王老师原计划购买多少个文具袋? （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次该商店老板全部给予八折优惠，合计272元．求王老师购买的钢笔和签字笔各有多少支? 【答案】（1）17个 （2）王老师购买的钢笔有20支，签字笔有30支 【小问1详解】 解：设王老师原计划购买个文具袋， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：王老师原计划购买17个文具袋． 小问2详解】 解：设王老师购买的钢笔有支，则购买的签字笔有支， 由题意得：， 解得，符合题意， 则， 答：王老师购买的钢笔有20支，签字笔有30支． 24、七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． （1）已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】（1）1班购票需要704元 （2）2班有46人 （3）当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【小问1详解】 解：（元， 答：1班购票需要704元； 【小问2详解】 解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； 【小问3详解】 解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $