11.1 柱体（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学“柱体”核心知识点，从多面体概念切入，系统梳理棱柱（定义、分类及直棱柱、斜棱柱、正棱柱区别）和圆柱（定义、母线等结构特征），通过祖暅原理推导柱体体积公式，结合展开图分析表面积构成，构建概念-原理-应用的学习支架。 该资料紧扣课标重难点，设易错提醒和即学即练即时巩固，7类题型含解题贴士与变式。通过辨析直棱柱与正棱柱培养空间观念（数学眼光），用祖暅原理推导体积公式发展推理能力（数学思维），展开图最短距离问题转化平面培养模型意识（数学语言）。课中辅助教学，课后分层练习助查漏补缺。

第11章 简单几何体 11.1 柱体 课标要点 1.认识多面体、棱柱与圆柱，能识别面、棱、顶点、母线等几何体的相关基础概念。 2.理解棱柱、圆柱定义与分类，掌握祖暅原理，会区分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。 3.熟练记忆柱体体积、表面积公式，能够利用公式完成棱柱、圆柱相关计算习题。 4.会运用祖暅原理理解柱体体积来源，能结合展开图分析几何体表面积的构成。 学习重难点 重点： 1.棱柱、圆柱的定义与相关概念，分清直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体的区别。 2.柱体的体积与表面积计算公式，掌握棱柱、圆柱的展开图，会进行基础运算。 3.理解祖暅原理的含义，能够利用原理解释等底等高柱体体积相等的结论。 难点： 1.区分棱柱的侧棱与几何体的高，斜棱柱中容易误把侧棱直接当作高参与体积计算。 2.表面积计算，容易遗漏底面面积，不能结合实际场景判断需要计算哪些面。 3.祖暅原理的条件理解，容易忽略 “任意平面截得截面面积相等” 这一限定条件。 知识点一 多面体 定义：由若干平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体。 1.面：围成多面体的各个平面多边形。 2.棱：相邻两个面的公共边。 3.顶点：棱与棱的公共交点。 知识点二 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 1.底面：互相平行的两个面。 2.侧面：除底面以外的其余各个面。 3.侧棱：相邻两个侧面的公共边。 4.顶点：侧面与底面的公共顶点。 棱柱分类 1.按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.按侧棱与底面的位置关系分： 1.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 2.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 3.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 4.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 棱柱表示方法 用底面各顶点的字母表示，例如棱柱。 易错提醒 正棱柱、直棱柱概念会混淆，误以为直棱柱就是正棱柱；正棱柱必须同时满足两个条件：直棱柱+底面是正多边形。普通直棱柱底面可以是普通多边形。 处理方法：直棱柱只要求侧棱垂直底面；正棱柱是特殊的直棱柱，底面必须是正多边形。 即学即练 1．下列几何体是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，A是圆柱，BD不存在全等的两个底面，不是棱柱，C是棱柱. 2．如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为是等腰直角三角形，且， 又因为P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设P到直线的距离为h， 因为， 可知． 故选：A． 知识点三 圆柱 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 1.轴：旋转轴。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面，圆柱有两个互相平行的圆形底面。 3.侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面。 4.母线：平行于轴的边旋转到任意位置都叫做圆柱的母线，圆柱母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱表示：用轴上两个端点字母表示，如圆柱。 即学即练 3．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于D：截面的形状不可能是等腰梯形． 故选：D. 知识点四 祖暅原理 原文：幂势既同，则积不容异。 内容：夹在两个平行平面之间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 作用：可以推导等底面积、等高的柱体（或锥体）体积相等。 知识点五 柱体的体积 柱体的高：两个底面之间的距离，即一个底面上任意一点向另一个底面作垂线，垂线段的长度。 1.棱柱体积：，为底面积，为棱柱的高。 2.圆柱体积：，是底面圆半径，是圆柱的高。 特别提醒 圆柱的母线长等于高，直棱柱侧棱长等于高；斜棱柱侧棱长不等于高。 即学即练 4．已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该圆柱的底面半径为，高为， ，，得， 所以该圆柱的体积． 5．一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 知识点六 柱体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，等价于几何体平面展开图的总面积。 1.直棱柱表面积 直棱柱侧面积：侧面积等于底面周长乘以高，。 2.圆柱表面积 设底面半径为，母线长为。 底面积：；侧面积：；表面积： 即学即练 6．底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 【答案】 【详解】根据圆柱侧面积公式为， 代入，得： . 7．一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是（    ） A．8 B．24 C． D． 【答案】C 【详解】边长为4的正三角形的面积为. 直棱柱的侧面为矩形， 所以表面积为. 题型01 棱柱的结构特征 解题贴士 判断棱柱要完整对照定义，两个底面互相平行，其余各面是四边形，相邻四边形公共边互相平行，三个条件缺一不可。 做题要分清直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体的区别，注意正棱柱既要侧棱垂直底面，底面还得是正多边形，避免概念混淆。 典｜例｜精｜析 例1．如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则下列结论正确的有（   ） A． B．直线与平面平行 C．直线 D．点和到下底面的距离不相等 【答案】A 【详解】对于A，根据棱柱的定义可知，故A正确； 对于B，由于为正六边形，则直线和相交，因此直线与平面存在公共点，所以直线与平面不平行，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义可知，根据正六边形的性质可知，与的夹角为，所以与的夹角为，故C错误； 对于D，由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面，故点和到下底面的距离相等，故D错误. 变｜式｜巩｜固 变式1-1．用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要（    ） A．3笔 B．4笔 C．5笔 D．6笔 【答案】C 【详解】正五棱柱共10个顶点，每个顶点连3条棱，均为奇顶点， 根据欧拉笔画定理：连通图最少笔画数奇顶点数， 因此，至少需要5笔． 变式1-2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【详解】依题意，，且， 又平面平面， 所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 变式1-3．在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 【答案】4 【详解】设四棱柱为 ． 因棱柱的侧棱 互相平行且相等，且对应底边互相平行， 所以四个侧面 ，，， 都是平行四边形． 当底面 不是平行四边形时，上、下两个底面均不是平行四边形，故是平行四边形的面至少有 个． 题型02 棱柱的展开图及最短距离问题 解题贴士 求棱柱表面两点最短距离，核心方法是把棱柱侧面展开为平面图形，将立体问题转化平面两点之间线段最短问题。 展开时注意分清展开哪些侧面，找准对应点位置，展开后利用勾股定理计算线段长度，留意不要搞错棱长的对应数值。 典｜例｜精｜析 例2．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（    ） A．成 B．竟 C．者 D．事 【答案】A 【详解】将此展开图还原，以“者”为正方体的下底面， 则“志”为正方体的背面，“有”为正方体的左侧面，“事”为正方体的右侧面，“竟”为正方体的上底面，“成”为正方体的正面， 所以这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为“成”. 变｜式｜巩｜固 变式2-1．如图，由平面图形围成的长方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由侧面展开图可知这个长方体中相对的两个最小的矩形被涂色，剩余的两组对面中，一组被涂色，另一组是本色， 结合选项可知ABC错误，D正确. 变式2-2．在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，作关于底面的对称点，    则，所以， 所以的最小值为点到直线的垂直距离， 因为到的距离为， 所以到平面的距离为， 又， 所以的最小值为. 即的最小值为. 变式2-3．如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为. 如图，，,所以 是 中点，，，中，由余弦定理得 ,所以 所以 的最小值为 . 题型03 圆柱的结构特征 解题贴士 圆柱是旋转体，由矩形绕其中一条边旋转得到，分清轴、底面、侧面、母线，圆柱所有母线长度相等，母线长等于圆柱的高。 要区分圆柱与多面体，侧面是曲面不是平面；做题注意旋转轴是哪条边，不同的旋转边会得到不一样尺寸的圆柱。 典｜例｜精｜析 例3．如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】B、D项不是旋转体，排除；A项不符合圆柱体的定义，排除； 只有C项符合，所以选C. 变｜式｜巩｜固 变式3-1．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状有（     ） A．三角形 B．矩形 C．椭圆形 D．圆形 【答案】A 【详解】当圆柱桶竖直放置时，水平面形状为圆形； 水平放置时，水平面为矩形； 倾斜放置时，水平面的形状为椭圆形或椭圆的一部分（需考虑水平面与圆柱上、下底面相交的各种情况）. 变式3-2．用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆环 D．椭圆 【答案】D 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：D 变式3-3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 题型04 柱体体积的有关计算 解题贴士 棱柱体积公式，圆柱体积，公式里的是两底面之间的垂直高度，不是斜棱柱的侧棱长。 遇到斜棱柱题型，不能直接拿侧棱当作高，需要先求出垂直高；看清底面形状，准确计算底面积，再代入公式完成运算。 典｜例｜精｜析 例4．已知正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当正三棱柱的高为4时， ； 当正三棱柱的高为2时，． 变｜式｜巩｜固 变式4-1．如图，五面体满足，且三条平行线两两间距离均为2．若，，，则该五面体的体积为__________． 【答案】 【详解】延长，，到，，，使，，， 如图：    则为三棱柱，且. 因为棱，，互相平行，且两两之间距离均为2， 所以三棱柱的直截面是边长为2的正三角形. 所以. 所以. 变式4-2．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 【答案】 【详解】设底面正三角形的边长为，其面积为 当侧面水平放置时，水面与交于，与交于，由水面平行于侧面得，故， 由得相似比，因此 水的横截面积为梯形ABED的面积： 正三棱柱侧棱长为，故水的体积为 当底面ABC水平放置时，设水面高度为，水形成底面积为、高为的正三棱柱，因此 代入得 变式4-3．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设底面半径为， 若以长为圆柱的高，则有，解得，则圆柱的体积为； 若以宽为圆柱的高，则有，解得，则圆柱的体积为； 综上可得：这个圆柱的体积为或. 题型05 圆柱轴截面的相关计算 典｜例｜精｜析 例5．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为______cm． 【答案】 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面， 由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则． 轴截面的面积，解得． 故该等边圆柱的底面周长． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 变式5-1．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______. 【答案】20 【详解】轴截面为矩形，两边长分别为5和4，故轴截面的面积为. 故答案为：20 变式5-2．将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积． 【答案】 【详解】当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为， 则，．． 当以8cm为母线长时，设圆柱底面半径为， 则，．． 综上，圆柱的轴截面面积为． 变式5-3．已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 【答案】 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，      由圆柱的性质得过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面是矩形， 因为截面面积为16，所以，解得， 而截面上两点距离的最大值是矩形的对角线长度，设长度为， 由勾股定理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 可得圆柱的底面积为. 故答案为： 题型06 棱柱的侧面积及表面积 典｜例｜精｜析 例6．半径为的球中有一内接正四棱柱．当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正四棱柱的高为，底面边长为，则正四棱柱底面外接圆半径为， ，即； 正四棱柱的侧面积， 当且仅当，即，时取等号， 当正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为. 变｜式｜巩｜固 变式6-1．将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______． 【答案】 【详解】如图，， ， ， ， 剩余几何体的表面积为 . 变式6-2．若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________． 【答案】 【详解】设正三棱柱的高为，底面正三角形边长， 侧面积：， 底面积：， 两个底面的总面积为， 表面积： ， 依题意得：， 代入得： 化简求解：， 正三棱柱体积：. 变式6-3．已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 【答案】1 【详解】由题意知：棱柱的体积， 表面积， 因为， 所以，解得. 题型07 圆柱的侧面积及表面积 典｜例｜精｜析 例7．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过直线的平面截得的截面为圆柱的轴截面。设圆柱的底面半径为，高为. 因为轴截面是正方形，所以轴截面的边长等于底面直径，也等于圆柱的高，即. 由正方形面积为32，可得，解得. 根据圆柱表面积公式： 两底面面积和： 侧面积： ,因此，故选C. 变｜式｜巩｜固 变式7-1．已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形， 则圆柱的底面周长即为正方形的边长，正方形的边长即为圆柱的高， 所以正方形的边长为，圆柱的高为， 则圆柱侧面积为. . 变式7-2．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： 设圆柱的底面半径为，母线长为， 由圆柱的侧面积为，得，得， 由与底面所成角的正切值为2，得，得， 解得， 故圆柱的体积为． 变式7-3．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（   ） A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 【答案】D 【详解】 由题意可知区域和全等， 且都是底面半径为5m，高为的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中， 可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D 基础通关 一、单选题 1．如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【答案】B 【详解】在长方体中，由可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 2．底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（     ） A．一个边长为的正方形 B．一个边长为的正方形 C．一个长为，宽为的矩形 D．一个长为，宽为的矩形 【答案】C 【详解】底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形. 3．长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 【答案】D 【详解】由题设长方体的表面积为. 4．已知圆柱底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆柱底面半径，母线长， 所以圆柱的侧面积. 5．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在图2中，水的体积是， 在图1中，设容器水面的高度为，则，所以. 6．圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 二、填空题 7．已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 【答案】 【详解】设圆柱的高为，因为圆柱的底面半径为3，侧面积为， 所以，解得， 因此圆柱的体积为. 8．已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________. 【答案】4 【详解】正六棱柱上下底面均为正六边形，每个正六边形有 6 条边， 所以上下底面的棱共有 条，且每条棱的长度都为 2 ， 正六棱柱有 6 条侧棱，设侧棱长为 ，已知所有棱长之和为 48 ， 则 ，解得 . 综上，该正六棱柱的侧棱长为 4. 9．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 【答案】 【详解】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3； 若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： . 三、解答题 10．如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 【答案】 【详解】如图，依次将正方体各面展开，从正方形出发， 依次为，，，，， 则截面六边形的周长， 所以六边形的周长的最小值为． 11．圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【答案】 【详解】设圆柱底面半径为，高为，如图所示， 因为圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，且圆柱侧面展开图的面积为， 则，解得， 所以，故圆柱的体积为． 12．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1) (2)2 【分析】 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 素养提升 1．如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】正三棱柱容器的总容积为， 则无水部分体积． 当侧面水平放置时，设无水部分的底面三角形面积为， 则．底面正三角形的高为， 设水平放置时无水部分底面的三角形高为， 则，解得， 所以水面高度为，故选B． 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆柱底面半径为，已知侧面展开图是正方形， 则底面周长等于高，即， 故侧面积，底面积， 圆柱全面积， 故圆柱的侧面积与全面积的比为：． 3．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 4．正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 【答案】2 【详解】设出正四棱柱的各个边长，根据题意列方程求解. 根据正四棱柱的定义，正四棱柱有两个正方形作为底面，侧棱和底面垂直的几何体， 如图所示. 设正方形边长为，侧棱长为，依题意得：， 两式相除并整理可得：，即， 当时，联立，解得； 当时，联立，解得. 