第05讲 柱体（10大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第05讲 柱体 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 柱体的结构特征和分类 题型6 棱柱的体积计算 题型2 判断几何体是否为柱体 题型7 圆柱的结构特征辨析 题型3 柱体展开图及最短距离问题 题型8 圆柱的表面积计算 题型4 判断正方体的截面 题型9 圆柱的体积计算 题型5 棱柱的表面积计算 题型10 圆柱轴截面有关的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 棱柱结构特征、棱柱分类 1.掌握棱柱两大核心特征：两组平行全等底面、侧面均为平行四边形 2.区分斜棱柱、直棱柱、正棱柱的判定条件，理清分类标准 棱柱判定、几何体辨析 1.能依据定义逐条核对几何体，判断是否满足棱柱全部结构要求 2.识别残缺、不规则伪棱柱，排除侧面不平行、底面不全等图形 正棱柱、棱长、底面、侧面积计算 1.熟记正棱柱底面为正多边形、侧棱垂直底面的特征 2.结合底面边长、高求解侧棱、底面周长、底面积、侧面积 棱柱展开图、表面最短路径 1.理解棱柱侧面展开为矩形，底面为全等多边形 2.学会平铺展开侧面，用两点之间线段最短求表面最短距离 正方体截面、截面形状判断 1.掌握平面截正方体可出现三角形、四边形、五边形、六边形 2.能根据截面经过棱的数量，快速判定截面多边形边数 棱柱表面积、体积综合计算 1.分清棱柱侧面积、全面积公式，区分底面与侧面 2.灵活结合底面积与高，计算棱柱体积，处理组合棱柱 圆柱结构特征、圆柱辨析 1.掌握圆柱定义：矩形旋转而成，上下全等圆形底面、曲面侧面 2.区分圆柱与圆台、圆锥，辨析母线、高、底面半径概念 柱体通用体积、体积计算 1.牢记柱体统一体积公式，棱柱、圆柱通用 2.已知底面周长、侧面积反推底面积，再求解体积 圆柱轴截面、矩形计算 1.明确圆柱轴截面为矩形，矩形两边分别为圆柱高、底面直径 2.借助轴截面边长关系求解半径、高、对角线长 棱柱表面积、底侧面积运算 1.棱柱表面积，侧面拆分多个平行四边形求和 2.不规则底面多边形先算单个底面面积，再代入公式 圆柱表面积、曲面面积计算 1.圆柱表面积，分清底面积与侧面积 2.无盖、空心圆柱需按需删减底面，避免重复计算底面 学习重点： 1.棱柱、圆柱的结构特征与判定方法 2.柱体体积统一公式、棱柱与圆柱表面积公式 3.正方体截面形状判断、展开图最短路径求解 4.正棱柱、圆柱轴截面相关几何计算 学习难点： 1.棱柱判定易遗漏“两个底面互相平行且全等”核心条件 2.立体表面最短路径需要平铺展开，空间转化平面易出错 3.正方体截面最多六边形，容易误判出现七边形、直角三角形 4.空心、无盖几何体表面积计算，容易多算/少算底面 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 棱柱 定义 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面_平行____;其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都_相互平行____.像这样的几何体称为棱柱. 图示及相关概念 如图可记作：棱柱，也可记作棱柱 底面(底)：两个互相平行的面___； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边___； 顶点：侧面与底面的公共顶点___； 对角线：既不在同一__同一底面___上也不在同一个_侧面__上的两个顶点的连线 高：过上底面上一点作下底面的_垂线__，这点和垂足O间的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……， 侧面平行四边形都是矩形_____的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱.底面是_正多边形____的__直棱柱_称为正棱柱. 底面是平行四边形_____的棱柱称为平行六面体 【易错提醒】 1.判定棱柱漏条件：只看侧面是平行四边形，忽略上下底面平行且全等 2.混淆直棱柱、正棱柱：直棱柱仅侧棱垂直底面；正棱柱额外要求底面是正多边形 3.正方体截面误区：截面三角形只能是锐角三角形，不存在直角、钝角三角形；截面最多六边形 4.展开图最短路径：不把侧面平铺成平面，直接在立体图连线计算，结果出错 5.斜棱柱计算错把侧棱当作高，只有直棱柱侧棱长度等于几何体垂直高 即时即练 1.（25-26高二上·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的定义及举反例判断即可. 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 2.（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 知识点02 圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以_矩形的一边所在直线_____为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱   图中的圆柱记作:_棱柱和圆柱_______ 相关概念 轴:_圆柱____叫做圆柱的轴； 底面:__旋转轴____边旋转而成的圆面； 侧面:__垂直于轴的_____的边旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,__平行于轴______边都叫做圆柱侧面的母线; 柱体: _平行于轴的_____称为柱体 【易错提醒】 1.混淆母线与高：圆柱母线平行于轴、长度等于高，但母线不是几何体垂直高的通用概念 2.误判旋转来源：矩形绕一边旋转才是圆柱，绕对角线旋转不是圆柱 3.轴截面概念出错：轴截面矩形两边是直径2r、高h，错把半径当作轴截面宽 4.曲面概念混淆：圆柱侧面是曲面，上下底面是平面，不可把侧面当成平面图形 即时即练 1.（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 2.（24-25高二上·上海·课前预习）圆柱有多少条母线？母线与轴有什么位置关系？ 【答案】无数条；平行． 【分析】由圆柱母线的定义和几何性质即可求解. 【详解】如图，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴，无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，因此母线有无数条，且长度相等，母线与轴的位置关系是平行关系.    知识点03 柱体的表面积 （1）直棱柱的表面积 对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边．所以，直棱柱的侧面积等于_棱柱的高乘底面多边形的周长_______．设直棱柱的高为h，底面多边形的周长为c．底面积为，就得到直棱柱的表面积公式：________． （2）圆柱的表面积 将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，得到一个___矩形_____．设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，底面周长为c，就得到圆柱的表面积公式： ________． 【易错提醒】 1.全面积漏算/多算底面：无盖、空心柱体仍套，多算底面 2.圆柱侧面积记错公式：混淆与，错用底面半径代替周长 3.斜棱柱侧面积误用“底面周长×高”，该公式仅适用于直棱柱 4.单位不统一，底面边长、高单位混用导致面积计算错误 即时即练 1.（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 【答案】16 【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可. 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是. 故答案为：16 2.（25-26高三下·上海·阶段检测）一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为， 则该圆柱的侧面积是. 知识点04 柱体的体积 （1）棱柱的体积 设棱柱的底面积为，高为h，由祖暅原理得到一般棱柱的体积公式：________． （2）圆柱的体积 设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，由祖暅原理得到一般圆柱的体积公式：________=________． 【易错提醒】 1.公式中是垂直底面的高，斜棱柱不可直接代入侧棱长度 2.底面积计算出错：正多边形、圆形底面积公式记错，间接影响体积结果 3.组合柱体拆分错误，重复/遗漏部分几何体体积 4.逆向计算时，已知体积求高，忘记变形，等量关系颠倒 即时即练 1.（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【分析】由题意可得新圆柱的高和底面半径，由圆柱的体积公式计算即可得解． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 2.（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【答案】4 【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解. 【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为. 题型1 柱体的结构特征和分类 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 【例2】（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是______________. 【答案】 【分析】根据棱柱的几何特征逐项判断即可. 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.棱柱：两底面平行且全等，侧面均为平行四边形，侧棱互相平行 2.直棱柱：侧棱垂直底面；正棱柱：直棱柱+底面为正多边形 3.圆柱：矩形绕一边旋转而成，两底面等大圆形，母线平行且等于高 方法技巧 1.按侧棱与底面垂直关系划分斜/直/正棱柱 2.对比旋转来源区分圆柱、圆锥、圆台结构差异 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【答案】C 【分析】举例说明即可判断命题；根据线面垂直的性质和三垂线定理即可判断命题. 【详解】对于命题：如图即为反例，故命题为假命题；    对于命题：如图所示，在该棱锥中，底面. 在底面中，，，….    根据三垂线定理，则所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 题型2 判断几何体是否为柱体 【例1】对如图所示的几何体描述正确的是______.（填序号） ①这是一个六面体；②这是一个四棱柱；③此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到. 【答案】① ② ③ ④ 【分析】依据六面体定义判断① ；依据四棱柱定义判断② ；依据平面截三棱柱去判断③ ；依据平面截四棱柱去判断④ . 【详解】上图所示的几何体共有6个面，因此是一个六面体. ① 判断正确； 上图所示的几何体可以看成以前后面梯形为底面的四棱柱. ② 判断正确； 上图所示的几何体可以看成由三棱柱截去一个小三棱柱而得到. ③ 判断正确； 上图所示的几何体可以看成由四棱柱截去一个三棱柱而得到. ④ 判断正确. 故答案为：① ② ③ ④ 【例2】如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【分析】根据棱柱的结构特征即可得解. 【详解】依题意得，且， 又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱. 【技巧归纳】 公式结论 棱柱判定：①上下底面平行全等②所有侧面为平行四边形；二者缺一不可 圆柱判定：旋转体，上下等圆、侧面曲面、母线平行等高 方法技巧 1.逐条核对定义条件，缺任意一条即不是柱体 2.举反例排除上下底面不等、侧面不规则几何体 【变式2-1】观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【分析】根据棱柱的定义分析判断即可. 【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 【变式2-2】如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析； (2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱. 【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可； （2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可. 【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱； （2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面. 截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱， 其中四边形和是底面. 题型3 柱体展开图及最短距离问题 【例1】（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【答案】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. 【例2】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.直棱柱侧面展开为矩形，一边底面周长、一边柱体高 2.圆柱侧面展开为矩形，长，宽 3.平面两点之间线段最短 方法技巧 1.立体侧面平铺转化平面图形 2.构造直角三角形，勾股定理算最短路径长 【变式3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为________.    【答案】 【分析】将绕翻折到与共面，作出平面图形，连接，则线段即为的最小值，再由勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示.    连接（平面图形中），则的长度即为的最小值， 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解. 【详解】将正三棱柱沿展开两次，得下图： 最短路线即为大矩形的对角线的长，为. 故选：B 题型4 判断正方体的截面 【例1】（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    【例2】（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长， 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    【技巧归纳】 公式结论 1.截面边数范围：，可形成三角、四边、五边、六边形 2.截面三角形只能是锐角三角形，无直角、钝角三角形 方法技巧 1.数平面穿过正方体棱的条数，棱数=截面边数 2.找截面平行棱，快速判断平行对边、多边形形状 【变式4-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 【变式4-2】（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 题型5 棱柱的表面积计算 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断三棱柱是正三棱柱，再根据底面正三角形和侧面正方形的面积和，求解棱柱表面积即可； （2）作出辅助线，结合题干和勾股定理可得线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)12； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. 【详解】（1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 所以异面直线AB与所成角的大小为. 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面积：直棱柱；斜棱柱=各侧面平行四边形面积相加 2.全面积： 方法技巧 1.先算单个底面面积，再算侧面，最后求和 2.无盖棱柱只保留1个底面，去掉一倍底面积 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果. （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角. （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. （3）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 【变式5-2】（24-25高二下·上海静安·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为___________.    【答案】 【分析】首先证得，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果. 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作，证明. 题型6 棱柱的体积计算 【例1】（25-26高三·上海·二轮复习）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点，则三棱锥的体积__________． 【答案】 【分析】由棱柱的体积公式求解即可. 【详解】因为为直三棱柱，所以平面， 又因为为边长为的正三角形，所以， 又 . 故答案为：. 【例2】（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，六面体中，四边形为菱形， ， ， ，且平面 平面.    (1)在 上确定一点 ，使得 平面 ； (2)若 ，求六面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当为的中点时再取的中点为，连接，可证明四边形为平行四边形，则 平面； （2）取的中点为，连接，先证明平面，再利用求解. 【详解】（1）当为的中点时，平面． 再取的中点为，连接 由分别为的中点，则，且， 再由，且，则， 故四边形为平行四边形， 即，且平面，平面， 故平面；    （2）取的中点为，连接，    由四边形为菱形得， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，由平面得， 故由得， 由平面得平面， 且平面，则平面平面， 由且为的中点得， 因为平面平面，平面，所以平面， 由得， 为正三角形，则， 所以. 【技巧归纳】 公式结论 通用体积公式：（为底面垂直高，非侧棱） 方法技巧 1.斜棱柱先找底面垂直高，不可直接代入侧棱 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为_________. 【答案】 【分析】根据不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可. 【详解】设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积，解得， 故答案为： 【变式6-2】（2024·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证： 平面. 【答案】(1)3； (2)证明：在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由是的中点，得，且， 而且，又为棱的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）根据给定条件，可得点在平面上的射影在直线上，进而求出三棱柱的高及体积. （2）利用线面平行的判定推理即得. 【详解】（1）在三棱柱中，平面平面， 由平面平面，得点在平面上的射影在直线上， 点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为， 因此，而正的面积， 所以三棱柱的体积. 题型7 圆柱的结构特征辨析 【例1】用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案. 【详解】解： 对于选项A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于选项B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于选项C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于选项D：截面的形状不可能是等腰梯形； 故选：D 【例2】下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【答案】C 【分析】由旋转体的结构特征依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误； 对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误； 对于C，由圆柱的定义知C正确； 对于D，圆柱有无数条母线，D错误. 故选：C. 【技巧归纳】 公式结论 1.母线长=圆柱高，底面直径 2.轴截面为矩形，邻边长2r、h 方法技巧 1.区分母线、高、底面半径三个概念 2.旋转类判断题：只有矩形绕邻边旋转得到标准圆柱 【变式7-1】如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱体定义即可得. 【详解】B、D项不是旋转体，排除；A项不符合圆柱体的定义，排除； 只有C项符合，所以选C. 题型8 圆柱的表面积计算 【例1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点. (1)求圆柱的侧面积与表面积； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)侧面积为，表面积为； (2). 【分析】（1）由题可得圆柱底面半径及高，据此可得答案； （2）由题可得为二面角的平面角，据此可得答案. 【详解】（1）设圆柱底面圆半径为，高为. 因，，则，为外接圆直径， 即圆柱底面圆直径为，从而底面圆半径为. 又由题可得圆柱高为，则圆柱侧面积为：， 表面积为：； （2）由题可得，平面，又平面，则. 又，平面，，则平面. 因平面，则.又因， 则为二面角的平面角， 因为平面，平面，则， 从而， 即. 【例2】（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【分析】根据圆柱的展开图和侧面积公式计算即可. 【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，宽为圆柱的高，长为圆柱底面圆的周长， 所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面积： 2.全面积： 方法技巧 1.空心/无盖圆柱删减对应底面圆面积 2.已知轴截面边长，先求r、h再代入公式 【变式8-1】（2025高二上·上海松江·专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】圆柱的底面半径为，母线长为，所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：． 【变式8-2】（25-26高二上·上海·期中）已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆． (1)试用表示圆柱的侧面积； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式直接求得结果； （2）通过平移直线法先确定所成的角为或其补角，然后利用余弦定理求解出角的大小，则结果可知. 【详解】（1）设圆柱的高为，因为， 所以. （2）连接，由正六边形的性质可知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，即为或其补角， 因为为正三角形，所以， 在中，， 所以，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. 题型9 圆柱的体积计算 【例1】（25-26高二上·上海·期中）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的侧面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】已知圆柱的半径，设圆柱的高为， 由圆柱的侧面积为，可得，解得， 圆柱体积为：. 故答案为：. 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 【答案】或 【分析】分别讨论以30cm边为底面周长，20cm边为高和以20cm边为底面周长，30cm边为高两种情况，求得底面圆半径，代入体积公式，即可得答案. 【详解】若以30cm边为底面周长，20cm边为高时， 底面圆半径， 则体积； 若以20cm边为底面周长，30cm边为高时， 底面圆半径， 则体积. 【技巧归纳】 公式结论 方法技巧 1.给出直径先换算半径再计算 2.结合轴截面、侧面展开图建立r、h方程求解体积 【变式9-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是____________. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式列式求解. 【详解】设圆柱的高为，依题意，，所以. 故答案为：2 【变式9-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】当高为时，底面周长为，则底面半径为， 所以， 同理可得当高为时，， 因为，所以， 故选：C． 题型10 圆柱轴截面有关的计算 【例1】（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 【答案】 【分析】利用圆柱的截面性质得到，再结合勾股定理和基本不等式求出，最后求解底面积即可. 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，      由圆柱的性质得过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面是矩形， 因为截面面积为16，所以，解得， 而截面上两点距离的最大值是矩形的对角线长度，设长度为， 由勾股定理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 可得圆柱的底面积为. 故答案为： 【例2】（24-25高二上·上海闵行·阶段检测）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________. 【答案】 【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解. 【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是， 所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为， 所以圆柱的底面的面积为. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.圆柱轴截面为矩形，矩形两边：宽（底面直径），长（圆柱的高/母线长） 2.轴截面矩形对角线： 3.轴截面面积： 方法技巧 1.已知轴截面边长，可直接解出底面半径与圆柱高 2.轴截面对角线对应圆柱内最长线段（上下底面异径端点连线） 3.结合轴截面面积建立r、h方程，联动求解表面积、体积 【变式10-1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出圆柱底面半径r与母线l的关系即可求解圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r，l， 依题意，，解得， 由圆柱侧面积公式得：， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：A 【变式10-2】圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为________． 【答案】 【分析】根据圆柱轴截面可求得圆柱的半径和高，即可求得圆柱表面积. 【详解】由圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形可知， 该圆柱上底面直径为4cm，半径为2cm，高为4cm； 根据圆柱表面积公式可得. 故答案为：. 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”（注：丈等于尺） 【答案】26 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为尺， 故葛藤长（尺）. 2．（2025高二·上海·专题练习）一个棱长为1的正方体盒子，则下列几何图形能否单独完全装入盒子______ ①长度为1.7的线段；②面积为1的圆；③体积为0.3的正四面体 【答案】①②③ 【分析】通过比较正方体体对角线的长可以判断①；通过比较正方体棱的中点所构成的正六边形的内接圆与已知圆的半径可以判断②；计算正方体中最大的正四面体的体积，可以判断③. 【详解】对于①棱长为的正方体盒子，体对角线长为，所以长度为的线段放入正方体体对角线的位置就可以装入，故①正确； 对于②，如图， 连接正方体的棱的中点所得的正六边形的内接圆是正方体内能放入的最大圆， 正六边形的边长，的中点为内切圆的圆心，的中点为切点， 为正六边形的内切圆的半径，利用勾股定理可得， 面积为1的圆的半径为， 所以②面积为1的圆可放入棱长为1的正方体盒子，故②正确； 对于③正方体内最大的正四面体为如图所示， 其体积为， 故体积为0.3的正四面体可放入棱长为1的正方体盒子，故③正确； 故答案为：①②③. 3．（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 【答案】 【分析】把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解即可. 【详解】 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 因为正方体的棱长为2，所以； 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 此时； 因为，所以从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    【答案】 【分析】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，连接与交于点时，即为的最小值，进而求解即可. 【详解】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，如下图，    连接与交于点时，即为的最小值， 由题意，，则， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据正四棱柱，长方体的结构特征及充分、必要条件关系判断. 【详解】若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体， 而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱， 故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 7．（24-25高二上·上海静安·期中）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【答案】(1) (2)矩形截面的梁的截面形状最好，理由见解析 【分析】（1）通过设矩形长、宽与外接圆直径的关系，结合比例求出长和宽，代入矩形抗弯截面系数公式，得出当时，其抗弯截面系数为； （2）根据题意，得到，，，结合题意，推理得出 即得结论． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为； （2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好． 8．（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 9．（2024·上海·三模）已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据圆柱的结构特征及异面直线定义，数形结合判断线段长度范围. 【详解】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3； 若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： . 10．（24-25高三下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______． 【答案】 【分析】先作出截面图形，然后根据相似和勾股定理求出各边，即可求得结果. 【详解】取正方体轴线与交点为， 连接并延长，交延长线与， 连接，交于， 连接， 作出图形如图， 由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形， 则，所以，同理，， 正方体的棱长为，， ， ， 四边形的周长为. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·阶段检测）五棱柱有______个顶点. 【答案】10 【分析】由五棱柱特征可得结果. 【详解】五棱柱上下底面均为五边形，故有10个顶点. 故答案为：10. 12．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，面积的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由 平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 13．（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为______. 【答案】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 14．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 15．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________. 【答案】 【分析】据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围. 【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 16．（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（    ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【详解】设直四棱柱的底面平行四边形的相邻两边长分别为和，两边的夹角为，侧棱长为， 则底面面积为，两个相邻的侧面面积（因为是直四棱柱，侧面是矩形）为和， 此时，同时根据柱体体积公式可得直四棱柱的体积为， 前者等于后者的充要条件为即，故命题①正确； 斜四棱柱的侧棱不垂直于底面，因此不可能是长方体，则由前面的分析可知斜四棱柱的体积不可能是， 因此这是两个假命题互为充要条件，故命题②正确. 17．（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 18．（21-22高二上·上海松江·期中）已知正四棱柱中，与的交点为，与的交点为，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______． 【答案】3 【分析】根据正四棱柱的结构特征确定对应面积最大或最小时的截面，进而求出正四棱柱的底面边长和高，即可求体积. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，如图， 当截面平行于平面时，截面面积最小， 当截面为平面时，截面面积最大， 因为过点且与直线平行的平面截该正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 所以，解得，于是正四棱柱的体积为． 故答案为：3 19．（2025·上海闵行·二模）已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为______． 【答案】 【分析】由圆柱的体积公式计算即可. 【详解】由圆柱的体积公式可得. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为________. 【答案】 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 21．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为____. 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式来求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 22．（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】C 【分析】由题意分别得出以、两边为轴旋转形成的几何体，根据体积公式求解即可. 【详解】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 因为，所以， 所以. 故选：. 23．（24-25高一上·上海·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，.    (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可； （2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可； 【详解】（1）由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以，， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为矩形，又， 又，平面，所以平面， 所以四棱锥为阳马. （2）由（1）知平面，所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，所以， 在中，，所以， 又，所以在中，， 所以堑堵的体积为：. 24．（25-26高二上·上海黄浦·期末）若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为3，所以圆柱的侧面积. 故答案为：. 25．（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 【答案】(1)克； (2)2罐. 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助材料的密度求出材料的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而该3D打印材料的密度为1.3， 所以打印一件这样的零件需要克材料. 答：需要847克材料. （2）此零件的表面积为（）， 则需要购买每罐300克的喷漆共，显然，所以需要两罐. 答：需要2罐. 26．（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解； （2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可； （3）先分析得将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，当，，三点共线时，的最小值为，通过解三角形求即可. 【详解】（1）根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为. （2）由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. （3）将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，，， 所以，，， 所以在中， 由余弦定理可得， 所以的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 柱体 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 柱体的结构特征和分类 题型6 棱柱的体积计算 题型2 判断几何体是否为柱体 题型7 圆柱的结构特征辨析 题型3 柱体展开图及最短距离问题 题型8 圆柱的表面积计算 题型4 判断正方体的截面 题型9 圆柱的体积计算 题型5 棱柱的表面积计算 题型10 圆柱轴截面有关的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 棱柱结构特征、棱柱分类 1.掌握棱柱两大核心特征：两组平行全等底面、侧面均为平行四边形 2.区分斜棱柱、直棱柱、正棱柱的判定条件，理清分类标准 棱柱判定、几何体辨析 1.能依据定义逐条核对几何体，判断是否满足棱柱全部结构要求 2.识别残缺、不规则伪棱柱，排除侧面不平行、底面不全等图形 正棱柱、棱长、底面、侧面积计算 1.熟记正棱柱底面为正多边形、侧棱垂直底面的特征 2.结合底面边长、高求解侧棱、底面周长、底面积、侧面积 棱柱展开图、表面最短路径 1.理解棱柱侧面展开为矩形，底面为全等多边形 2.学会平铺展开侧面，用两点之间线段最短求表面最短距离 正方体截面、截面形状判断 1.掌握平面截正方体可出现三角形、四边形、五边形、六边形 2.能根据截面经过棱的数量，快速判定截面多边形边数 棱柱表面积、体积综合计算 1.分清棱柱侧面积、全面积公式，区分底面与侧面 2.灵活结合底面积与高，计算棱柱体积，处理组合棱柱 圆柱结构特征、圆柱辨析 1.掌握圆柱定义：矩形旋转而成，上下全等圆形底面、曲面侧面 2.区分圆柱与圆台、圆锥，辨析母线、高、底面半径概念 柱体通用体积、体积计算 1.牢记柱体统一体积公式，棱柱、圆柱通用 2.已知底面周长、侧面积反推底面积，再求解体积 圆柱轴截面、矩形计算 1.明确圆柱轴截面为矩形，矩形两边分别为圆柱高、底面直径 2.借助轴截面边长关系求解半径、高、对角线长 棱柱表面积、底侧面积运算 1.棱柱表面积，侧面拆分多个平行四边形求和 2.不规则底面多边形先算单个底面面积，再代入公式 圆柱表面积、曲面面积计算 1.圆柱表面积，分清底面积与侧面积 2.无盖、空心圆柱需按需删减底面，避免重复计算底面 学习重点： 1.棱柱、圆柱的结构特征与判定方法 2.柱体体积统一公式、棱柱与圆柱表面积公式 3.正方体截面形状判断、展开图最短路径求解 4.正棱柱、圆柱轴截面相关几何计算 学习难点： 1.棱柱判定易遗漏“两个底面互相平行且全等”核心条件 2.立体表面最短路径需要平铺展开，空间转化平面易出错 3.正方体截面最多六边形，容易误判出现七边形、直角三角形 4.空心、无盖几何体表面积计算，容易多算/少算底面 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 棱柱 定义 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面_平行____;其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都_相互平行____.像这样的几何体称为棱柱. 图示及相关概念 如图可记作：棱柱，也可记作棱柱 底面(底)：两个互相平行的面___； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边___； 顶点：侧面与底面的公共顶点___； 对角线：既不在同一__同一底面___上也不在同一个_侧面__上的两个顶点的连线 高：过上底面上一点作下底面的_垂线__，这点和垂足O间的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……， 侧面平行四边形都是矩形_____的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱.底面是_正多边形____的__直棱柱_称为正棱柱. 底面是平行四边形_____的棱柱称为平行六面体 【易错提醒】 1.判定棱柱漏条件：只看侧面是平行四边形，忽略上下底面平行且全等 2.混淆直棱柱、正棱柱：直棱柱仅侧棱垂直底面；正棱柱额外要求底面是正多边形 3.正方体截面误区：截面三角形只能是锐角三角形，不存在直角、钝角三角形；截面最多六边形 4.展开图最短路径：不把侧面平铺成平面，直接在立体图连线计算，结果出错 5.斜棱柱计算错把侧棱当作高，只有直棱柱侧棱长度等于几何体垂直高 即时即练 1.（25-26高二上·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 2.（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 知识点02 圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以_矩形的一边所在直线_____为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱   图中的圆柱记作:_棱柱和圆柱_______ 相关概念 轴:_圆柱____叫做圆柱的轴； 底面:__旋转轴____边旋转而成的圆面； 侧面:__垂直于轴的_____的边旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,__平行于轴______边都叫做圆柱侧面的母线; 柱体: _平行于轴的_____称为柱体 【易错提醒】 1.混淆母线与高：圆柱母线平行于轴、长度等于高，但母线不是几何体垂直高的通用概念 2.误判旋转来源：矩形绕一边旋转才是圆柱，绕对角线旋转不是圆柱 3.轴截面概念出错：轴截面矩形两边是直径2r、高h，错把半径当作轴截面宽 4.曲面概念混淆：圆柱侧面是曲面，上下底面是平面，不可把侧面当成平面图形 即时即练 1.（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 2.（24-25高二上·上海·课前预习）圆柱有多少条母线？母线与轴有什么位置关系？ 知识点03 柱体的表面积 （1）直棱柱的表面积 对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边．所以，直棱柱的侧面积等于_棱柱的高乘底面多边形的周长_______．设直棱柱的高为h，底面多边形的周长为c．底面积为，就得到直棱柱的表面积公式：________． （2）圆柱的表面积 将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，得到一个___矩形_____．设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，底面周长为c，就得到圆柱的表面积公式： ________． 【易错提醒】 1.全面积漏算/多算底面：无盖、空心柱体仍套，多算底面 2.圆柱侧面积记错公式：混淆与，错用底面半径代替周长 3.斜棱柱侧面积误用“底面周长×高”，该公式仅适用于直棱柱 4.单位不统一，底面边长、高单位混用导致面积计算错误 即时即练 1.（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 2.（25-26高三下·上海·阶段检测）一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 知识点04 柱体的体积 （1）棱柱的体积 设棱柱的底面积为，高为h，由祖暅原理得到一般棱柱的体积公式：________． （2）圆柱的体积 设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，由祖暅原理得到一般圆柱的体积公式：________=________． 【易错提醒】 1.公式中是垂直底面的高，斜棱柱不可直接代入侧棱长度 2.底面积计算出错：正多边形、圆形底面积公式记错，间接影响体积结果 3.组合柱体拆分错误，重复/遗漏部分几何体体积 4.逆向计算时，已知体积求高，忘记变形，等量关系颠倒 即时即练 1.（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 2.（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 题型1 柱体的结构特征和分类 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是______________. 【技巧归纳】 公式结论 1.棱柱：两底面平行且全等，侧面均为平行四边形，侧棱互相平行 2.直棱柱：侧棱垂直底面；正棱柱：直棱柱+底面为正多边形 3.圆柱：矩形绕一边旋转而成，两底面等大圆形，母线平行且等于高 方法技巧 1.按侧棱与底面垂直关系划分斜/直/正棱柱 2.对比旋转来源区分圆柱、圆锥、圆台结构差异 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 判断几何体是否为柱体 【例1】对如图所示的几何体描述正确的是______.（填序号） ①这是一个六面体；②这是一个四棱柱；③此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到. 【例2】如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【技巧归纳】 公式结论 棱柱判定：①上下底面平行全等②所有侧面为平行四边形；二者缺一不可 圆柱判定：旋转体，上下等圆、侧面曲面、母线平行等高 方法技巧 1.逐条核对定义条件，缺任意一条即不是柱体 2.举反例排除上下底面不等、侧面不规则几何体 【变式2-1】观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【变式2-2】如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 题型3 柱体展开图及最短距离问题 【例1】（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【例2】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【技巧归纳】 公式结论 1.直棱柱侧面展开为矩形，一边底面周长、一边柱体高 2.圆柱侧面展开为矩形，长，宽 3.平面两点之间线段最短 方法技巧 1.立体侧面平铺转化平面图形 2.构造直角三角形，勾股定理算最短路径长 【变式3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为________.    【变式3-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 题型4 判断正方体的截面 【例1】（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【例2】（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【技巧归纳】 公式结论 1.截面边数范围：，可形成三角、四边、五边、六边形 2.截面三角形只能是锐角三角形，无直角、钝角三角形 方法技巧 1.数平面穿过正方体棱的条数，棱数=截面边数 2.找截面平行棱，快速判断平行对边、多边形形状 【变式4-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式4-2】（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 题型5 棱柱的表面积计算 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面积：直棱柱；斜棱柱=各侧面平行四边形面积相加 2.全面积： 方法技巧 1.先算单个底面面积，再算侧面，最后求和 2.无盖棱柱只保留1个底面，去掉一倍底面积 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【变式5-2】（24-25高二下·上海静安·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为___________.    题型6 棱柱的体积计算 【例1】（25-26高三·上海·二轮复习）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点，则三棱锥的体积__________． 【例2】（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，六面体中，四边形为菱形， ， ， ，且平面 平面.    (1)在 上确定一点 ，使得 平面 ； (2)若 ，求六面体的体积 【技巧归纳】 公式结论 通用体积公式：（为底面垂直高，非侧棱） 方法技巧 1.斜棱柱先找底面垂直高，不可直接代入侧棱 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为_________. 【变式6-2】（2024·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证： 平面. 题型7 圆柱的结构特征辨析 【例1】用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【例2】下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【技巧归纳】 公式结论 1.母线长=圆柱高，底面直径 2.轴截面为矩形，邻边长2r、h 方法技巧 1.区分母线、高、底面半径三个概念 2.旋转类判断题：只有矩形绕邻边旋转得到标准圆柱 【变式7-1】如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 题型8 圆柱的表面积计算 【例1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点. (1)求圆柱的侧面积与表面积； (2)求二面角的大小. 【例2】（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为________． 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面积： 2.全面积： 方法技巧 1.空心/无盖圆柱删减对应底面圆面积 2.已知轴截面边长，先求r、h再代入公式 【变式8-1】（2025高二上·上海松江·专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【变式8-2】（25-26高二上·上海·期中）已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆． (1)试用表示圆柱的侧面积； (2)求异面直线与所成的角的大小． 题型9 圆柱的体积计算 【例1】（25-26高二上·上海·期中）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 【技巧归纳】 公式结论 方法技巧 1.给出直径先换算半径再计算 2.结合轴截面、侧面展开图建立r、h方程求解体积 【变式9-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是____________. 【变式9-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 题型10 圆柱轴截面有关的计算 【例1】（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 【例2】（24-25高二上·上海闵行·阶段检测）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________. 【技巧归纳】 公式结论 1.圆柱轴截面为矩形，矩形两边：宽（底面直径），长（圆柱的高/母线长） 2.轴截面矩形对角线： 3.轴截面面积： 方法技巧 1.已知轴截面边长，可直接解出底面半径与圆柱高 2.轴截面对角线对应圆柱内最长线段（上下底面异径端点连线） 3.结合轴截面面积建立r、h方程，联动求解表面积、体积 【变式10-1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为________． 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”（注：丈等于尺） 2．（2025高二·上海·专题练习）一个棱长为1的正方体盒子，则下列几何图形能否单独完全装入盒子______ ①长度为1.7的线段；②面积为1的圆；③体积为0.3的正四面体 3．（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    5．（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·上海静安·期中）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 8．（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 9．（2024·上海·三模）已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 10．（24-25高三下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______． 11．（24-25高二上·上海·阶段检测）五棱柱有______个顶点. 12．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 13．（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为______. 14．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 15．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________. 16．（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（    ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 17．（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 18．（21-22高二上·上海松江·期中）已知正四棱柱中，与的交点为，与的交点为，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______． 19．（2025·上海闵行·二模）已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为______． 20．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为________. 21．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为____. 22．（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 23．（24-25高一上·上海·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，.    (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 24．（25-26高二上·上海黄浦·期末）若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 25．（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 26．（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $