6.3 公因数和公倍数的综合练习 教案-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

该教案聚焦公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的综合巩固，通过导入环节回顾概念及求法搭建学习支架，衔接已学知识与综合应用，为后续练习奠定基础。 资料以分层练习（基础、综合、拓展）为特色，结合“剪长方形纸成最大正方形”“铺砖成正方形”等实例，培养学生用数学眼光观察实际问题、用数学思维推理判断（求最大公因数或最小公倍数）的能力，通过小组交流和课堂小结提升数学语言表达，助力学生巩固知识、提升解题能力，为教师提供清晰教学流程与实用练习设计。

第3课时：公因数和公倍数的综合练习 【教材分析】 本节课是公因数和公倍数的综合练习课，旨在通过练习巩固学生对公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的理解和掌握，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。教材通过不同类型的练习题，帮助学生梳理知识脉络，强化解题方法，培养学生的综合运用能力和思维能力。 【学情分析】 学生已经掌握了公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念和求法，具备了一定的解题能力。但在综合运用知识解决实际问题时，可能会出现思路不清晰、方法选择不当的问题，需要通过综合练习加以巩固和提高。同时，学生对知识的梳理和归纳能力还需要进一步培养。 【教学目标】 知识与技能：进一步巩固公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义和求法，能正确、熟练地解决相关的实际问题。 数学思考：通过综合练习，培养学生的观察能力、分析能力和归纳概括能力，发展学生的逻辑思维能力。 问题解决：能运用公因数和公倍数的知识解决生活中的实际问题，提高学生的综合运用能力和解题能力。 情感态度：在练习过程中，体验数学的实用性，培养学生的学习兴趣和自信心，养成认真审题、仔细计算的良好习惯。 【教学重点】 巩固公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的求法。 运用所学知识解决实际问题。 【教学难点】 灵活运用公因数和公倍数的知识解决实际问题，理清解题思路，选择合适的方法。 【教学准备】 多媒体课件、练习题单。 【教学课时】1课时 【教学过程】 导入新课 教师活动：同学们，我们已经学习了公因数和公倍数的相关知识，今天我们来进行一次综合练习，看看谁能运用所学知识解决更多的问题。在练习之前，我们先来回顾一下相关的知识：什么是公因数和最大公因数？什么是公倍数和最小公倍数？求最大公因数和最小公倍数的方法有哪些？ 学生活动：学生自由发言，回顾本节课所学的知识，教师进行补充和纠正。 环节一：基础练习，巩固知识 教师活动：出示基础练习题：（1）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。①12和18；②15和25；③7和13。（2）填空题：①16和24的最大公因数是（），最小公倍数是（）。②如果两个数的最大公因数是1，最小公倍数是35，这两个数可能是（）和（）。 学生活动：学生独立完成练习题，教师巡视指导。 教师活动：引导学生汇报答案，重点讲解有困难的题目。预设答案：（1）①最大公因数是6，最小公倍数是36；②最大公因数是5，最小公倍数是75；③最大公因数是1，最小公倍数是91。（2）①8，48；②5，7。 教师活动：提问：“求最大公因数和最小公倍数时，要注意什么？”预设答案：要注意区分方法，短除法求最大公因数是把除数相乘，求最小公倍数是把除数和商相乘；要注意观察数的特点，灵活选择方法。 学生活动：同桌互相检查练习题，交流解题思路。 教师活动：小结：通过基础练习，我们进一步巩固了公因数和公倍数的求法，大家要注意方法的灵活运用。 [设计意图] 通过基础练习，让学生巩固所学的基础知识和基本技能，为后续的综合练习打下坚实的基础。同时，通过提问和小结，帮助学生梳理解题思路，提高解题能力。 环节二：综合练习，提升能力 教师活动：出示综合练习题：（1）判断题：①两个数的公倍数一定是它们公因数的倍数。（）②1是所有非零自然数的公因数，也是所有非零自然数的公倍数。（）（2）选择题：①下面各组数中，既不是互质数，又不是倍数关系的是（）。A.6和9 B.8和16 C.5和7②已知a和b都是非零自然数，且a÷b=4，那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。A.a B.b C.4（3）解决问题：①把一张长60厘米、宽45厘米的长方形纸，剪成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，最多可以剪多少个？②小明每4天去一次少年宫，小红每6天去一次少年宫，他们今天同时去了少年宫，至少再过多少天他们又会同时去少年宫？ 学生活动：学生独立完成练习题，然后小组内交流讨论，互相纠正错误。 教师活动：引导学生汇报答案，重点讲解解题思路。预设答案：（1）①√ ②× （2）①A ②B，A （3）①60和45的最大公因数是15，（60÷15）×（45÷15）=4×3=12（个）。答：最多可以剪12个。②4和6的最小公倍数是12，至少再过12天他们又会同时去少年宫。 教师活动：提问：“解决实际问题时，要怎样判断是求最大公因数还是最小公倍数？”预设答案：如果是要把一个整体分成若干个相同的部分，且没有剩余，一般是求最大公因数；如果是要找出几个事件同时发生的最短时间，一般是求最小公倍数。 学生活动：结合练习题，进一步体会求最大公因数和最小公倍数在实际问题中的应用。 教师活动：小结：解决实际问题时，要认真审题，理解题意，判断是求最大公因数还是最小公倍数，然后选择合适的方法进行解答。 [设计意图] 通过综合练习，让学生进一步提高运用所学知识解决实际问题的能力，培养学生的审题能力和分析问题的能力。同时，通过小组交流讨论，培养学生的合作意识和交流能力。 环节三：拓展练习，发展思维 教师活动：出示拓展练习题：（1）已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？（2）有一批砖，长45厘米，宽30厘米，至少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形？ 学生活动：学生独立思考，尝试解决问题，教师巡视指导，对有困难的学生进行点拨。 教师活动：引导学生汇报解题思路和答案。预设答案：（1）因为两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积，所以另一个数是6×36÷12=18。（2）45和30的最小公倍数是90，（90÷45）×（90÷30）=2×3=6（块）。答：至少用6块这样的砖才能铺成一个正方形。 教师活动：提问：“解决这类拓展问题时，要注意什么？”预设答案：要灵活运用最大公因数和最小公倍数的关系，结合实际问题进行分析和解答。 学生活动：同桌互相交流解题方法和技巧，分享自己的思路。 教师活动：小结：通过拓展练习，我们进一步发展了思维能力，学会了灵活运用所学知识解决复杂的问题。 [设计意图] 通过拓展练习，让学生在解决问题的过程中发展思维能力，培养学生的创新意识和解决问题的能力，同时让学生体验到成功的喜悦，增强学习数学的信心。 环节四：课堂小结，梳理知识 教师活动：提问：“今天的综合练习，你有哪些收获？你对公因数和公倍数的知识有了哪些新的认识？” 学生活动：学生自由发言，回顾本节课的练习内容和收获，分享自己的解题经验和体会。 教师活动：对学生的发言进行总结和补充，梳理公因数和公倍数的知识脉络，强调重点和难点。 教师活动：布置课堂练习（见下文）。 学生活动：独立完成课堂练习。 教师活动：巡视指导，及时反馈学生的练习情况。 [设计意图] 通过课堂小结，让学生梳理本节课的知识和收获，进一步巩固所学内容，提高学生的归纳概括能力。同时，通过课堂练习及时检验学生的学习效果，为后续的教学提供依据。 【板书设计】 公因数和公倍数的综合练习 1.最大公因数：列举法、短除法（除数相乘） 2.最小公倍数：列举法、短除法（除数和商相乘） 3.实际应用： 求最大公因数——分东西、剪图形（无剩余） 求最小公倍数——同时发生、铺图形（最小正方形） 【课堂练习】 填空题：（1）20和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。（2）如果两个数的最小公倍数是12，那么这两个数可能是（）和（）。 判断题：（1）两个数的公因数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的。（）（2）如果a和b是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。（） 选择题：（1）下面各组数中，最大公因数是1的是（）。A.12和18 B.15和25 C.7和11（2）用长6厘米、宽4厘米的长方形纸片拼成一个正方形，至少需要（）张这样的纸片。A.6 B.8 C.12 解决问题：（1）有两根铁丝，一根长36厘米，另一根长48厘米，现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？（2）一种饮料，每瓶250毫升，每箱有12瓶；另一种饮料，每瓶300毫升，每箱有10瓶。现在要把两种饮料分别装在相同的杯子里，且没有剩余，杯子的容量最大是多少毫升？每种饮料各需要多少瓶？ 【课堂练习答案】 （1）10，60；（2）3和4（答案不唯一） （1）√ （2）√ （1）C （2）A （1）36和48的最大公因数是12，每段最长是12厘米。（36+48）÷12=84÷12=7（段）。答：每段最长是12厘米，一共可以截成7段。（2）250和300的最大公因数是50，杯子的容量最大是50毫升。250÷50=5（瓶），300÷50=6（瓶）。答：杯子的容量最大是50毫升，第一种饮料需要5瓶，第二种饮料需要6瓶。 【课后作业】 变式练习题：求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（1）18和27；（2）24和32；（3）11和13。 对比练习题：解决下面两组问题，说说它们的异同点。（1）把一张长40厘米、宽32厘米的长方形纸，剪成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，最多可以剪多少个？（2）用长40厘米、宽32厘米的长方形纸片拼成一个正方形，至少需要多少张这样的纸片？ 生活情境题：学校图书馆买来一批新书，科技书有80本，故事书有120本，要把这些书平均分给若干个班级，每个班级分得的科技书和故事书的本数分别相同，最多可以分给多少个班级？每个班级分得科技书和故事书各多少本？ 思维拓展选做题：有一个自然数，它的最大因数和最小倍数的和是60，这个自然数是多少？它的所有因数有哪些？ 【课后作业答案】 （1）最大公因数是9，最小公倍数是54；（2）最大公因数是8，最小公倍数是96；（3）最大公因数是1，最小公倍数是143。 相同点：都是运用最大公因数或最小公倍数的知识解决问题。不同点：（1）是求最大公因数，解决的是剪图形的问题；（2）是求最小公倍数，解决的是拼图形的问题。（1）40和32的最大公因数是8，（40÷8）×（32÷8）=5×4=20（个）。答：最多可以剪20个。（2）40和32的最小公倍数是160，（160÷40）×（160÷32）=4×5=20（张）。答：至少需要20张这样的纸片。 80和120的最大公因数是40，最多可以分给40个班级。80÷40=2（本），120÷40=3（本）。答：最多可以分给40个班级，每个班级分得科技书2本，故事书3本。 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个自然数是60÷2=30。30的所有因数有1、2、3、5、6、10、15、30。答：这个自然数是30，它的所有因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 1 学科网（北京）股份有限公司 $