于是共有个正四棱柱符合题意. 5．在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为_______.    【答案】/ 【详解】延长，，到，，，使，，，如图：    则为三棱柱，且. 因为棱，，互相平行，且两两之间距离均为1，所以三棱柱的直截面是边长为1的正三角形. 所以. 所以. 故答案为： 迁移创新 1．已知一个无盖圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为40厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱容器的母线与水平面所成角为，则剩下的水为原来时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图1，圆柱半径，母线长（高），体积：， 因为剩下的水为原来的，则流出水的体积为：， 如图2，容器倾斜后，无水部分几何体是一个半圆柱斜截体，其体积为圆柱体积的一半， 则，解得，在中，. 【点睛】方法归纳： 圆柱溢水和倾斜问题：先利用体积比例求落差，再用横截面直角三角形求倾斜角的三角函数. 易错归纳： 1.易颠倒倾斜角的对边、邻边，导致正切值取倒数； 2.误用普通圆柱体积代替斜截体体积. 2．如图，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且．，分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的底面圆的半径为，连接，，，如图， 由题意可知， ，解得， 所以该圆柱的侧面积． 故选：C． 3．如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体 11.1 柱体 课标要点 1.认识多面体、棱柱与圆柱，能识别面、棱、顶点、母线等几何体的相关基础概念。 2.理解棱柱、圆柱定义与分类，掌握祖暅原理，会区分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。 3.熟练记忆柱体体积、表面积公式，能够利用公式完成棱柱、圆柱相关计算习题。 4.会运用祖暅原理理解柱体体积来源，能结合展开图分析几何体表面积的构成。 学习重难点 重点： 1.棱柱、圆柱的定义与相关概念，分清直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体的区别。 2.柱体的体积与表面积计算公式，掌握棱柱、圆柱的展开图，会进行基础运算。 3.理解祖暅原理的含义，能够利用原理解释等底等高柱体体积相等的结论。 难点： 1.区分棱柱的侧棱与几何体的高，斜棱柱中容易误把侧棱直接当作高参与体积计算。 2.表面积计算，容易遗漏底面面积，不能结合实际场景判断需要计算哪些面。 3.祖暅原理的条件理解，容易忽略 “任意平面截得截面面积相等” 这一限定条件。 知识点一 多面体 定义：由若干平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体。 1.面：围成多面体的各个平面多边形。 2.棱：相邻两个面的公共边。 3.顶点：棱与棱的公共交点。 知识点二 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 1.底面：互相平行的两个面。 2.侧面：除底面以外的其余各个面。 3.侧棱：相邻两个侧面的公共边。 4.顶点：侧面与底面的公共顶点。 棱柱分类 1.按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.按侧棱与底面的位置关系分： 1.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 2.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 3.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 4.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 棱柱表示方法 用底面各顶点的字母表示，例如棱柱。 易错提醒 正棱柱、直棱柱概念会混淆，误以为直棱柱就是正棱柱；正棱柱必须同时满足两个条件：直棱柱+底面是正多边形。普通直棱柱底面可以是普通多边形。 处理方法：直棱柱只要求侧棱垂直底面；正棱柱是特殊的直棱柱，底面必须是正多边形。 即学即练 1．下列几何体是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 知识点三 圆柱 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 1.轴：旋转轴。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面，圆柱有两个互相平行的圆形底面。 3.侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面。 4.母线：平行于轴的边旋转到任意位置都叫做圆柱的母线，圆柱母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱表示：用轴上两个端点字母表示，如圆柱。 即学即练 3．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 知识点四 祖暅原理 原文：幂势既同，则积不容异。 内容：夹在两个平行平面之间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 作用：可以推导等底面积、等高的柱体（或锥体）体积相等。 知识点五 柱体的体积 柱体的高：两个底面之间的距离，即一个底面上任意一点向另一个底面作垂线，垂线段的长度。 1.棱柱体积：，为底面积，为棱柱的高。 2.圆柱体积：，是底面圆半径，是圆柱的高。 特别提醒 圆柱的母线长等于高，直棱柱侧棱长等于高；斜棱柱侧棱长不等于高。 即学即练 4．已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 5．一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 知识点六 柱体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，等价于几何体平面展开图的总面积。 1.直棱柱表面积 直棱柱侧面积：侧面积等于底面周长乘以高，。 2.圆柱表面积 设底面半径为，母线长为。 底面积：；侧面积：；表面积： 即学即练 6．底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 7．一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是（    ） A．8 B．24 C． D． 题型01 棱柱的结构特征 解题贴士 判断棱柱要完整对照定义，两个底面互相平行，其余各面是四边形，相邻四边形公共边互相平行，三个条件缺一不可。 做题要分清直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体的区别，注意正棱柱既要侧棱垂直底面，底面还得是正多边形，避免概念混淆。 典｜例｜精｜析 例1．如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则下列结论正确的有（   ） A． B．直线与平面平行 C．直线 D．点和到下底面的距离不相等 变｜式｜巩｜固 变式1-1．用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要（    ） A．3笔 B．4笔 C．5笔 D．6笔 变式1-2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 变式1-3．在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 题型02 棱柱的展开图及最短距离问题 解题贴士 求棱柱表面两点最短距离，核心方法是把棱柱侧面展开为平面图形，将立体问题转化平面两点之间线段最短问题。 展开时注意分清展开哪些侧面，找准对应点位置，展开后利用勾股定理计算线段长度，留意不要搞错棱长的对应数值。 典｜例｜精｜析 例2．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（    ） A．成 B．竟 C．者 D．事 变｜式｜巩｜固 变式2-1．如图，由平面图形围成的长方体是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型03 圆柱的结构特征 解题贴士 圆柱是旋转体，由矩形绕其中一条边旋转得到，分清轴、底面、侧面、母线，圆柱所有母线长度相等，母线长等于圆柱的高。 要区分圆柱与多面体，侧面是曲面不是平面；做题注意旋转轴是哪条边，不同的旋转边会得到不一样尺寸的圆柱。 典｜例｜精｜析 例3．如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式3-1．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状有（     ） A．三角形 B．矩形 C．椭圆形 D．圆形 变式3-2．用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆环 D．椭圆 变式3-3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 题型04 柱体体积的有关计算 解题贴士 棱柱体积公式，圆柱体积，公式里的是两底面之间的垂直高度，不是斜棱柱的侧棱长。 遇到斜棱柱题型，不能直接拿侧棱当作高，需要先求出垂直高；看清底面形状，准确计算底面积，再代入公式完成运算。 典｜例｜精｜析 例4．已知正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积为（   ） A． B． C．或 D．或 变｜式｜巩｜固 变式4-1．如图，五面体满足，且三条平行线两两间距离均为2．若，，，则该五面体的体积为__________． 变式4-2．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 变式4-3．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为（     ） A． B． C． D． 题型05 圆柱轴截面的相关计算 典｜例｜精｜析 例5．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为______cm． 变｜式｜巩｜固 变式5-1．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______. 变式5-2．将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积． 变式5-3．已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 题型06 棱柱的侧面积及表面积 典｜例｜精｜析 例6．半径为的球中有一内接正四棱柱．当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式6-1．将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______． 变式6-2．若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________． 变式6-3．已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 题型07 圆柱的侧面积及表面积 典｜例｜精｜析 例7．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式7-1．已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（   ） A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 基础通关 一、单选题 1．如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是（    ）      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 2．底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（     ） A．一个边长为的正方形 B．一个边长为的正方形 C．一个长为，宽为的矩形 D．一个长为，宽为的矩形 3．长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 4．已知圆柱底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 6．圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 二、填空题 7．已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 8．已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________. 9．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 三、解答题 10．如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 11．圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 12．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 素养提升 1．如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（    ） A． B． C． D．1 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（     ） A． B． C． D． 3．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 5．在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为_______.    迁移创新 1．已知一个无盖圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为40厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱容器的母线与水平面所成角为，则剩下的水为原来时，（     ） A． B． C． D． 2．如图，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且．，分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $