2.2.1 不等式及其性质（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的概念、作差法比较大小及基本性质，通过交通车速、身高购票等生活实例导入，类比初中等式性质引出新知，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于结合生活情境培养“数学眼光”，如“糖水不等式”抽象数量关系，通过作差法、反证法等发展“数学思维”，规范证明步骤强化“数学语言”。典型例题与训练结合，助学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

第二章 等式与不等式 2.2.1 不等式及其性质 2.2不等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解不等式的概念，能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系。 掌握两个实数大小关系的基本事实，理解作差法比较大小的理论依据，能熟练运用作差法比较两个实数或代数式的大小。 掌握不等式的基本性质（5条性质）及其推论（5条推论），能利用这些性质证明简单的不等式。 通过生活中的不等关系实例，让学生感受数学来源于生活又服务于生活，激发学习兴趣。 在严谨的证明过程中，培养学生实事求是、有理有据的科学态度。 从生活走向数学 同学们，在日常生活中，我们经常会看到这样的指示牌。左边的“小客车”车道上，车速 有一个范围：不低于100 km/h，且不高于120 km/h。 右边的“客车货车”车道上，车速 又该满足什么条件呢？ 60 ≤ ≤ 100 除了交通标识，生活中还有哪些“不等”的现象？ 比如“身高超过1.2米需购票”“货物质量不得超过10吨”。 从等式到不等式 回顾：在初中，我们学习了等式和它的性质。等式刻画了相等关系，它是我们解方程的依据。 类比：但现实世界中，不等关系才是更普遍的。如何用数学符号精准刻画“超过”“不超过”“至少”等语言？如何比较两个实数的大小？这就是本节要研究的核心问题。 今天我们就来系统学习不等式及其性质，为后续解不等式和证明不等式奠定基础。 目标一：不等式的概念 不等式的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 1、 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式. 定义 不等式 a≤b 和 a≥b 的含义 2、 不等式 a≤b 和 a≥b 的含义 (1) a≤b⇔a<b 或 a=b. (2) a≥b⇔a>b 或 a=b. 6 1、填相应的不等号： （1）设 a 为实数,则 |a| ______ a; （2）设点 A 到直线 l 的距离为 d,B 为直线l 上的任意一点,则 d ______ AB. 对点体验 解析 ▶ (1) 实数的绝对值不小于它本身. (2) 点 到直线 的距离即点 到直线 的垂线段的长度,因此 . 答案 ▶ (1) (2) 目标二：作差法比较实数大小 实数比较大小的依据 知识讲解 互动探究 新课引入 实数与数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地,如果点 P 对应的数为 x,则称 x 为点 P 的坐标,并记作 P(x). 数轴 两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大.如图所示的数轴中，A(a)，B(b)， 不难看出b>1>0>a。 9 作差法 知识讲解 互动探究 新课引入 此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离； 一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. 由此可以看出，要比较两个实数a, b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即 a-b<0⇔a<b； a-b=0⇔a=b； a-b>0⇔a>b. 10 2、比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小. 对点体验 解析 比较-x和x-2 的大小. 对点体验 因为 又因为，所以，从而 因此. 应用了配方上述的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握. 目标三：不等式的基本性质 性质1 (可加性)：如果 a>b，那么 a+c>b+c. 知识讲解 互动探究 新课引入 对于性质1的理解： 事实上，如图所示，a>b 是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A'和B'的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c. 和不等式性质的证明： 因为(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b, 又因为a>b，所以a-b>0，从而(a+c)-(b+c)>0, 因此a+c>b+c. 14 性质 2 (可乘性)： 如果 a>b, c>0，那么 ac>bc. 知识讲解 互动探究 新课引入 性质 3 (可乘性)： 如果 a>b, c>0，那么 ac>bc. 对于性质2的证明： 因为ac-bc=(a-b)c，又因为a>b，所以a-b>0，而c>0，因此 (a-b)c>0 因此ac-bc>0，即ac>bc. 对于性质3的证明： 因为ac-bc=(a-b)c， 又因为a>b，所以a-b>0，而c<0， 因此(a-b)c<0 因此ac-bc<0，即ac<bc. 15 3、你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用 “充分不必要” “必要不充分” “充要” 填空: 对点体验 a>b 是 a+c>b+c 的 ▁ 条件; 如果 c>0, 则 a>b 是 ac>bc 的 ▁ 条件; 如果 c<0, 则 a>b 是 ac<bc 的 ▁ 条件. 答：都是“充要条件”，说明这三个性质都具有可逆性 性质4:如果 a>b, b>c，那么 a>c. 知识讲解 互动探究 新课引入 证明: 因为a-c=(a-b)+(b-c), 又因为a>b, 所以a-b>0; 且b>c, 所以b-c>0, 因此 (a-b)+(b-c)>0, 从而a-c>0, 即a>c . 性质4通常称为不等关系的传递性. 对于性质4的直观理解： 如图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧 17 性质5: a>b⇔b<a. 知识讲解 互动探究 新课引入 证明: 因为a-b=-(b-a), 所以a-b>0⇔b-a<0, 即a>b⇔b<a. 另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母. 18 目标四：综合法、分析法与反证法 综合法和分析法 知识讲解 互动探究 新课引入 从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法. 从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后得到题设的已知条件或已被证明的事实,这种证明问题的方法通常称为分析法. 20 要证,只需证（） B CD. 对点体验 解析 ▶ 要证， 只需证， 只需证. 答案 ▶ A 要证,只需证（） B CD. 对点体验 解析 ▶ 要证， 只需证， 只需证. 答案 ▶ A 反证法 知识讲解 互动探究 新课引入 首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤. ① ∠A+∠B+∠C++∠C,这与三角形内角和为相矛盾,所以∠A=∠B. ②所以一个三角形中不能有两个直角. ③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B. 其正确顺序为________. 答案 ▶ ③①② 23 辨析比较 综合法与分析法都是直接证明的方法,反证法是一种间接证明的方法. 综合法中,最重要的推理形式为 p⇒q,其中 p 是已知或者已经得出的结论,所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 分析法中,最重要的推理形式是”要证 p,只需证 q“,即分析法的实质就是不断寻找使结论成立的充分条件. 目标五：不等式的推论 推论1：如果a+b>c，那么a>c-b. 知识讲解 互动探究 新课引入 证明： a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b . 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后， 从不等式的一边移到另一边. 推论1通常称为不等式的移项法则. 26 推论2：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 知识讲解 互动探究 新课引入 证明：根据性质1有a>b⇒a+c>b+c, c>d⇒b+c>b+d,再根据性质4可知 a+c>b+d . 我们把a>b 和c>d (或a<b 和c<d ) 这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式. 推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 很明显，推论2可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 27 推论3: 如果 a>b>0, c>d>0，那么 ac>bd. 知识讲解 互动探究 新课引入 证明: 根据性质2有a>b, c>0⇒ac>bc, c>d, b>0⇒bc>bd, 再根据性质 4 可知 ac>bd. 这个推论也可以推广为更一般的结论: 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘, 所得到的不等式与原不等式同向. 28 推论4: 如果 a>b>0，那么 > (n∈N, n>1). 知识讲解 互动探究 新课引入 证明: 多次使用推论3的结论就可以了. 证明: 假设 ，即 " 或 , 根据推论4和二次根式的性质，得a<b" 或 " a=b. 这与a>b矛盾，因此假设不成立，从而 . 推论 5: 如果 a>b>0，那么 29 性质总述 知识讲解 互动探究 新课引入   别名 性质内容 注意 性质1 可加性 如果 ,那么 . 可逆 性质2 可乘性 如果 ,那么 . 的 符号 性质3 可乘性 如果 ,那么 . 性质4 传递性 如果 ,那么 . 同向   别名 性质内容 注意 性质5 对称性 可逆 推论1 移项法则 如果 ,那么 可逆 推论2 同向可加性 如果 ,那么 同向 推论3 同向同正可乘性 如果 ,那么 同向同正 推论4 可乘方性 如果,那么 同正 推论5 可开方性 如果,那么 同正 30 3、如果 a>b,那么下列不等式一定成立的是（） A. a+c>b+c B. c-a>c-b C. -2a>-2b D. > 对点体验 解析 ▶ 选项A,根据不等式的可加性可知,不等式两边同时加上任何一个数,不等号方向不变,即 成立. 4、如果 a>b,那么下列不等式一定成立的是（） A. a+c>b+c B. c-a>c-b C. -2a>-2b D. > 解析 ▶ 令 , 可排除选项A,B,C. 选项D是推论2, (选择题中不好证明的选项可采用排除法) 一定成立.答案 ▶ D  特别提醒 1. 如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号,那么等号是传递不过去的. 例如:如果 a≥b 且 b>c,那么 a>c; 如果 a>b 且 b≥c,那么 a>c. 如果两个不等式都带有等号,那么有若 a≥b 且 b≥c,则 a≥c. 4. 推论2可以推广为更一般的结论:几个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向. 推论2是同向不等式相加法则的依据. 2. 推论1表明不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边. 3、我们把 a>b 和 c>d(或 a<b 和 c<d)这类不等号方向相同的不等式,称为同向不等式. 5. 同向不等式可以相加但不能相减,即由 a>b,c>d,可以得到 a+c>b+d,但不能得到 a-c>b-d. 需要特别注意的是,由 a>b,c<d,不能得到 a+c>b+d,但可以得到 a-c>b-d. 这是因为若 c<d,则 -c>-d,又 a>b,所以 a-c>b-d. （转化为同向） 6. 推论3可以推广为更一般的结论:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向. 推论3是同向不等式相乘法则的依据. 目标六：不等式性质的拓展 拓展 知识讲解 互动探究 新课引入 已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d; 因为 a>b，c<d，所以 a>b, -c>-d, 根据推论2，得 a-c>b-d 已知a>b，ab>0， 求证:. 因为ab>0， 所以>0. 又因为a>b， 所以 a⋅>b⋅, 即， 因此. 已知a>b>0，0<c<d，求证:. 因为0<c<d，根据(2)的结论，得 >0. 又因为a>b>0，所以根据推论3可知 a⋅, 34 不等式性质的拓展 目标七：典型 例题 题型 1 用不等式表示不等关系 例1 糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出一个怎样的不等式呢? (1)如果向一杯糖水里加点糖,糖水变甜了; (2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1) 设糖水 b 克,含糖 a 克,易知糖水浓度为, 加入 m 克糖后的糖水浓度为则提炼出的不等式为: 若 b>a>0,m>0, 则 （该不等式常称为“糖水不等式”，该不等式可用来快速判断常见的一些数据的大小，如<⋯…） 思路点拨 ▶ 糖水变甜(浓)、变淡与浓度有关,所得到的不等式即浓度的大小比较. 题型 1 用不等式表示不等关系 例1 糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出一个怎样的不等式呢? (1)如果向一杯糖水里加点糖,糖水变甜了; (2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 典例分析 牛刀小试 (2)设淡糖水克,含糖克,易知淡糖水浓度为 ; 设浓糖水克,含糖克,易知浓糖水浓度为 ,则 混合后的糖水浓度为所提炼出的不等式为: 若 思路点拨 ▶ 糖水变甜(浓)、变淡与浓度有关,所得到的不等式即浓度的大小比较. 题型2 不等式性质应用 例2 判断命题的真假已知 a,b,c∈R, 且 c≠0, 则下列命题中是真命题的是（） A. 如果 a>b,那么B. 如果 ac<bc,那么 a<b C. 如果 a>b,那么D. 如果 c>a>b>0,那么 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 利用不等式的性质或者举反例进行判断. 取 a=2,b=-1,c=-1,满足选项 A,B 中的前提条件. 对于选项 A,有,故 A 是假命题; 对于选项 B,有 a>b,故 B 是假命题; 对于选项 C,∵c≠0,∴ >0,由不等式的性质2知,C 是真命题;(【抓重点】在应用性质2时,一定要注意符号) 对于选项 D,a>b>0⇒-a<-b<0⇒0<c-a<c-b, 同乘以,得 , 又 a>b>0,∴故 D 是真命题. 答案 ▶ CD 题型3 巧用不等式的性质求取值范围 例3 (1)已知 1<a<4,2<b<8，试求 2a+3b 与 a-b 的取值范围； (2)已知 1<a<4,2<b<8，求的取值范围； （3）已知 -6<a<8,2<b<3，求的取值范围. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1) ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又 1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即 -7<a-b<2. ∴2a+3b 的取值范围是 (8,32),a-b 的取值范围是 (-7,2). 题型3 巧用不等式的性质求取值范围 例3 (1)已知 1<a<4,2<b<8，试求 2a+3b 与 a-b 的取值范围； (2)已知 1<a<4,2<b<8，求的取值范围； （3）已知 -6<a<8,2<b<3，求的取值范围. 典例分析 牛刀小试 ∵2<b<8,∴ (【抓重点】先转化为,再利用同向同正可乘性求解) 又1<a<4,∴1×<a×<4×,即<2. ∴的取值范围是(,2). 题型3 巧用不等式的性质求取值范围 例3 (1)已知 1<a<4,2<b<8，试求 2a+3b 与 a-b 的取值范围； (2)已知 1<a<4,2<b<8，求的取值范围； （3）已知 -6<a<8,2<b<3，求的取值范围. 典例分析 牛刀小试 ∵2<b<3,∴ ①当 0≤a<8 时,0≤<4; (a 的值包含特值0，分类讨论) ②当 -6<a<0 时, -3<<0. 由①②得 -3<<4, 即a/b的取值范围是(-3,4). 目标八：针对训练 举一反三 1.如果，那么下列不等式中，一定成立的是() A. B. C. D. 解析：对 A，当，则，故 A 错误； 对 B，举例，满足，但，故 B 错误； 对 C，因为，则，则，则两边同除以得，故 C 正确； 对 D，当，则，则，故 D 错误.故选：C. 举一反三 2.“ 且 ”是“ ”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当且时，根据不等式的性质，可得； 当时，不能推出且，比如取. 所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A. 举一反三 3.若 是正数, 则” “是” “的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 由题意知，，， 当时，由，得，则“”“”; 当时，由，得，则“”“”，所以“”是“” 的既不充分也不必要条件.故选：D. 举一反三 4.下列命题为真命题的是() A.若 , 则 B.若 , 则 C.若 , 则 D.若 , 则 解析：对于 A， 当时， 显然不成立， 故 A 错误； 对于 B， 由， 利用不等式的性质易得， 故 B 正确； 对于 C， 当时， 取， 则， 故 C 错误； 对于 D， 当时， ， 由不等式的性质， 可得， 故 D 错误. 故选：B.  目标九：小结 学海拾贝 知识小结 本节课我们主要围绕两个基本事实和五条性质展开： 核心内容 要点归纳 两个实数大小关系 ；；——这是作差法比较大小的理论基石。 不等式的5条基本性质 ① 对称性（）② 传递性（）——不等关系的“链条”③ 可加性（）——注意与等式性质一致④ 可乘性（注意 的符号： 时方向不变， 时方向改变）⑤ 同向可加性（） 学海拾贝 2. 思想方法提炼 •类比与转化：类比等式的性质来学习不等式的性质，但要特别警惕乘除负数时不等号方向改变这一关键差异。 •作差法：比较两个代数式大小的一般套路——“作差 → 变形（配方/因式分解）→ 定号 → 下结论”。 •证明方法初探：了解综合法（由因导果）、分析法（执果索因）和反证法（正难则反）的基本思路。 学海拾贝 3. 易错提醒 同向不等式只能相加，不能相减！ a>b,c>d 可推出 a+c>b+d，但不能推出 a-c>b-d。 乘法运算前，务必确认乘数的正负号，这是决定不等号是否变向的关键。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $